Algèbre 2

2016
feuille n◦ 2
Université Paris Dauphine
MI2E
Algèbre 2- DU1
Exercice 1
1. Montrer que les vecteurs x1 = (0, 1, 1), x2 = (1, 0, 1) et x3 = (1, 1, 0) forment
une base de R3 . Trouver dans cette base les composantes du vecteur x = (1, 1, 1).
2. Donner, dans R3 , un exemple de famille libre, qui n’est pas génératrice.
3. Donner, dans R3 , un exemple de famille génératrice, mais qui n’est pas libre.
Exercice 2 Vrai ou faux ? On désigne par E un sous espace vectoriel de Rn .
1. Si les vecteurs x, y, z sont deux à deux non colinéaires, alors la famille x, y, z est libre.
2. Soit x1 , x2 , . . . , xp une famille de vecteurs. Si aucun n’est une combinaison linéaire des
autres, la famille est libre.
Exercice 3 Soient v~1 = (1, 2, 3, 4), v~2 = (2, 2, 2, 6), v~3 = (0, 2, 4, 4), v~4 = (1, 0, −1, 2), v~5 =
(2, 3, 0, 1) dans R4 . Soient F = V ect{v~1 , v~2 , v~3 } et G = V ect{v~4 , v~5 }. Déterminer une base des
sous-espaces F ∩ G, F, G et F + G.
Exercice 4 Dans R3 , les vecteurs suivants forment-ils une base ? Sinon décrire le sous-espace
qu’ils engendrent comme ensemble des solutions d’un système linéaire homogène.
1. v1 = (1, 1, 1), v2 = (3, 0, −1), v3 = (−1, 1, −1).
2. v1 = (1, 2, 3), v2 = (3, 0, −1), v3 = (1, 8, 13).
3. v1 = (1, 2, −3), v2 = (1, 0, −1), v3 = (1, 10, −11).
Exercice 5 Dans R4 , on considère les familles de vecteurs suivantes
v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (0, 1, 2, −1), v3 = (1, 0, −2, 3), v4 = (2, 1, 0, −1), v5 = (4, 3, 2, 1).
v1 = (1, 2, 3, 4), v2 = (0, 1, 2, −1), v3 = (3, 4, 5, 16).
v1 = (1, 2, 3, 4), v2 = (0, 1, 2, −1), v3 = (2, 1, 0, 11), v4 = (3, 4, 5, 14).
Ces vecteurs forment-ils :
1. Une famille libre ? Si oui, la compléter pour obtenir une base de R4 . Si non donner des
relations de dépendance entre eux et extraire de cette famille au moins une famille libre.
2. Une famille génératrice ? Si oui, en extraire au moins une base de l’espace. Si non, donner
la dimension du sous-espace qu’ils engendrent, autrement dit le rang de la famille de
vecteurs donnée.
Exercice 6 Soit E l’ensemble des suites réelles (un )n∈N vérifiant la relation de récurrence
un+2 = un+1 + un . Vérifier que E est un espace vectoriel réel et en exhiber une base.
A quelle condition l’ensemble des fonctions C 1 de R dans R vérifiant f 0 (x) = a(x)f + b où a(x)
est une fonction continue de R dans R et b ∈ R forme-t-il un espace vectoriel ? En donner alors
une base.
Exercice 7 Soit R2 [X], l’espace vectoriel des polynômes de degré au plus deux. Montrer que
la famille suivante
P0 (X) = (X + 1)2 , P1 (X) = (X − 1)2 et P2 (X) = 3 ,
(1)
est une base de R2 [X].
Déterminer les coordonnées dans la base précédente d’un polynôme quelconque
P (X) = aX 2 + bX + c
(2)
pour (a, b, c) ∈ R3 .
Exercice 8 Soit E l’ensemble des applications C 1 de R dans R. Soit F l’espace vectoriel des
fonctions de R dans R définies comme suit :
f : x 7→

ax2
cx2
+ b si x ∈] − ∞, 0] ,
si x > 0 .
