Algèbre 2

Université Paris Dauphine 2016
MI2E feuille n◦2
Algèbre 2- DU1
Exercice 1 1. Montrer que les vecteurs x1= (0,1,1),x2= (1,0,1) et x3= (1,1,0) forment
une base de R3. Trouver dans cette base les composantes du vecteur x= (1,1,1).
2. Donner, dans R3, un exemple de famille libre, qui n’est pas génératrice.
3. Donner, dans R3, un exemple de famille génératrice, mais qui n’est pas libre.
Exercice 2 Vrai ou faux ? On désigne par Eun sous espace vectoriel de Rn.
1. Si les vecteurs x, y, z sont deux à deux non colinéaires, alors la famille x, y, z est libre.
2. Soit x1, x2, . . . , xpune famille de vecteurs. Si aucun n’est une combinaison linéaire des
autres, la famille est libre.
Exercice 3 Soient ~v1= (1,2,3,4), ~v2= (2,2,2,6), ~v3= (0,2,4,4), ~v4= (1,0,−1,2), ~v5=
(2,3,0,1) dans R4. Soient F=V ect{~v1, ~v2, ~v3}et G=V ect{~v4, ~v5}. Déterminer une base des
sous-espaces F∩G, F, G et F+G.
Exercice 4 Dans R3, les vecteurs suivants forment-ils une base ? Sinon décrire le sous-espace
qu’ils engendrent comme ensemble des solutions d’un système linéaire homogène.
1. v1= (1,1,1), v2= (3,0,−1), v3= (−1,1,−1).
2. v1= (1,2,3), v2= (3,0,−1), v3= (1,8,13).
3. v1= (1,2,−3), v2= (1,0,−1), v3= (1,10,−11).
Exercice 5 Dans R4, on considère les familles de vecteurs suivantes
v1= (1,1,1,1),v2= (0,1,2,−1),v3= (1,0,−2,3),v4= (2,1,0,−1),v5= (4,3,2,1).
v1= (1,2,3,4),v2= (0,1,2,−1),v3= (3,4,5,16).
v1= (1,2,3,4),v2= (0,1,2,−1),v3= (2,1,0,11),v4= (3,4,5,14).
Ces vecteurs forment-ils :
1. Une famille libre ? Si oui, la compléter pour obtenir une base de R4. Si non donner des
relations de dépendance entre eux et extraire de cette famille au moins une famille libre.
2. Une famille génératrice ? Si oui, en extraire au moins une base de l’espace. Si non, donner
la dimension du sous-espace qu’ils engendrent, autrement dit le rang de la famille de
vecteurs donnée.
Exercice 6 Soit El’ensemble des suites réelles (un)n∈Nvérifiant la relation de récurrence
un+2 =un+1 +un. Vérifier que Eest un espace vectoriel réel et en exhiber une base.
A quelle condition l’ensemble des fonctions C1de Rdans Rvérifiant f0(x) = a(x)f+boù a(x)
est une fonction continue de Rdans Ret b∈Rforme-t-il un espace vectoriel ? En donner alors
une base.

Exercice 7 Soit R2[X], l’espace vectoriel des polynômes de degré au plus deux. Montrer que
la famille suivante
P0(X)=(X+ 1)2, P1(X) = (X−1)2et P2(X) = 3 ,(1)
est une base de R2[X].
Déterminer les coordonnées dans la base précédente d’un polynôme quelconque
P(X) = aX2+bX +c(2)
pour (a, b, c)∈R3.
Exercice 8 Soit El’ensemble des applications C1de Rdans R. Soit Fl’espace vectoriel des
fonctions de Rdans Rdéfinies comme suit :
f:x7→ 
ax2+bsi x∈]− ∞,0] ,
cx2si x > 0.(3)
1. Montrer que En’est pas de dimension finie,
2. Exhiber une base de F,
3. Exhiber une base de F∩E.
Exercice 9 (contrôle continu 2012) Soit F l’ensemble des fonctions continues sur [−1,1]
qui sont affines sur [−1,0] et sur [0,1].
1. Démontrez que F est un espace vectoriel.
2. Donner une base de F et sa dimension.
Exercice 10 (contrôle continu 2012) Soit F, G, H trois sous-espaces vectoriels de Eun R
espace vectoriel. Montrer que, si F+G=E,F∩H={0}et G⊂Halors G=H.
Exercice 11 (contrôle continu 2012) Soit E=RNl’espace des suite réelles et Econv l’en-
semble des suites (éléments de E) convergentes, Econst l’ensemble des suites (éléments de E)
constantes et E0l’ensemble des suites convergentes (éléments de Econv ) dont la limite est 0.
1. Montrer que Eest de dimension infinie.
2. Montrer que Econv et Econst sont des sous-espaces vectoriels de E.
3. Montrer que Econv =Econst ⊕E0.
Soit p∈N∗et Fp⊂El’ensemble des suites périodiques de période p, c’est à dire qu’elles
vérifient xn+p=xnpour tout n∈N.
1. Montrer que E0et Fpsont en somme directe.
2. Montrer que Fpest de dimension finie, en donner sa dimension et exhiber une base.
3. Montrer que ∪p∈N∗Fpest un sous-espace vectoriel de E.
Exercice 12 Soient E, F, G des sous-espaces vectoriels de Rn. Montrer que
(E∩F)+(E∩G)⊂E∩(F+G).
A-t-on
(E∩F)+(E∩G) = E∩(F+G)?
Montrer que
E+ (F∩G)⊂(E+F)∩(E+G).
A-t-on
E+ (F∩G)=(E+F)∩(E+G)?

Exercice 13 Soient E, F, G des s.e.v. de Rn, Montrer que les propriétés suivantes sont équi-
valentes :
1. F∩G={0}=E∩(F+G).
2. E∩F={0}= (E+F)∩G.
3. La réunion de bases de E, F et Gest une famille libre.
4. Tout vecteur x∈E+F+Gse décompose de manière unique comme x=e+f+g, avec
e∈E, f ∈F, g ∈G.
On rappelle que E, F et Gsont en somme directe, ce qui est noté E⊕F⊕G.
Suffit-il que E∩F=E∩G=F∩G={0}pour que E, F et Gsoient en somme directe ?
Exercice 14 Dans Rn, considérons l’ensemble des solutions Hde l’équation
a1x1+a2x2+. . . +anxn= 0.
Montrer que Hest de dimension n−1sauf si tous les coefficients aisont nuls. (On dit que H
est un hyperplan).
Exercice 15 (contrôle continu 2013) Soit Fet Gdeux sous-espaces vectoriel d’un Kespace
vectoriel E. On suppose que F⊕G=E. On considère (g1, . . . , gk)une base de Get x1, . . . , xk∈
F. Montrer que Vect(g1+x1, . . . , gk+xk)est un supplémentaire de F.
Exercice 16 Soit Eun espace vectoriel de dimension finie et E1, E2deux sous-espaces vec-
toriels de Ede même dimension. Montrer qu’il existe un sous-espace vectoriel de Equi est
supplémentaire à la fois de E1et de E2.
Y-a-il unicité de ce supplémentaire ?
Exercice 17 (contrôle continu 2014) Soit Eun Kespace vectoriel et F, G, H trois sous-
espaces vectoriel de E. On suppose F∩H=G∩H,F+H=G+Het F⊂G.
1. Soit g∈G. Montrer qu’il existe f∈Fet h∈Htels que g=f+h.
2. En déduire que F=G.