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1
Premier exercice (3,5 pts) Une analogie
Le but de l'exercice est de mettre en évidence l’analogie entre un oscillateur mécanique et un oscillateur
électrique dans le cas des oscillations libres.
A- Oscillateur mécanique
Un oscillateur mécanique horizontal est constitué d'un mobile (S) de masse
m = 0,546 kg et d'un ressort à spires non jointives de constante de raideur k = 5,70 N.m-1 et de masse
négligeable.
Le centre d'inertie G de (S) est initialement à sa position d'équilibre en O sur l'axe x'x.
(S), écarté de O d'une certaine distance, est abandonné sans vitesse à la date t0 = 0. G effectue alors un
mouvement rectiligne le long de l'axe x'x (fig.1). À une date t, son abscisse est x (
OG
= x
i
) et sa vitesse
est
V
(
V
= V
i
=
i
dt
dx
) .
Le plan horizontal contenant l'axe x'x est le niveau de référence de l'énergie potentielle de pesanteur.
I - Étude générale
1) Écrire l'expression de l'énergie mécanique Em du système (oscillateur, Terre) en fonction de m, k, x
et V.
2) Déterminer l'expression donnant
dt
dEm
, la dérivée de Em par rapport au temps.
II- Oscillations libres non amorties
On néglige tous les frottements.
1) Établir l'équation différentielle du second ordre décrivant l'évolution de x en fonction du temps.
2) Déduire l'expression de la fréquence propre fo de l'oscillateur et montrer que sa valeur est 0,51 Hz.
III- Oscillations libres amorties
En réalité, la force
F
due au frottement n'est pas négligeable et a pour expression :
F
= - λ
V
à une date t,
λ étant une constante positive.
1) Établir l'équation différentielle du second ordre décrivant
l'évolution de x en fonction du temps sachant que
dt
dEm
=
F
.
V
2) La figure 2 montre les variations de x en fonction du temps.
a) Comment se manifeste l'effet de la force de frottement ?
b) Déterminer la pseudo- fréquence f des oscillations
mécaniques.
c) Calculer la valeur de λ, sachant que f est donnée par
l'expression :
f 2 = (f0)2 –
2
4π
1
(
2m
λ
)2 .
Examen du 1er trimestre
Année scolaire
2009-2010
MATIÈRE : Physique
Prénom et nom:………………………………………………………
Date : ………… décembre 2009
Classe : SV3
Durée : 120 minutes
Observations du professeur
:……………………………………………………………………………
Signature des parents :
…………………………………………………………………………….. Enseignant : Wael Mohamed Nour-Eddine
NOTE :
17,5
x'
x
(S)
O
G
i
Fig.1

2
Deuxième exercice (7 points) Détermination de la constante de raideur d'un ressort
Pour déterminer la constante de raideur k d'un ressort
on l'attache par une extrémité à un solide (S2), de masse
m2 = 200 g, qui peut glisser sans frottement sur la partie
horizontale BC d'une piste ABC située dans un plan vertical,
l'autre extrémité du ressort est fixée en C.
Un autre solide (S1), de masse m1 = 50 g, est lâché sans vitesse
initiale d’un point A de la partie courbe de la piste. Le point A
se trouve à une hauteur hA = 45 cm de la partie horizontale de la piste.
(S2), initialement au repos en un point O, est ainsi heurté par (S1).
(S1) et (S2) sont supposés ponctuels.
Prendre le plan horizontal passant par BC comme niveau de référence de l'énergie potentielle de pesanteur, g
= 10 ms-2 , 0,32 = 1 et négliger toute force de frottement.
1) Déterminer la valeur V1 de la vitesse
1
V
de (S1) juste avant sa collision avec (S2).
2) Après la collision, (S1) reste en contact avec (S2) et les deux forment ainsi un solide (S) de centre
d'inertie G et de masse M = (m1 + m2). G effectue alors des oscillations autour de O, d’amplitude
3 cm, sur l’axe x'Ox d’origine O et de vecteur unitaire
i
.
a) Montrer que la valeur de la vitesse
0
V
de G juste après la collision est 0,6 m/s.
b) Soient x et v respectivement l’abscisse et la valeur algébrique de la vitesse de G à un instant t après
la collision. L'instant de la collision en O est considéré comme origine des temps t0 = 0.
i) Écrire, à un instant t, l'expression de l'énergie mécanique du système (S, ressort,Terre)
en fonction de x, k, M et v.
ii) En déduire l'équation différentielle du second ordre en x qui régit le mouvement de G.
iii) L'équation horaire des oscillations de (S) est donnée par: x = Xmsin(0t + ). Déterminer la
valeur de  ainsi que les expressions des constantes Xm et 0 en fonction de k, M et V0.
iv) Déduire la valeur de la raideur k du ressort.
