M7.3. Gravimètre à ressort.
Un gravimètre à ressort est constitué d'une tige OB de masse négligeable pouvant tourner autour
d'un axe horizontal (O; ex) et supportant en B une masse ponctuelle m. Sous l'action du ressort AB,
de raideur k et de longueur à vide lo , la tige est horizontale à l'équilibre. On pose OA = a, OB = b ,
AB = l et = (ey, OB) l'élongation angulaire de la tige OB.
1. Calculer la longueur leq du ressort à l'équilibre. A quelle condition cet équilibre existe-t-il?
2. Déterminer la période To des petites oscillations de ce pendule. Que se passe-t-il lorsque
ka est voisin de mg ?
M7.4. Petites oscillations au voisinage d'une position d'équilibre.
On considère un élastique E de raideur k et de longueur au repos lo ainsi qu'une particule M de
masse m.
1. M étant accroché à E, déterminer l'allongement a de E ainsi que la pulsation o des
oscillations verticales de M autour de sa position d'équilibre.
2. On réalise un quart de circonférence de centre 0 et de rayon a. E, accroché en A, passe en
B dans un petit anneau. AB = lo. M coulisse sans frottement sur le cercle. Etablir l'équation
différentielle du mouvement de M. Calculer valeur de pour laquelle M est en équilibre.
Etudier les petites oscillations de M au voisinage de cette position d'équilibre, calculer leur
pulsation .
M7.5. Oscillateur harmonique plan.
Un point matériel M de masse m est lié aux quatre points fixes A1, A'1, A2 et A’2 d'un plan
horizontal, par l'intermédiaire de quatre ressorts de même longueur propre a . On note k1 la raideur
des ressorts MA1 , MA’1 et k2 celle des ressorts MA2, MA’2.