Tiling a Polygon with Parallelograms

tiling a polygon with parallelograms
Richard Kenyon
Présentation par Yassine Hamoudi
7 janvier 2016
introduction
Pavage d’une région polygonale par des parallélogrammes :
2
introduction
Pavage d’une région polygonale par des parallélogrammes :
2
introduction
Pavage d’une région polygonale par des parallélogrammes :
2
introduction
Indécidabilité :
• pavage d’un plan infini ([Ber66, Rob71])
• pavage périodique d’un plan infini
3
introduction
Indécidabilité :
• pavage d’un plan infini ([Ber66, Rob71])
• pavage périodique d’un plan infini
NP-complet :
• pavage d’un plan fini, par des tuiles prédéfinies ([GJ79])
• pavage d’un plan fini troué, par des trapézoïdes ([AAI86]) ou des
rectangles ([J.M91]) quelconques
3
introduction
Indécidabilité :
• pavage d’un plan infini ([Ber66, Rob71])
• pavage périodique d’un plan infini
NP-complet :
• pavage d’un plan fini, par des tuiles prédéfinies ([GJ79])
• pavage d’un plan fini troué, par des trapézoïdes ([AAI86]) ou des
rectangles ([J.M91]) quelconques
Algorithmes polynomiaux :
• pavage d’un plan fini par des triangles quelconques ([Cha91])...
• ...des trapézoïdes ([AAI86])
• ...des rectangles ([KK92])
3
plan
Algorithme de pavage
Ensemble des pavages possibles
NP-complétude
Commentaires et perspectives
4
algorithme de pavage
6
appariements et chaînes de parallélogrammes
7
appariements et chaînes de parallélogrammes
7
appariements et chaînes de parallélogrammes
7
appariements et chaînes de parallélogrammes
7
appariements et chaînes de parallélogrammes
7
appariements et chaînes de parallélogrammes
7
appariements et chaînes de parallélogrammes
7
correspondance
8
croisement
9
croisement
9
correspondance valide
Une correspondance est valide lorsque :
• si (e1 , e′1 ) et (e2 , e′2 ) se croisent alors e1 et e2 ne peuvent pas
avoir même longueur et même direction
10
correspondance valide
Une correspondance est valide lorsque :
• si (e1 , e′1 ) et (e2 , e′2 ) se croisent alors e1 et e2 ne peuvent pas
avoir même longueur et même direction
10
correspondance valide
Une correspondance est valide lorsque :
• si (e1 , e′1 ) et (e2 , e′2 ) se croisent alors e1 et e2 ne peuvent pas
avoir même longueur et même direction
• toute paire (e, e′ ) peut être reliée par un chemin croissant
10
correspondance valide
Une correspondance est valide lorsque :
• si (e1 , e′1 ) et (e2 , e′2 ) se croisent alors e1 et e2 ne peuvent pas
avoir même longueur et même direction
• toute paire (e, e′ ) peut être reliée par un chemin croissant
10
correspondance valide
Théorème
Tout polygone P admet au plus une correspondance valide.
11
correspondance valide
Théorème
Tout polygone P admet au plus une correspondance valide.
11
correspondance valide
Théorème
Tout polygone P admet au plus une correspondance valide.
11
correspondance valide
Théorème
Tout polygone P admet au plus une correspondance valide.
11
correspondance valide
Théorème
Tout polygone P admet au plus une correspondance valide.
11
correspondance valide
Théorème
Tout polygone P admet au plus une correspondance valide.
11
correspondance valide
Théorème
Tout polygone P admet au plus une correspondance valide.
11
correspondance valide
Théorème
Tout polygone P admet au plus une correspondance valide.
11
correspondance valide
Théorème
Tout polygone P admet au plus une correspondance valide.
11
correspondance valide
Théorème
Tout polygone P admet au plus une correspondance valide.
11
correspondance à périphérie monotone
Une correspondance est à périphérie monotone si tout croisement
définit un parallélogramme (croisement convexe).
12
correspondance à périphérie monotone
Une correspondance est à périphérie monotone si tout croisement
définit un parallélogramme (croisement convexe).
12
correspondance à périphérie monotone
Théorème
P admet une correspondance à périphérie monotone ⇔ P admet un
pavage.
13
correspondance à périphérie monotone
Théorème
P admet une correspondance à périphérie monotone ⇔ P admet un
pavage.
13
correspondance à périphérie monotone
Théorème
P admet une correspondance à périphérie monotone ⇔ P admet un
pavage.
13
correspondance à périphérie monotone
Théorème
P admet une correspondance à périphérie monotone ⇔ P admet un
pavage.
13
correspondance à périphérie monotone
Théorème
P admet une correspondance à périphérie monotone ⇔ P admet un
pavage.
13
correspondance à périphérie monotone
Théorème
P admet une correspondance à périphérie monotone ⇔ P admet un
pavage.
13
correspondance à périphérie monotone
Théorème
P admet une correspondance à périphérie monotone ⇔ P admet un
pavage.
13
correspondance à périphérie monotone
Théorème
P admet une correspondance à périphérie monotone ⇔ P admet un
pavage.
