Math 202 PC. Exercices 2009/2010 PARTIE I : Calcul différentiel.

Math 202 PC. Exercices 2009/2010
PARTIE I : Calcul diff´ erentiel.
Feuille I –Fonctions de plusieurs variables : g´ en´ eralit´ es, limites, continuit´ e
1.1) G´ en´ eralit´ es. Fonctions de plusieurs variables, domaine de d´ efinition, image. Graphe, traces et courbes de ni-
veau.
1.2) Limite d’une application en un point. Limite d’une application en un point, unicit´ e. Propri´ et´ es (op´ erations,
gendarmes, composition). Limites suivant un chemin. Fonctions usuelles et exemples de calcul.
1.3) Continuit´ e . D´ efinition et exemples. Propri´ et´ es (op´ erations, composition de fonctions continues, fonctions
usuelles).
Exercice 1
D´ eterminer et repr´ esenter les domaines de d´ efinition pour chacune des fonctions suivantes.
a. f(x, y) = √x+y.b. f(x, y) = p2x+y2.c. f(x, y) = 1
px2+y2.
d. f(x, y) = 1
√x+y.e. f(x, y) = arcsin(x+y).f. f(x, y) = √x2−4 + p4−y2
p9−x2−y2.
g. f(x, y) = pxsin y+ ln(x+ 5y).h. f(x, y) = ln(1 −xy).i. f(x, y) = ln(x+y2)
j. f(x, y, z) = p4−x2−y2−z2.k. f(x, y, z) = 1
x+y+|z|.
Exercice 2
Dessiner (` a l’aide des traces) les graphes des fonctions suivantes :
1. f(x, y) = cos x. D´ ecrire pr´ ecis´ ement les intersections avec les plans d’´ equation {y=k}.
2. f(x, y) = 4x2+y2.
3. f(x, y) = −xy. Indiquer les courbes de niveau correspondant respectivement ` a{z= 1}et {z=−1}.
4. f(x, y) = x2−y2.
Exercice 3
D´ eterminer l’ensemble image des fonctions suivantes :
a.f(x, y) = cos xb.f(x, y) = ln(2x−y+ 1).c.f(x, y) = y2exy .d. f(x, y) = x2−y2.
Exercice 4
D´ eterminer si les fonctions suivantes ont une limite en (x, y) = (0,0) et donner leurs valeurs si elles existent.
a. x2−y2
x2+y2.b. x2−2xy +y2 x2+y2.c. xy +y2 x2+ 4xy +y2.
d. x2y
x2+y2.e. 1 + x+y x2−y2.f. |x−y| x2−2xy +y2.
g. e −|x−y|
x2−2xy +y2!h. 1 + x2+y2
ysin yi. |x|y.j.|x|1/y.
k. (x+y)2
x2+y2.l. xy x+y.m. xy6 x6+y8.n. x2+y2 x4+y4.
o. sin x−sin y
shx−shy.p. sin x cos y−chx.q. sin x−y x−sin y.r. sin x4+ (1 −cos y)2 4x4+y4.
1

s. 1−cos(xy)
y2.t. ch(xy)−cos(xy) x2y2.u. sin x−y x−sin y.v. sin x4+ sin y4
px4+y4.
w. x3+y3
x2+y2.x. x3−y3 x2+y2.y. [(x−1)2+y2] ln[(x−1)2+y2] |x|+|y|.z. |y|α x2+|y|, α ∈R.
Exercice 5
Etudier la continuit´ e des fonctions suivantes.
a. f(x, y) = ((x+2y)3
x2+y2si (x, y)6= (0,0),
0si (x, y) = (0,0) e. f(x, y) = (x3y5
(x2+y2)2si (x, y)6= (0,0),
0si (x, y) = (0,0)
b. f(x, y) = (sin(xy)
ysi y6= 0,
xsi y= 0 f. f(x, y) = (x2+y2) sin1
xy si xy 6= 0,
0si xy = 0
c. f(x, y) = (e−x2
|y|si y6= 0,
0si y= 0
d. f(x, y) = exy −1
x2+y2si (x, y)6= (0,0),
0si (x, y) = (0,0)
Exercice 6
a. V´ erifier que la fonction d´ efinie pour (x, y)6= (0,0) par f(x, y) = x2y2
x2y2+ (x−y)2poss`
ede la propri´ et´ e suivante : les
limites it´ er´ ees lim
x→0lim y→0f(x, y)et lim y→0lim x→0f(x, y)existent et sont ´
egales mais fn’a pas de limite en (0,0).
b. V´ erifier que la fonction d´ efinie pour xy 6= 0 par f(x, y) = (x+y) sin 1
xsin 1 yposs`
ede la propri´ et´ e suivante : aucune des
limites it´ er´ ees lim
x→0lim y→0f(x, y)et lim y→0lim x→0f(x, y)n’existe mais fa bien la limite nulle en (0,0).