(3)
1. Montrer que E n’est pas de dimension finie,
2. Exhiber une base de F ,
3. Exhiber une base de F ∩ E.
Exercice 9 (contrôle continu 2012) Soit F l’ensemble des fonctions continues sur [−1, 1]
qui sont affines sur [−1, 0] et sur [0, 1].
1. Démontrez que F est un espace vectoriel.
2. Donner une base de F et sa dimension.
Exercice 10 (contrôle continu 2012) Soit F, G, H trois sous-espaces vectoriels de E un R
espace vectoriel. Montrer que, si F + G = E, F ∩ H = {0} et G ⊂ H alors G = H.
Exercice 11 (contrôle continu 2012) Soit E = RN l’espace des suite réelles et Econv l’ensemble des suites (éléments de E) convergentes, Econst l’ensemble des suites (éléments de E)
constantes et E0 l’ensemble des suites convergentes (éléments de Econv ) dont la limite est 0.
1. Montrer que E est de dimension infinie.
2. Montrer que Econv et Econst sont des sous-espaces vectoriels de E.
3. Montrer que Econv = Econst ⊕ E0 .
Soit p ∈ N∗ et Fp ⊂ E l’ensemble des suites périodiques de période p, c’est à dire qu’elles
vérifient xn+p = xn pour tout n ∈ N.
1. Montrer que E0 et Fp sont en somme directe.
2. Montrer que Fp est de dimension finie, en donner sa dimension et exhiber une base.
3. Montrer que ∪p∈N∗ Fp est un sous-espace vectoriel de E.
Exercice 12 Soient E, F, G des sous-espaces vectoriels de Rn . Montrer que
(E ∩ F ) + (E ∩ G) ⊂ E ∩ (F + G).
A-t-on
(E ∩ F ) + (E ∩ G) = E ∩ (F + G)?
Montrer que
E + (F ∩ G) ⊂ (E + F ) ∩ (E + G).
A-t-on
E + (F ∩ G) = (E + F ) ∩ (E + G)?
Exercice 13 Soient E, F, G des s.e.v. de Rn , Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. F ∩ G = {0} = E ∩ (F + G).
2. E ∩ F = {0} = (E + F ) ∩ G.
3. La réunion de bases de E, F et G est une famille libre.
4. Tout vecteur x ∈ E + F + G se décompose de manière unique comme x = e + f + g, avec
e ∈ E, f ∈ F, g ∈ G.
On rappelle que E, F et G sont en somme directe, ce qui est noté E ⊕ F ⊕ G.
Suffit-il que E ∩ F = E ∩ G = F ∩ G = {0} pour que E, F et G soient en somme directe ?
Exercice 14 Dans Rn , considérons l’ensemble des solutions H de l’équation
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = 0.
Montrer que H est de dimension n − 1 sauf si tous les coefficients ai sont nuls. (On dit que H
est un hyperplan).
Exercice 15 (contrôle continu 2013) Soit F et G deux sous-espaces vectoriel d’un K espace
vectoriel E. On suppose que F ⊕G = E. On considère (g1 , . . . , gk ) une base de G et x1 , . . . , xk ∈
F . Montrer que Vect(g1 + x1 , . . . , gk + xk ) est un supplémentaire de F .
Exercice 16 Soit E un espace vectoriel de dimension finie et E1 , E2 deux sous-espaces vectoriels de E de même dimension. Montrer qu’il existe un sous-espace vectoriel de E qui est
supplémentaire à la fois de E1 et de E2 .
Y-a-il unicité de ce supplémentaire ?
Exercice 17 (contrôle continu 2014) Soit E un K espace vectoriel et F, G, H trois sousespaces vectoriel de E. On suppose F ∩ H = G ∩ H, F + H = G + H et F ⊂ G.
1. Soit g ∈ G. Montrer qu’il existe f ∈ F et h ∈ H tels que g = f + h.
2. En déduire que F = G.