courbes paramétrées - MPSI-1

COURBES PARAMÉTRÉES
MPSI 1–Lycée Thiers
Année 2008-2009
Table des matières
A Quelques rappels et précisions en analyse vectorielle 2
A.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
A.2 Les cas qui nous intéressent pour la géométrie : n= 2,3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
B Courbes paramétrées du plan : généralités 3
B.1 Définitions................................................... 3
B.2 Interprétation cinématique (où l’on rappelle une terminologie connue) . . . . . . . . . . . . . . . . 5
B.3 Changement de paramétrage admissible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
B.4 Orientation d’un arc paramétré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
B.5 Développement limité d’une fonction vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
C Étude locale d’un arc paramétré 7
C.1 Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
C.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
C.1.2 Tangente en un point régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
C.1.3 Tangente en un point quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
C.2 Allure d’une courbe au voisinage d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
C.2.1 Position relative de la courbe par rapport à sa tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
C.2.2 Position locale relative de la courbe par rapport à une droite sécante à la courbe . . . . . . 12
C.2.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
C.3 Branches infinies (exemples d’étude) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
C.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
C.3.2 Cas où l’une des coordonnées tend vers l’infini et l’autre tend vers une limite finie . . . . . 13
C.3.3 Cas où les deux coordonnées tendent vers l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
C.3.4 Position relative de la courbe par rapport à son asymptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
C.3.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
D Étude pratique d’une courbe paramétrée 15
D.1 Plan d’étude d’une courbe plane paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
D.2 Points simples, points multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
D.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
E Courbes paramétrées en coordonnées polaires 17
E.1 Représentation polaire d’une courbe paramétrée : généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
E.2 Cas particulier : courbe donnée par une équation polaire ρ=ρ(θ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
E.2.1 Expressions de la position, de la vitesse, de l’accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
E.2.2 Points stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
E.2.3 Tangente en un point régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
E.2.4 Tangente au point origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
E.2.5 Points biréguliers, concavité de la courbe en un point birégulier . . . . . . . . . . . . . . . . 19
E.3 Exemples d’étude d’une courbe donnée par une équation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
F Longueur d’un arc de courbe 20

Mathématiques chapitre : courbes page 2
G Abscisse curviligne 21
G.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
G.2 Paramétrage de la courbe par une abscisse curviligne lorsque l’arc est régulier . . . . . . . . . . . . 22
H Repère de Frenet 23
I Courbure des courbes planes, paramétrage angulaire 24
I.1 ”Angle α” ................................................... 24
I.1.1 Avant de se lancer: le théorème de relèvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
I.1.2 Retour à nos moutons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
I.2 Courbure.................................................... 26
I.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
I.2.2 Formules de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
I.2.3 Birégularité et courbure, rayon de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
I.2.4 Calcul de la courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
I.3 Paramétrage angulaire lorsque l’arc est birégulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
.
Nous travaillons dans tout le chapitre dans le plan affine euclidien orienté Pmuni d’un repère orthonormal
direct ³O,−→ i ,−→ j´.
Le repère orthonormal direct ³O,−→ i ,−→ j´permet d’identifier l’espace affine euclidien Pà l’espace R2euclidien
canonique : c’est ce que l’on fait (et que l’on fera) lorsque l’on travaille avec les coordonnées des points de P
dans le repère ³O,−→ i ,−→ j´.
A Quelques rappels et précisions en analyse vectorielle
A.1 Définitions générales
Définition 1 Soit n≥2.Une application de Idans Rnest appelée fonction vectorielle à variable réelle.
– Une fonction vectorielle fest donc donnée par nfonctions f1,f2,...,fndéfinies sur Iet à valeurs réelles :
f:I→Rn
t7→ f(t) = 
f1(t)
.
.
.
fn(t)
–f1,...,fnsont les fonctions composantes de f.
Remarque 1 – L’ensemble des fonctions vectorielles F(I,Rn)est muni de la structure de R-espace vectoriel
provenant de celle de Rn: la somme de deux fonctions vectorielles et le produit externe sur Rne font pas
de mystère.
– On peut ajouter à cela que l’on peut considérer le ”produit” λf ∈ F (I,Rn)où λest une fonction définie
sur Iet à valeurs réelles et f∈ F (I,Rn): de façon ”naturelle” c’est la fonction vectorielle
λf :I→Rn
t7→ λ(t)f(t)
=
λ(t)f1(t)
.
.
.
λ(t)fn(t)
.
– C’est à partir des composantes de f:I→Rnque l’on définit alors toutes les notions chères à l’analyse :
limite et continuité de fen un point de I, sur I,dérivabilité en un point de I, dérivabilité sur I,fonction
dérivée de f(notée f0ou df
dt ), primitive,dérivées successives,fest de classe Ckoù k∈N∪ {∞}...