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Feuille II :Calcul differentiel I Math 202 PC
•D´ eriv´ ees partielles du premier ordre pour les fonctions num´ eriques. D´ eriv´ ee directionnelle.
•La diff´ erentiabilit´ e, d´ efinition, conditions n´ ecessaires (la continuit´ e, la d´ erivabilit´ e ”partielle”) , condition suffisante (C1).
Proprietes sur la somme, le produit de fonctions diff´ erentiables.
•La diff´ erentielle : df =fxdx+fydy. La diff´ erentielle d’une application lin´ eaire ou affine. Le plan tangent Z−f(x0, y0) =
fx(x0, y0)(X−x0) + fy(x0, y0)(Y−y0).
•Th´ eor` eme des Accroisements Finis pour le cas de 2 variables et ` a valeurs numeriques. In´ egalit´ es des Accroisements Finis,
applications au calcul d’incertitudes.
Exercice 1
Calculer, en chaque point de leur domaine de d´ efinition, les d´ eriv´ ees partielles de premier ordre pour les fonctions suivantes.
a. 3x/y.b. cos(x2+y).c. arctan y
x2.
d. 1
p1 + x+y2+z2.e. ysin(xz).f. tan(arctan x+ arctan y).
Exercice 2
Etudier la continuit´ e, l’existence et la continuit´ e des d´ eriv´ ees partielles des fonctions d´ efinies par :
a. f(x, y) = x|y|
px2+y2, si (x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0.
b. f(x, y) = x2y2ln(x2+y2), si (x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0.
c. f(x, y) = (x+y)psin( 1
px2+y2), si (x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0. Discuter suivant les valeurs de l’entier p∈N.
d. f(x, y) = y2sin x
y, si y6= 0,f(x, 0) = 0.
e. f(x, y) = sin(x3+y3)
x2+y2, si (x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0.
f. f(x, y) = xsin y−ysin x
x2+y2, si (x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0.
Exercice 3
1. Calculer pour chacune des fonctions suivantes la d´ eriv´ ee directionnelle dans la direction donn´ ee :
a. sin x+ cos yen (0,0) dans la direction du vecteur (cos θ, sin θ)avec θ= 0,π/6ou π/3.
b. z2−x2−y2en (1,0,1) dans la direction du vecteur (4,3,0).
c. xyz −xy −yz −zx +x+y+zen (2,2,1) dans la direction du vecteur (2,2,0).
d. xz2+y2+z3en (1,0,−1) dans la direction du vecteur (2,1,0).
2. Soit f:R2→Rd´ efinie par :
f(x, y) = y3
px2+y4, si (x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0.
a. Montrer que fest continue en (0,0).
b. Montrer que pour tout vecteur −→ vnon nul de R2, la d´ eriv´ ee directionnelle de fen (0,0) suivant −→ vexiste et la calculer.
Exercice 4
V´ erifier que la fonction f(x, y)=(xy)1/3est continue, que ses d´ eriv´ ees partielles ∂xf,∂yfexistent ` a l’origine mais que la
d´ eriv´ ee directionnelle n’existe dans aucune autre direction.
Exercice 5
a. V´ erifier que p|xy|n’est pas diff´ erentiable en (0,0).
b. Etudier la diff´ erentiabilit´ e des fonctions d´ efinies dans l’exercice 2.
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Exercice 6
Trouver l’´ equation du plan tangent ` a la surface d´ efinie par z=f(x, y)au point A= (x0, y0)dans chacun des cas suivants.
a. f(x, y) = 3x2+ 4y2,A= (0,1).
b. f(x, y) = 2 cos(x−y) + 3 sin x,A= (π, π/2).
c. f(x, y) = px2+y2,A= (1,2).
Exercice 7
Soit (S)la surface d’´ equation : z=x2+y2+x+y−xy =f(x, y).
a. D´ eterminer l’´ equation du plan tangent ` a(S)en M0= (x0, y0, z0).
B. D´ eterminer le point o` u le plan tangent ` a(S)est parall` ele au plan z= 0. Etudier en ce point, la position de (S)par rapport
`
a son plan tangent.
Exercice 8
Consid´ erons la fonction fd´ efinie sur R2par f(x, y) = x2y2
(x2+y2)αsi (x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0, o`
uαest un nombre r´ eel.
Pour quelles valeurs de α, la fonction fest-elle continue sur R2diff´ erentiable sur R2? de classe C1sur R2?
