Accroissements et dérivées

Aides mathématiques 03
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Il ne s’agit pas d’un cours de mathématiques mais d’aides pour comprendre comment les
mathématiques, leurs notions, leurs résultats et leurs notations sont utilisés avec succès depuis des
années en physique.
Accroissements et dérivées
Nous ne considérons que des fonctions réelles de variables réelles.
Après avoir introduit les notions d’accroissement- et de variation en Physique- puis celle de taux
d’accroissement, nous définissons la dérivée d’une fonction d’une variable. Nous continuons en
décrivant les utilisations de la dérivée : coefficient directeur de la tangente, étude des variations
d’une fonction ainsi que les relations entre dérivée seconde et concavité. Ensuite viennent les
propriétés des dérivées, un formulaire pour les fonctions usuelles et de multiples exemples1,2. Enfin
nous définissons les dérivées partielles d’une fonction de deux variables et en donnons quelques
exemples.
A. Accroissement d’une fonction d’une variable
Etudier les variations d’une fonction c’est établir quand elle est croissante ou au contraire
décroissante et de combien. L’étude des fonctions conduit donc naturellement à celle de leurs
accroissements.
1. Définition d’un accroissement
Considérons une fonction :
: ( )f x y f x
Un accroissement de la variable est la différence de deux valeurs de la variable et est noté Δx. Cet
accroissement est algébrique (il peut être positif ou négatif). Il est aussi appelé variation en
physique dans le cas d’une évolution temporelle. L’accroissement correspondant du résultat est
noté Δy.
21
2 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
x x x
y f x f x f x x f x
2. Définition du taux d’accroissement
Le taux d’accroissement de la fonction est le rapport des accroissements de la variable et du
résultat :
2 1 1 1
21
( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x x f x
y
x x x x
1 Les tableaux en vert donnent des exemples, en violet des propriétés ou règles générales et ceux
en bleu concernent des fonctions usuelles.
2 Les exemples sont ceux de l’Aide mathématique Am 02 Fonctions. Cette aide fournit aussi les
domaines de définition des fonctions.

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3. Exemples
On considère deux carrés de côtés c1 = 2 m et c2 = 5 m.
Accroissement
Taux d’accroissement
Côté
21
(5 2) m 3mc c c     
Périmètre
21
4 4 4(5 2) m 12 mp c c     
4
p
c
Aire
2 2 2 2 2 2
21
(5 2 ) m 21mA c c     
7m
A
c
L’étude des taux d’accroissement conduit à la notion de dérivée.
B. Dérivée d’une fonction d’une seule variable
1. Définition, existence
La dérivée d’une fonction en x0 est la limite du taux d’accroissement lorsque h tend vers 0 :
00
00
( ) ( )
' lim
h
f x h f x
yh
Cette limite n’existe pas toujours, la fonction n’est alors pas dérivable. Nous ne considérerons
que des fonctions dérivables.
Lorsque cette limite existe sur un intervalle de valeurs de la variable, cela définit sur cet
intervalle une fonction dérivée :
': ' '( )f x y f x
On peut définir la dérivée de la dérivée et la calculer lorsqu’elle existe. Elle s’appelle dérivée
seconde et se note f ’’(x). Et ainsi de suite.
2. Autres écritures
On peut écrire différemment les taux d’accroissement et la dérivée :
0
0
00
( ) ( )
' lim
xx
f x f x
yxx
21
21
121
( ) ( )
' lim
xx
f x f x
yxx
Ces deux formes d’écriture expriment la même idée que la toute première, celle de la dérivation.