3) En réalité, les frottements ne sont pas négligeables. Pour s’assurer de la valeur de k, on attache
l'extrémité C du ressort à un vibreur, de fréquence f réglable, vibrant dans la direction du ressort. On
remarque que l'amplitude des oscillations de (S) varie avec f et prend une valeur maximale pour
f = 3,2 Hz.
a) Nommer le phénomène physique qui se manifeste pour f = 3,2 Hz.
b) Calculer la valeur de k.
Troisième exercice : (6 ½ pts) Oscillations mécaniques libres
Un pendule élastique horizontal est constitué d'une tige métallique homogène MN de masse m = 0,5 kg et de
longueur et d'un ressort à spires non jointives de raideur k = 50 N/m, de longueur à vide L0 et de masse
négligeable. L'une des extrémités du ressort est fixée en I à un support fixe et l'autre est reliée au milieu G de
la tige. Cette tige peut glisser sans frottement sur deux rails métalliques AA' et CC', horizontaux et parallèles à
l'axe x'x du ressort ; au cours de ce glissement, la tige reste perpendiculaire aux rails et G se déplace sur l'axe
x'x. On écarte la tige, à partir de sa position d'équilibre, parallèlement à elle-même, dans le sens positif, de 5
cm, puis on la lâche sans vitesse à la date to = 0.
x'
x
O
i
(S1)
(S2)
B
A
C
hA = 45cm

3
A
Fig.1
x
x
G
I
M
N
C'
A'
C
O
L0 + x
À la date t, l'abscisse de G est x =
OG
et v =
dt
dx
est la mesure
algébrique de sa vitesse ; le point O, origine des
abscisses, correspond à la position de G à l'équilibre
pour laquelle la longueur du ressort est L0 (figure 1).
I – Oscillations libres non amorties
1) Écrire, à la date t, l'expression de l'énergie mécanique Em du système (pendule, Terre) en fonction
de m, x, k et v en prenant le plan horizontal passant par G comme niveau de référence de l'énergie
potentielle de pesanteur.
2) Établir l'équation différentielle du second ordre en x qui décrit le mouvement de G.
3) La solution de cette équation différentielle a pour expression : x = Xm cos(t + ) où Xm est
l'amplitude des oscillations. Déterminer les valeurs de , Xm et  .
II – Oscillations libres amorties
Le dispositif, constitué par le pendule et les rails, est placé dans un champ magnétique uniforme
B
,
perpendiculaire au plan des rails. (figure 2).
On relie A et C par un conducteur ohmique de
résistance convenable ; la résistance totale du circuit
est alors R. Après avoir tiré la tige de
5 cm dans le sens positif, on la lâche sans vitesse à la
date t0 = 0.
Un courant induit d'intensité i apparaît dans le circuit. Le pendule horizontal effectue alors quelques
oscillations puis il s'arrête au bout d'une durée t1.
1) Au cours du mouvement, une force électromotrice induite e est établie aux bornes M et N de la
tige. Expliquer pourquoi.
2) a) Déterminer, à la date t et en fonction de B, L0, x et , l'expression du flux magnétique qui
traverse la surface limitée par le circuit AMNC tout en respectant le sens positif arbitraire
choisi sur la figure 2.
b) Déduire l'expression de la f.é.m. induite e en fonction de B, et v.
c) Déterminer l'expression de i en fonction de B, R, et v.
d) Préciser le sens du courant induit dans le cas où la tige se déplace dans le sens positif.
3) a) Interpréter l'amortissement des oscillations et l'arrêt de la tige.
b) Calculer l'énergie mécanique de l'oscillateur à la date t0 = 0.
c) Déduire la valeur de l'énergie dissipée dans le circuit entre les dates t0 = 0 et t1.
d) Sous quelle forme cette énergie est-elle dissipée ?
Remarque : 0,5 point sur l’écriture et la mise en page.
A
Fig.2
x
x
G
I
M
N
C'
A'
C
O
L0 + x
B
B