Exercice 9
Etudier la diff´ erentiabilit´ e en (0,0) de la fonction d´ efinie par f(x, y) = x3y
x4+y2si (x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0.
Exercice 10
Consid´ erons la fonction fd´ efinie sur R2par f(x, y) = x3−y3
x2+y2, si (x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0.
a. Etudier la continuit´ e de fsur R2.
b. D´ eterminer les d´ eriv´ ees partielles premi` eres de fsur R2. La fonction fest-elle diff´ erentiable sur R2?
c. La fonction φ:R→R2est d´ efinie par φ(t)=(u(t), v(t)), o` uu(t) = tet v(t) = −t. Posons F=f◦φ. Calculer F0(0)
et A=∂f
∂x (0,0)u0(0) + ∂f ∂y (0,0)v0(0).
Exercice 11
Calculs d’incertitude
a. Donner une valeur approximative ` a la variation de (x+y)/(x−y)lorsque xvarie de x= 2 ` ax= 2,5et yde 4` a4,5.
b. Donner une valeur approch´ ee de ln((1,02)1/4+ (0,96)1/6−1) et de e0,2/0,9.
c. Les longueurs xet ydes deux cˆ ot´ es de l’angle droit d’un triangle rectangle sont connues avec une pr´ ecision inf´ erieure ou
´
egale respectivement ` ahet k. Encadrer l’erreur avec laquelle sera calcul´ ee l’aire du triangle.
Exercice 12
La p´ eriode Td’un pendule, exprim´ ee en secondes, est donn´ ee par la formule T= 2πp`/g o` u`est sa longueur exprim´ ee en
m` etres et gl’acc´ el´ eration de la pesanteur en m` etres pas seconde au carr´ e.
a. Calculer Tpour `= 2m,g= 9,81m/s2et π= 3,14.
b. Estimer l’incertitude sur Tsachant que ∆π= 10−2,∆`= 10−3met ∆g= 10−2m/s2.
Exercice 13
Deux r´ esistances R1et R2, respectivement de 30Ω et 40Ω sont connues ` a0,5%.
a. Le montage en s´ eries des r´ esistances R1et R2fournit une r´ esistance ´ equivalente R=R1+R2. Calculer Ret estimer la
pr´ ecision du r´ esultat.
b. Reprendre la question pr´ ec´ edente, lorsque les r´ esistances sont mont´ ees en parall` ele, sachant qu’alors 1/R = 1/R1+1/R2.
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Math 202 PC. Exercices 2009/2010
Feuille III –Calcul differentiel II
•D´ eriv´ es partielles d’ordre sup´ erieur, Th´ eor` eme de Schwarz.
•Formule de Taylor. Extrema locaux.
•Matrice Jacobienne. Composition
•Changement de coordonn´ ees, C1-diff´ eomorphismes
D´ eriv´ ees partielles secondes.
Exercice 1
Calculer, en chaque point de leur domaine de d´ efinition, les d´ eriv´ ees partielles de second ordre des fonctions suivantes.
a. x−y
x+y.b. yln x.
c. e−x2+y2
4z.d. 1
px2+y2+z2.
Exercice 2
Soit f:R2→Rd´ efinie par :
f(x, y) = y4
x2+y2, si (x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0.
a. Montrer que fest de clase C1sur R2.
b. Montrer que ∂2f
∂x∂y (0,0) et ∂2f ∂y∂x (0,0) existent et sont ´
egales.
c. Montrer que ∂2f
∂x∂y et ∂2f ∂y∂x ne sont pas continues en (0,0)
Exercice 3
Soit f:R2→Rd´ efinie par :
f(x, y) = xy(x2−y2)
x2+y2, si (x, y)6= (0,0),
f(0,0) = 0.
a. Montrer que fest de clase C1sur R2.
b. Montrer que fadmet des d´ eriv´ ees partielles secondes crois´ ees
∂2f
∂x∂y et ∂2f ∂y∂x sur R2et montrer que ∂2f ∂x∂y (0,0) 6=∂2f ∂y∂x (0,0) ; conclure.
Exercice 4
Soit f:R2→Rd´ efinie par :
f(x, y) = xny
x2+y2, si (x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0.
Discuter suivant les valeurs de l’entier positif n, l’appartenance de faux classes C0(R2),C1(R2)et C2(R2).
Exercice 5
On note U:= {(x, y)∈R2:x+y6= 0}. Trouver toutes les applications φ:R∗→Rde classe C2telles que pour
l’application f:U→Rd´ efinie par f(x, y) = φ(x+y)et pour tout (x, y)dans U,ona:
∂2f
∂x∂y (x, y) = 2f(x, y) (x+y)2
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