Dénombrement - Dominique Frin

B. Dénombrement
Dans tout ce paragraphe, On considère un ensemble E fini de n éléments (n  1).
1. Listes d'éléments d'un ensemble fini
Définition : On considère un ensemble E fini de n éléments (n  1) et un entier p  1.
Une liste de p éléments de E (ou p-liste) est une suite ordonnée de p éléments de E, non nécessairement distincts.
Pour 1  p  n, une liste de p éléments de E deux à deux distincts est une suite ordonnée de p éléments de E.
Exemple : L'ensemble constitué des six faces d'un dés est l'ensemble {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Des 2-listes de cet ensemble sont {1,1}, {4,5}, {3, 6},...
Des listes de 3 éléments deux à deux distincts sont {1, 3, 4}, {4, 5, 6}, ...
Propriété: Pour tout entier p  1, le nombre de listes de p éléments de E est égal à np.
Pour tout entier p tel que 1  p  n, le nombre de listes de p éléments de E deux à deux distincts est égal à
n(n – 1)(n – 2)....(n – p + 1).
Dans l'exemple précédent, le nombre de listes de 2 éléments de E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} est égal à 62 = 36 (qui correspond à
tous les résultats possibles du lancer de deux dés).
Et le nombre de listes de 3 éléments deux à deux distincts est égal à 6×5×4 = 120 (qui correspond aux résultats
donnant des faces distinctes du lancer de trois dés).
Permutations : On appelle permutation des éléments de l'ensemble E, une liste de n éléments de E deux à deux
distincts. Le nombre de permutations de E est égal à n(n – 1)(n – 2).... 2×1.
On note ce nombre n! (lire « n factorielle » ou « factorielle n »).
Exemple : On tire trois cartes d'un jeu de 32. Déterminer le nombre de tirages possibles dans les deux cas suivants:
a) on remet chaque carte avant de tirer la suivante (tirage avec remise).
b) on tire successivement les cartes sans les remettre (tirage sans remise).
Dans le cas a), il s'agit de 3-listes dans un ensemble contenant 32 éléments (les cartes), donc le nombre de tirages
possibles est 323 = 32768.
Dans le cas b), il s'agit de 3-listes d'éléments deux à deux distincts dans un ensemble contenant 32 éléments, donc le
nombre de tirages possibles est 32×31×30 = 29760.
Propriété : Avec la notation factorielle, on peut alors écrire:
le nombre de listes de p éléments de E deux à deux distincts est égal à n(n – 1)(n – 2)....(n – p + 1) =
n!
np!
.
2. Combinaisons
Définition : Soit p un entier tel que 0  p  n. On appelle combinaison de p éléments de l'ensemble E, toute partie de E
ayant p éléments.
Le nombre de combinaisons de p éléments d'un ensemble à n éléments est noté
n
p
.
a) Dénombrement des combinaisons
Propriété : Le nombre de combinaisons de p éléments d'un ensemble à n éléments est égal à
n!
p!np!
=
n
p
.
Démonstration : le nombre de p-listes d'éléments deux à deux distincts se calcule en deux étapes:
1) on dénombre le nombre de parties de E à p éléments: il y en a
n
p
.
2) on classe les p éléments d'une partie: il y a p! possibilités.
Donc il y a
n
p
p! listes de p éléments deux à deux distincts, donc
n!
np!
=
n
p
p! , d'où
n
p
=
n!
p!np!
.
Exemples: nombre de tirages de 6 numéros possibles au LOTO : un tirage est une partie de l'ensemble E constitué des
nombres entiers de 1 à 49; il y a donc
49
6
=
49!
6 ! 43 !
= 13983816.

b) Coefficients binomiaux
Propriétés: Pour tous entiers n et p tels que 0  p  n ,
n
0
=
n
n
= 1;
n
1
= n ;
n
p
=
n
np
.
Pour tous entiers n et p tels que 1  p  n – 1 ,
n
p
=
n1
p
+
n1
p1
. (Triangle de Pascal)
Démonstration:
n
0
=
n
n
= 1: le nombre de parties à 0 éléments = 1 et le nombre de parties à n éléments = 1 ;
n
1
= n : le nombre de parties à 1 éléments = n = Card(E).
n
p
=
n
np
: le nombre de parties à p éléments = le nombre de parties
à n – p éléments, car choisir p éléments dans l'ensemble E,
c'est laisser n – p éléments dans E.
n
p
=
n1
p
+
n1
p1
: On considère un élément a de E.
Pour 1  p  n – 1, les parties de E sont de deux types:
1) celles qui contiennent l'élément a et p – 1 éléments autres que a, pris parmi n – 1: il y en a
n1
p1
.
2) celles qui ne contiennent pas l'élément a et p éléments autres que a, pris parmi n – 1: il y en a
n1
p
.
Le nombre total de ces parties est
n
p
, d'où l'égalité:
n
p
=
n1
p
+
n1
p1
.
Le triangle de Pascal ci-contre se construit en utilisant la formule:
Un nombre du tableau est égal à la somme du nombre au-dessus et de celui à sa gauche, comme 6 + 4 = 10.
Théorème: Pour tous nombres complexes a et b et n un entier naturel non nul,
(a + b)n =
k=0
k=n
n
k
ankbk
= an +
n
1
an1b
+
n
2
an2b2
+ ... +
n
n1
a bn1
+ bn .
Les nombres
n
p
portent ainsi le nom de coefficients binomiaux.
Démonstration: En développant (a + b)n = (a + b)(a + b)...(a + b), on obtient des termes de la forme apbq avec
0  p  n et 0  q  n et p + q = n. Le nombre de termes de cette forme est obtenu en prenant a dans p facteurs et b
dans q = n – p facteurs, il y en a
n
p
, d'où la formule du binôme.
Exemples : (x + 1)6 = x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1. (x – 1)4 = x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 1.
En prenant a = b = 1, on obtient
k=0
k=n
n
k
= 2n . Ce résultat affirme que le nombre de parties dans l'ensemble E est 2n .
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1