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3. Exemples
On considère un carré de côté c.
Dérivée en c0
Fonction dérivée
Périmètre
00
00
00
0
( ) ( )
' lim
4( ) 4
lim 4
h
h
f c h f c
ph
c h c
h
Dans ce calcul, la valeur de c0
n’importe pas donc la fonction
dérivée s’écrit :
': ' '( ) 4f c p f c  
Aire
00
00
22
0 0 0
00
00
0
( ) ( )
' lim
( ) (2 )
lim lim
lim(2 ) 2
h
hh
h
f c h f c
Ah
c h c c h h
hh
c h c
Dans ce calcul, la valeur de c0
n’importe pas donc la fonction
dérivée s’écrit :
': ' '( ) 2f c A f c c  
Reprenons maintenant l’exemple cinématique. La vitesse est la dérivée de la cote z ;
l’accélération est la dérivée de la vitesse (et donc la dérivée seconde de la cote z) :
Fonction
z en m, t en s
2
1
: ( ) .9,8 3
2
f t z f t t t    
Dérivée
v en m.s-1
': '( ) 9,8 1f t v f t t   
Dérivée seconde
a en m.s-2
'': ''( ) 9,8f t a f t  
Pour effectuer ces deux derniers calculs, il faut avoir en mémoire le formulaire de dérivation.
Voir paragraphe D.
C. Utilisation des dérivées
1. Interprétation graphique de la dérivée
Nous considérons la représentation graphique de la fonction qui à la variable x fait correspondre
la valeur y = f(x). Sur la figure ci-après c’est la courbe noire. Nous traçons ensuite la sécante M0M
en bleu. Le coefficient directeur de cette droite est égal au taux d’accroissement de la fonction.
Ensuite nous faisons tendre l’accroissement Δx = h vers 0. L’accroissement Δy tend vers 0 lui
aussi.
Graphiquement le point M se déplace sur la courbe en se rapprochant du point M0. La sécante
(M0M) tend à devenir la tangente (M0T) représentée en violet. Le coefficient directeur de la
sécante tend vers celui de la tangente. En d’autres termes le taux d’accroissement de la fonction
tend vers le coefficient directeur de la tangente qui est donc égal à la dérivée.
Considérons un point P quelconque appartenant à la tangente. En tenant compte du fait que le
point M0 appartient aussi à cette tangente, les coordonnées (X, Y) de P vérifient donc :

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00
0
0 0 0
'( )
'( )( )
Yy
Yfx
X X x
Y y f x X x
2. Propriétés des représentations graphiques des fonctions et dérivées
L’étude des zéros et du signe de la dérivée d’une fonction permet de déterminer les variations de
cette fonction. Lorsque la dérivée est strictement positive sur l’intervalle [a ; b], la fonction est
monotone croissante sur le même intervalle. De même, lorsque la dérivée est strictement
négative, la fonction est monotone décroissante. Lorsque la dérivée est nulle, la tangente est
horizontale ; la fonction passe par un extremum (maximum ou minimum local) ou possède un
point d’inflexion. Voir figure ci-après.
Les tableaux ci-après récapitulent l’influence des signes de la dérivée et de la dérivée seconde
sur le comportement d’une fonction et l’aspect de sa courbe représentative.
Dérivée
Positive
Négative
Nulle
Fonction
Croissante
Décroissante
Maximum, minimum
ou point d’inflexion
Tangente
Montante
Descendante
Horizontale

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La dérivée première
est nulle et la dérivée
seconde
Est positive
Est négative
S’annule en
changeant de signe
Concavité
Vers le haut
Vers le bas
Point d’inflexion à
tangente horizontale
Fonction
Possède un minimum
Possède un maximum
Décrivons et commentons les différents cas de la figure ci-dessus :
Cas a. La dérivée est positive, la fonction est monotone croissante. Si on trace une tangente à la
courbe représentative, son coefficient directeur est positif : La tangente est « montante ».
Cas b. La dérivée est positive, la fonction est monotone croissante. Mais la courbe représentative
possède un point d’inflexion, point où la courbe traverse sa tangente. La concavité de la courbe
est tournée vers les ordonnées positives- « vers le haut »- jusqu’au point d’inflexion. Puis la
concavité de la courbe est tournée vers les ordonnées négatives- « vers le bas ». Nous allons voir
graphiquement que la dérivée seconde s’annule au point d’inflexion en changeant de signe :
Sur la figure la dérivée seconde est d’abord positive. Pour voir cela il suffit de tracer la
tangente et d’observer l’évolution de son coefficient directeur quand on parcourt la courbe.
Jusqu’au point d’inflexion, il est croissant- la tangente est de plus en plus « montante ». En
d’autres termes la dérivée est croissante donc la dérivée seconde est positive. Puis elle est
négative (le coefficient directeur de la tangente est décroissant). Elle s’est annulée au point
d’inflexion.