Structure des groupes abéliens finis

Structure des groupes ab´ eliens finis
Colas Bardavid
Ce d´ eveloppement a pour but de prouver que les groupes ab´ eliens finis sont des produits directs de quotients
cycliques de Z.
1 Un lemme int´ eressant quant ` a l’obtention d’un suppl´ ementaire
Un groupe ab´ elien est un Z-module. On peut donc parler ` a ce titre de somme directe, de suppl´ ementaire pour
les sous-groupes. Cependant, on n’a pas tous les r´ esultats de la th´ eorie des espaces vectoriels, notamment quant ` a
l’existence de suppl´ ementaires.
Voil` a donc un cas particulier.
Lemme 1 Soient Gun groupe ab´ elien et Hun sous-groupe de G. On suppose qu’il existe ϕ∈Hom (G, K)tel que ϕ
induise un isomorphisme entre Het ϕ(G). Alors, H⊕ker ϕ =G.
D´ emonstration : Soit x∈G. Le but est de prouver qu’il existe un unique x0∈Htel que x−x0∈ker ϕ,ie
ϕ(x) = ϕ(x0). C’est le cas puisque ϕ:H→ϕ(G)est bijectif. 
2 Exposant d’un groupe ab´ elien
D´ efinition 1 Soit Gun groupe fini. On appelle exposant de Gle ppcm des ordres de G.
On va montrer qu’il existe que si Gest ab´ elien, il existe un ´ el´ ement dont l’ordre est l’exposant de G.
Lemme 2 Soit (G, .)un groupe ab´ elien fini. Si aet bsont deux ´ el´ ements de Gd’ordre net mpremiers entre eux, alors ab
est d’ordre nm.
D´ emonstration : On a d’abord (ab)nm = (an)m(bm)n=e. Donc ω(ab)|(nm). Par ailleurs, si (ab)p=e, alors
x=ap=b−pappartient ` a<a>et ` a<b>, groupes de cardinal respectif net m. Donc l’ordre de x, divisant net
m, vaut 1. Donc ap=e, et donc n|p. De mˆ eme, m|p, et ainsi, (nm)|p.
Proposition 1 Soit (G, .)un groupe ab´ elien fini. Alors un ´ el´ ement de Gest d’ordre l’exposant de G.
D´ emonstration : Notons n=Qi≤npαi
i, o`
u les pisont distincts et premiers. Alors, par d´ efinition de n, il existe un
´
element xide Gd’ordre mpαi
i. On v´
erifie alors que yi=xmest d’ordre pαi
i. Enfin, d’apr`
es le lemme pr´ ec´ edent, on
sait que Qi≤nyiest d’ordre n.
3 Caract` eres d’un groupe ab´ elien
D´ efinition 2 Soit Gun groupe ab´ elien ; on appelle caract` ere de Gtout morphisme de Gdans le groupe (U,×)des
complexes de module 1.
On note b Get on appelle groupe dual de Gl’ensemble des caract` eres de G, muni de la multiplication des fonctions ` a
valeurs dans U.
Lemme 3 (Prolongement des caract` eres) Soient (G, +) un groupe ab´ elien fini, Hun sous-groupe de Get ϕ∈b H.
Alors, il existe un ´ el´ ement de b Gprolongeant ϕ.
D´ emonstration : Si H=G, c’est fini. Sinon, on montre que l’on peut prolonger ϕ` a un sous-groupe de Gcontenant
strictement H; en r´ ep´ etant un nombre fini de fois ce processus, on obtient le r´ esultat escompt´ e. Soit donc x∈G\H.
Soit K=Zx+Hle groupe engendr´ e par xet H.
On consid` ere alors E={k∈Z/ kx ∈H}, qui un sous-groupe non-nul de Z; en effet, ω(x)en est un ´ el´ ement.
1

On ´ ecrit donc E=mZ, o` um∈N∗. Soit alors γ∈U/ γm=ϕ(mx).V´ erifions que ψ:K→U
kx +h7→ γkϕ(h)d´
efinit
un caract` ere de K. Si kx +h=k0x+h0, alors on a (k−k0) = tm et tmx =h0−h. Et,
γkϕ(h)
γk0ϕ(h0)=γk−k0ϕ(h−h0) = γtmϕ(h−h0) = ϕ(mx)tϕ(h−h0) = ϕ(tmx −(h0−h)) = 1.
Il est ensuite clair que ψest ` a valeurs dans U, est un morphisme et prolonge ϕ.
Lemme 4 Soient (G, +) un groupe ab´ elien fini, xd’ordre l’exposant de G. Alors, il existe Hun sous-groupe de Gtel que
G=H⊕Zx.
D´ emonstration : Notons nl’ordre de x. Soit ϕ∈[ (Zx)d´ efini par ϕ(x) = eiπ/n : c’est un isomorphisme. On prolonge
ϕen ψ∈b G. On a ψ(nx) = 1 = ψ(x)npar d´ efinition de n. Donc ψest ` a valeurs dans Un=ψ(Zx). On est alors
dans le cadre du lemme 1.
On a donc G=Zx⊕ker ψ.
4 Structure des groupes ab´ eliens finis
Th´ eor` eme 1 (Structure des groupes ab´ eliens finis) Soit Gun groupe ab´ elien fini non-nul. Alors, il existe (ni)i≤n∈
(N∗\ {1})ptels que
G'
p
Y
i
Z/
niZ.
D´ emonstration : On d´ emontre le r´ esultat par r´ ecurrence sur n=|G|.
n= 2 : Alors, G'Z/
2Z.
HRn=⇒HRn+1 : Notons d≥2l’exposant de Get xun ´ el´ ement d’ordre d. D’apr` es le lemme pr´ ec´ ede, soit H
un sous-groupe de Gtel que G=Zx⊕H. Alors, ϕ:G→Z/
dZ×H
px +h7→ (χd(p), h)est un isomorphisme de groupes.
Comme |H| ≤ |G| − 1, l’hypoth` ese de r´ ecurrence permet de conclure. 
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