TD Oscillateur harmonique

PCSI – Lycée Brizeux Sébastien Gruat TD - Oscillateur harmonique
TD Oscillateur harmonique
Exercice 1 : Ressort vertical (1, 2)
Retrouver l’équation différentielle qui décrit le mouvement d’une masse
suspendue à un ressort vertical de longueur à vide  et de constante de raideur
. Tracer le graphe de la position en fonction du temps.
Exercice 2 : Bus et dos d’âne (2)
Un bus vide de masse   passe au-dessus d’un dos d’âne. Il oscille
alors verticalement à la fréquence   . Au retour, le bus est rempli d’une
cinquantaine de passagers de masse moyenne  .
Quelle sera la fréquence des oscillations après le dos d’âne ?
Exercice 3 : Energie d’un ressort (3)
Une masse  attachée à un ressort de raideur  et de longueur à vide  oscille
de telle manière que la longueur du ressort vaut  avec
.
1. Calculer l’énergie mécanique à l’instant . Que dire du résultat ?
2. Calculer la valeur moyenne de l’énergie cinétique et potentielle.
Remarque : La valeur moyenne d’une fonction  de période  est
donnée par   
. On donne 
3. Justifier le terme d’équipartition de l’énergie.
Exercice 4 : Oscillations d’une molécule (1, 2) []
Une molécule de monoxyde de carbone CO est modélisée par deux masses 
et  mobiles sur l’axe  et liées par un ressort de raideur   et
longueur à vide . La position de l’atome d’oxygène (respectivement carbone)
est repérée par l’abscisse  (respectivement ). Initialement, les deux atomes
sont immobiles et leur position notées 
 et  .
On a :
- Constante d’Avogadro 
- Masse molaire du carbone   
- Masse molaire de l’oxygène  
1. Effectuer un bilan des forces sur l’atome d’oxygène (on négligera le
poids). Établir l’équation différentielle de son mouvement.
2. Effectuer un bilan des forces sur l’atome de carbone (on négligera le
poids). Établir l’équation différentielle de son mouvement.
3. Ces deux équations sont couplées : le mouvement d’un atome dépend
du mouvement de l’autre. On introduit deux fonctions :  
 et   . Quelles sont les équations différentielles
satisfaites par  et  ? Sont-elles couplées ?
4. Quelle est la forme des solutions correspondantes ?
5. Calculer les fréquences caractéristiques des molécules  et 
 .
Sachant que la résolution spectrale en spectroscopie infrarouge est de
l’ordre de , peut on séparer les fréquences de vibration.
6. Donner les expressions de  et .
7. Quelle est la période des oscillations ? Dans le cas où l’une des deux
molécules est beaucoup plus lourde que l’autre, quel résultat retrouve-
t-on ?