13
correspondance à périphérie monotone
Théorème
P admet une correspondance à périphérie monotone ⇔ P admet un
pavage.
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algorithme de pavage
Résumé :
• correspondance à périphérie monotone ⇒ pavage
• toute correspondance à périphérie monotone est valide
• au plus une correspondance valide
14
algorithme de pavage
Résumé :
• correspondance à périphérie monotone ⇒ pavage
• toute correspondance à périphérie monotone est valide
• au plus une correspondance valide
Algorithme :
• rechercher une correspondance valide
• essayer de reconstruire le pavage en partant des paires
périphériques
→ algorithme quadratique
14
ensemble des pavages possibles
Théorème
Le nombre et le type de parallélogrammes nécessaires au pavage sont
prédéterminées par la correspondance à périphérie monotone.
16
Théorème
Le nombre et le type de parallélogrammes nécessaires au pavage sont
prédéterminées par la correspondance à périphérie monotone.
→ chaque croisement définit un parallélogramme
16
ensemble des pavages possibles
17
ensemble des pavages possibles
17
ensemble des pavages possibles
17
ensemble des pavages possibles
17
ensemble des pavages possibles
17
np-complétude
np-complétude
Pavage à partir d’un nombre fini de types de tuiles :
Région simplement connexe
Région trouée
Polygones
NP-complet ([GJ79])
NP-complet
Triangles
NP-complet ([Ken93])
NP-complet
1 × m et l × 1
P ([KK92])
NP-complet (m ≥ 2, l ≥ 3) ([J.M91])
k × l et l × k
P ([KK92])
NP-complet (k ≥ 2, l ≥ 3) ([BJL+ 90])
Trapézoïdes
NP-complet ([Ken93])
NP-complet
Parallélogrammes
P ([Ken93])
NP-complet ([Ken93])
19
commentaires et perspectives
Commentaires :
• algorithme quadratique de pavage d’un polygone (non troué)
par des parallélogrammes
• résultats de NP-complétude
• algorithme similaire pour la notion “relachée” de pavage ([KS92])
21
Commentaires :
• algorithme quadratique de pavage d’un polygone (non troué)
par des parallélogrammes
• résultats de NP-complétude
• algorithme similaire pour la notion “relachée” de pavage ([KS92])
Questions ouvertes :
• combien de pavages possibles ?
• pavage en 3 dimensions ?
• quels sont les autres types de tuiles pour lesquels le problème
de pavage n’est pas NP complet ?
21
bibliographie I
Takao Asano, Tetsuo Asano, and Hiroshi Imai.
Partitioning a polygonal region into trapezoids.
J. ACM, 33(2) :290–312, April 1986.
Robert Berger.
The Undecidability of the Domino Problem.
American Mathematical Society, 1966.
Fran Berman, David Johnson, Tom Leighton, Peter W Shor, and
Larry Snyder.
Generalized planar matching.
Journal of Algorithms, 11(2) :153 – 184, 1990.
Bernard Chazelle.
Triangulating a simple polygon in linear time.
Discrete Comput. Geom., 6(5) :485–524, August 1991.
22
bibliographie II
Michael R. Garey and David S. Johnson.
Computers and Intractability : A Guide to the Theory of
NP-Completeness.
W. H. Freeman & Co., New York, NY, USA, 1979.
J.M.Robson.
Sur le pavage de figures du plan par des barres.
Actes des journées polyominos et pavages, pages 95–103, 1991.
Richard Kenyon.
Tiling a polygon with parallelograms.
Algorithmica, 9(4) :382–397, 1993.
Claire Kenyon and Richard Kenyon.
Tiling a polygon with rectangles.
In Proc. 33rd Symp. Foundations of Computer Science, pages
610–619, 1992.
23
bibliographie III
Sampath Kannan and Danny Soroker.
Tiling polygons with parallelograms.
Discrete & Computational Geometry, 7(2) :175–188, 1992.
RaphaelM. Robinson.
Undecidability and nonperiodicity for tilings of the plane.
Inventiones mathematicae, 12(3) :177–209, 1971.
24
np-complétude
Théorème
Le pavage d’un polygone troué par des parallélogrammes est NPcomplet.
25
np-complétude
Théorème
Le pavage d’un polygone troué par des parallélogrammes est NPcomplet.
∑
SUBSET-SUM : A = {ai }, K −→ ∃A′ ⊆ A,
ai = K ?
ai ∈A′
25
np-complétude
Théorème
Le pavage d’un polygone troué par des parallélogrammes est NPcomplet.
∑
SUBSET-SUM : A = {ai }, K −→ ∃A′ ⊆ A,
ai = K ?
ai ∈A′
25
np-complétude
Théorème
Le pavage d’un polygone troué par des parallélogrammes est NPcomplet.
∑
SUBSET-SUM : A = {ai }, K −→ ∃A′ ⊆ A,
ai = K ?
ai ∈A′
Arêtes de longueur 1
25
np-complétude
Théorème
Le pavage d’un polygone troué par des parallélogrammes est NPcomplet.
∑
SUBSET-SUM : A = {ai }, K −→ ∃A′ ⊆ A,
ai = K ?
ai ∈A′
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