C107_1 Rappels de probabilités 1

C107_1 Rappels de probabilités 1
Rappels de probabilités
Probabilités 1 Evénements et probabilités
Propriétés des probabilités
Probabilisation
Probabilités composées
Tests
Avant-propos
Les lignes qui suivent sont sans prétention. Elles ne visent pas à constituer un cours de probabilité
exhaustif et rigoureux (surtout au plan mathématique). Notre objectif est tout autre et se veut
essentiellement utilitaire. C’est pour cette raison que l’appel à l’intuition est souvent évoqué avec
" masquage " plus ou moins réussi de notions mathématiques complexes qui ne feraient qu’alourdir l’exposé
sans apporter de véritables outils pour le calcul effectif et concret des probabilités dont nous ferons un
usage important mais à un niveau, somme toute, élémentaire dans la suite du cours.
Le lecteur, suivant la formule consacrée, est renvoyé à des ouvrages de base pour un approfondissement
plus important.
Il convient de noter toutefois, que pour ce module, la partie "Probabilités 2" est fondamentale.
Evénements et probabilité
On considère un ensemble non vide E dont les éléments sont quelconques. Les parties de E sont les
ensembles que l’on peut former à partir des éléments de E.

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exemple 1 : E = {a,b,c,d}
a, b, c, d sont les éléments de E
{a,b}, {c,d}, {a,b,c}, {b},E, F ={} sont des parties de E
Toutes les parties de E sont :
Partie à 0 élément : ∅ ={}
Parties à 1 élément : {a}, {b}, {c}, {d}
Parties à 2 éléments : {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}
Parties à 3 éléments : {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}
Partie à 4 éléments : E = {a,b,c,d}
Il y a donc 16 parties pour E
L’ensemble des parties d’un ensemble E est noté P(E). On notera que le nombre d’éléments de P (E) est 2n si
E possède n éléments.
exemple 2 : en reprenant l’exemple précédent, on a clairement :
P(E) = { ∅ , {a}, {b}, {c}, {d}, {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}, {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}, E}
et on constate bien que 16 = 24.
Appelons maintenant événements les éléments de P(E) et définissons une application p de P(E) dans R
(ensemble des nombres réels) satisfaisant les axiomes suivants :
Axiome1 : ∀A ∈ P(E) p(A) >= 0
Axiome 2 : p(E) = 1
Axiome 3 : si A∩B=∅ alors p(A∪B)=p(A)+p(B)
Cette application est appelée une probabilité sur P(E).
Un peu de vocabulaire : E est l’événement certain. ∅ est l’événement impossible. {a}, {b}, {c}, {d} sont des
événements élémentaires (on ne peut pas les fabriquer à partir d’éléments plus simples). Si A∩B=∅ , on dit
que A et B sont des événements incompatibles. Si A* est le complémentaire de A, alors on dit que A et A*
sont contraires.

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exemple 3 : reprenons l’exemple précédent (rentabilisé).
{a} et {b,c,d} sont contraires, de même que E et ∅ ou encore que {a,b} et {c,d}. {a} et {b,c} sont
incompatibles, de même que {a} et {c} ou encore que {a,b} et {c,d}
On notera d’ailleurs que des événements contraires sont incompatibles, mais que l’inverse n’est pas vrai :
{a} et {b,c,d} sont contraires donc incompatibles, mais {a} et {b,c} sont incompatibles mais non contraires.
exemple 4 : Désignons par {x} le tirage d’une carte x dans un jeu de cartes. Les éléments de E sont {as de
cœur},{valet de carreau}, {6 de trèfle}, etc…L’événement " tirer un cœur " est défini par exemple par
{cœur} = {as de cœur} ∪{2 de cœur}∪{3 de cœur}∪…….∪{10 de cœur}∪{valet de cœur}∪{dame de
cœur}∪{roi de cœur} = {{as de cœur},{2 de cœur},{3 de cœur},…….,{10 de cœur) ,{valet de cœur},{dame de
cœur},{roi de cœur}} et est une partie de E. " Tirer un cœur " et " tirer un trèfle " sont deux événements
incompatibles car {cœur}∩{trèfle}=∅ . " Tirer un cœur " et " tirer un trèfle ou un carreau ou un pique "
sont des événements contraires car {cœur}*={trèfle}∪{carreau}∪{pique}
Propriétés des probabilités
Des axiomes de définition, on peut assez aisément tirer les conséquences suivantes (que nous ne
démontrons pas)
Prop 1 : si A⊂ B alors p(A)<p(B)
Prop 2 : p(A)≤ 1 ∀A ∈ P(E)
Prop 3 : p(A*) = 1 – p(A) ∀A∈ P(E)
Prop 4 : p(∅ ) = 0
Prop 5 : p(A∪B) = p(A) + p(B) – p(A∩B)

