Notes de cours de Mathématiques en première ES/L

Première ES/L Lycée Georges Imbert 2015/2016
Notes de cours de Mathématiques en
première ES/L
O. Lader
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Première ES/L Lycée Georges Imbert 2015/2016
Table des matières
1 Pourcentages, taux d’évolution (4S) 3
1.1 Évolution ................................................. 3
2 Fonctions du second degré (3S) 6
2.1 Formecanonique ............................................. 6
2.2 Sensdevariation............................................. 7
2.3 Équationduseconddegré ........................................ 9
2.4 Signe d’un polynôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Statistiques descriptives (2S) 13
3.1 Lamoyenneetlavariance........................................ 14
4 Suites numériques (1,5S) 17
5 Fonctions de référence (1,5S) 19
5.1 Rappelssurlesfonctions......................................... 19
5.2 Lesfonctionsderéférence ........................................ 20
6 Variables aléatoires, loi de probabilités, espérance 24
6.1 Rappels .................................................. 24
6.2 Variable aléatoire et loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.3 Espéranceetvariance .......................................... 28
6.4 Modèledelarépétition.......................................... 28
7 Nombre dérivé, fonction dérivée (2S) 31
7.1 Dérivée des fonctions de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7.2 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8 Suites de références et sens de variation des suites (2S) 35
8.1 Suites arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8.2 Sensdevariationdessuites ....................................... 36
9 Schéma de Bernoulli, loi binomiale (2,5S) 37
9.1 ExpériencedeBernoulli ......................................... 37
9.2 SchémadeBernoulli ........................................... 37
10 Fonction dérivée et opérations sur les fonctions (2S) 43
10.1 Dérivée des fonctions de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
10.2 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
11 Échantillonnage (1,5S) 45
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1 Pourcentages, taux d’évolution (4S)
Définition 1.1. Soit Aune partie d’une population E. La proportion des éléments de Apar rapport
àEest
p=Nombre d’éléments de A
Nombre d’éléments de E=nA nE
Lorsqu’on connait deux quantités parmi les trois termes p,nAet nE, on peut retrouver le troisième :
Propriété 1.2. Soit p=nA
nEla proportion de Adans E, alors on a :
1. nA=p×nE;
2. nE=nA
p.
Une proportion s’exprime souvent sous forme de pourcentage.
Un pourcentage est une façon d’exprimer un nombre comme une fraction de cent :
a% = a1
100 où 0≤a≤100
Exemple. Dans une population de référence constitué de 400 personnes, on suppose que 56 personnes ont une
particularité P. La proportion de personnes ayant la particularité Pest 56
400 .
Pour exprimer cette proportion en un pourcentage, on peut procéder comme suit :
56
400 =56 ×100 400 ×100 =56 4
1
100 =14%
On peut retrouver le pourcentage, en complétant le tableau de proportionnalité suivant :
400
56
100
100 ×56
400 =14 ×56
400
Le nombre 14 représente le nombre de personnes ayant la particularité Pparmi 100 personnes.
1.1 Évolution
Définition 1.3. Une grandeur évolue d’une valeur initiale y1à une valeur finale y2.
•La variation absolue est y2−y1;
•La variation relative est y2−y1
y1;
•Le nombre t=y2−y1
y1est le taux d’évolution de y1ày2.
Le taux d’évolution est souvent exprimé en pourcentage :
— Si t > 0, on pose p=t×100, alors t=p%et on a une augmentation de p%de y1ày2.
— Si t < 0, on pose p=−t×100, alors t=−p%et on a une diminution de p%de y1ày2.
Exemple. La température en un lieu passe de 15˚Cà21˚Cpendant la matinée. Le taux d’évolution de la
température est t= 0,4et la température a augmenté de 40%.
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Propriété 1.4 (et définition).Faire évoluer une quantité y1d’un taux d’évolution tày2revient à la multiplier
par 1 + t:
y2= (1 + t)y1
Le coefficient
c= 1 + t=y2
y1
est appelé coefficient multiplicateur.
Exemple. Le prix d’un produit, égal à 12e, augmente de 3%.
Le taux d’évolution est égal à 0.03 et le coefficient multiplicateur est égal à 1+0,03. Le prix après augmentation
est alors 12 ×1.03e.
Définition 1.5. Soit xun nombre représentant par exemple un prix ou une quantité, soit pun pourcentage.
— Le nombre p
100 ×xreprésente les p%de x.
—Augmenter xde p%revient à lui ajouter p%de lui-même. Le résultat peut être écrit de la manière
suivante :
x+p
100 ×x= (1 + p 100)×x
—Diminuer xde p%revient à lui retrancher p%de lui-même. Le résultat peut être écrit de la manière
suivante :
x−p
100 ×x= (1 −p 100)×x
Le nombre 1±p
100 par lequel on multiplie xdans les deux cas précédent est appellé coefficient multipli-
catif.
Considérons deux évolutions successives :
y1y2y3
×(1 + t)
×(1 + t1)×(1 + t2)
D’après le propriété précédente, on a les trois relations suivantes :
y2= (1 + t1)y1,y3= (1 + t2)y2et y3= (1 + t)y1
D’où
Propriété 1.6. Le coefficient multiplicateur de y0ày2est égale à produit des coefficients multiplicateurs
successifs et on a la relation suivante entre les différents taux d’évolutions :
t= (1 + t1)×(1 + t2)−1
Remarque. Attention ! Si une quantité y1évolue d’une taux d’évolution tet ensuite du taux d’évolution −t
alors elle n’est en général plus égal à y1.
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Par exemple, considérons une paire de chaussures à 70 euros. On l’augmente de 10%, on obtient 70 ×(1 +
10
100 ) = 77. Pour revenir en arrière, on y arrive pas en diminuant de 10%. En effet, 77 diminué de 10% vaut
77 ×(1 −10
100 ) = 69.3qui est bien différent de 70 ! Le taux d’évolution réciproque qui permet de revenir à 70
euros est t0=70−77
77 ' −0.091 = −9.1%
Propriété 1.7 (et définition).Soit tle taux d’évolution de y1ày2et c= 1 + tle coefficient multiplicateur.
•Le coefficient multiplicateur réciproque est c0=1
c;
•Le taux d’évolution réciproque est
t0=1
1 + t−1
De plus, si on fait évoluer y2du taux d’évolution réciproque t0, on revient à y1:
y1y2
×1
c
×c
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