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exemple 5 : Reprenons l’exemple 4. Comme {cœur }, {trèfle}, {carreau} et {pique} sont disjoints deux à
deux, on a :
p(tirer un cœur)=p({cœur})=1 – p({trèfle}∪{carreau}∪{pique})=1 – p({trèfle}) – p({carreau}) – p({pique})
p(tirer une carte quelconque) = 1
p(tirer un cœur ou un 10) = p({cœur})+p({10})-p({10}{cœur})
mais p({cœur})=p({as de cœur}∪{2 de cœur}∪{3 de cœur}∪…….∪{10 de cœur}∪{valet de cœur}∪{dame
de cœur}∪{roi de cœur})=p({as de cœur})+p({2 de cœur})+p({3 de cœur})+…….+p({10 de cœur}) +p({valet
de cœur})+p({dame de cœur})+p({roi de cœur})
et p({10})=p({10 de cœur}∪{10 de trèfle}∪{10 de carreau}∪{10 de pique})=p({10 de cœur})+p({10 de
trèfle})+p({10 de carreau})+p({10 de pique})
de sorte que p(tirer un cœur ou un 10)= p({as de cœur})+p({2 de cœur})+p({3 de cœur})+……. +p({valet de
cœur})+p({dame de cœur})+p({roi de cœur}) +p({10 de cœur})+p({10 de trèfle})+p({10 de carreau})+p({10
de pique})
Probabilisation
Les définitions précédentes donnent la signification d’une probabilité mais elles ne donnent pas le moyen de
définir concrètement une probabilité.
En général, la notion d’équiprobabilité est d’une aide certaine. Des événements élémentaires sont considérés
comme équiprobables s’ils ont des probabilités égales.
exemple 6 : Jet d’un dé ; le dé n’étant pas considéré comme pipé , on admettra que :
p({1}) = p({2}) = p({3}) = p({4}) = p({5}) = p({6})

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exemple 7 : tirage d’une carte ; les cartes étant physiquement identiques, on a :
p({6 de trèfle})=p({3 de carreau})=p({valet de cœur})=p({dame de pique})
Dans le cas d’événements élémentaires équiprobables, ∀Xi, Xj événements élémentaires, p(Xi)=p(Xj)
De sorte que p(X1)+p(X2)+……+p(Xn)=p(X1∪X2∪….∪Xn)=p(E)=1
d’où p(Xi) = 1/n
On en déduit que ∀A∈ P(E), A = X1∪X2∪ ……∪Xk (puisque les Xi sont élémentaires)
Donc p(A) = p(X1) + p(X2) + …..+ p(Xk) = k/n
Cette relation, dans le langage courant, s’exprime ainsi :
La probabilité d’un événement est le rapport du nombre de cas favorables au nombre de cas possibles.
L’exemple suivant illustre cette dénomination (très usuelle).
exemple 8 : Jet d’un dé. Les événements élémentaires sont équiprobables
p({1}) = p({2}) = p({3}) = p({4}) = p({5}) = p({6}) = 1/6
par suite la probabilité d’obtenir un chiffre impair est
p({impair})=p({1})+p({3})+p({5}) = 3/6 = ½ = 0,5
exemple 9 : Jeu de cartes ; tirage de cartes ; tous les tirages de cartes individuelles sont équiprobables
( pour un bon jeu de cartes). Donc
p({cœur})=13xp({carte quelconque}) = 13x(1/52) =¼
Une conséquence importante du schéma équiprobabiliste est que la somme des probabilités relatives à une
expérience est 1. En effet, soit A, B, …. les événements incompatibles, résultats de l’expérience et soit
n(A), n(B),… leurs nombres de cas favorables (pas de double comptage). Alors, en posant n(A) + n(B) + …..= n