Mathématiques chapitre : courbes page 3
– Notons que si −→ gest fonction vectorielle définie sur Iet à valeurs dans Rn, et t0désigne un point ou une
extrémité de I. Enfin m∈.
1. (a) −→ g(t)→t→t0−→
0ssi k−→ g(t)k →t→t00.
(b) Si −→ g(t)→t→t0−→
l∈Rnalors k−→ g(t)k →t→t0°
°
°−→
l°
°
°. (Réciproque fausse).
2. −→ g(t) =
t→t0
o((t−t0)m)lorsque, par définition, il existe une fonction vectorielle −→ εtelle que −→ g(t) =
(t−t0)m−→ ε(t)et −→ ε(t)→t→t0−→
0.
Ainsi : −→ g(t) =
t→t0
o((t−t0)m)ssi 1
(t−t0)m−→
g(t)→t→t0−→
0( et g(t0) = −→ 0si t0∈Iet m≥1)ssi
les fonctions composantes (fonctions à valeurs réelles) de −→ gsont ”des o((t−t0)m)au voisinage de
t0”ssi k−→ g(t)k=
t→t0
o((t−t0)m)(fonction à valeurs réelles).
A.2 Les cas qui nous intéressent pour la géométrie : n= 2,3
– On peut tout d’abord noter que pour n= 2 et par identification du plan euclidien R2avec C, une fonction
vectorielle définie sur Is’interprète comme une fonction de Idans C.
– Étant données des fonctions vectorielles −→ f,−→ get −→ hdéfinies sur Ion définit de façon ”naturelle” les fonc-
tions à valeurs réelles :
1. Produit scalaire :−→
f .−→ g:I→R
t7→ −→ f(t).−→ g(t)
, fonction à valeurs réelles ;
2. Norme : °
°
°−→
f°
°
°:I→R
t7→ °
°
°−→
f(t)°
°
°
, fonction à valeurs réelles positives ;
3. Produit mixte en dimension 2 :h−→
f ,−→ gi:I→R
t7→ h−→
f(t),−→ g(t)i
, fonction à valeurs réelles ;
4. Produit mixte en dimension 3 :h−→
f ,−→ g ,−→ hi:I→R
t7→ h−→
f(t),−→ g(t),−→ h(t)i
, fonction à valeurs réelles ;
5. Produit vectoriel en dimension 3 :−→
f∧−→ g:I→R3
t7→ −→ f(t)∧−→ g(t)
, fonction vectorielle.
Propriétés Soient −→ f ,−→ g:I→Rndérivables, λ:I→Rdérivable et α∈R. On a :
1. −→ f+−→ g:I→Rnest dérivable et ³−→ f+−→ g´0 =−→ f0+−→ g0.
2. α−→ f:I→Rnest dérivable et ³α−→ f´0
=α−→ f0.
3. λ−→ f:I→Rndérivable et ³λ−→ f´0
=λ0−→
f+λ−→ f0.
4. −→ f .−→ g:I→Rest dérivable et ³−→ f .−→ g´0
=−→ f0.−→ g+−→ f .−→ g0.
5. Si de plus −→ fne s’annule pas alors °
°
°−→
f°
°
°:I→Rest dérivable et °
°
°−→
f°
°
°
0
=−→
f0.−→ f
°
°
°−→
f°
°
°
.
6. Cas n= 2 uniquement : h−→
f ,−→ gi:I→Rest dérivable et h−→
f ,−→ gi=h−→
f0,−→ gi+h−→
f ,−→ g0i.
7. Cas n= 3 uniquement : −→ f∧−→ g:I→R3est dérivable et ³−→
f∧−→ g´0
=−→ f0∧−→ g+−→ f∧−→ g0.
Remarque 2
En passant par les écritures à l’aide des composantes des fonctions vectorielles impliquées, il ne fait aucun doute
que si −→ f ,−→ g ,−→ h:I→Rnsont kfois dérivables (respectivement de classe Ck) où k∈N∪ {∞}, alors −→ f+−→ g,α−→ f,
λ−→ f,−→ f .−→ g,h−→
f ,−→ gi,h−→
f ,−→ g ,−→ hi,−→ f∧−→ gsont kfois dérivables (respectivement de classe Ck) ; et si −→ fne s’annule
pas alors °
°
°−→
f°
°
°est kfois dérivables (respectivement de classe Ck).

Mathématiques chapitre : courbes page 4
B Courbes paramétrées du plan : généralités
B.1 Définitions
Définition 2
1. Un arc paramétré Γest une application continue sur un intervalle non trivial Ide Ret à
valeurs dans P:
I→ P
t7→ M(t) = (x(t),y (t))
où t7→ x(t)et t7→ y(t)sont des fonctions continues sur Iet à valeurs réelles.
2. Soit k∈N∪ {∞}. On dit que l’arc paramétré Γest de classe Cklorsque l’application Γest
de classe Ck, c’est-à-dire lorsque les fonctions coordonnées xet ysont de classe Ck.
3. Le support de Γest l’ensemble Γ (I) = {M(t),t ∈I}de points du plan.
4. Une courbe paramétrée Cest une application continue sur une partie Dde Ret à valeurs
dans P:
D→ P
t7→ M(t) = (x(t),y (t))
où t7→ x(t)et t7→ y(t)sont des fonctions continues sur Iet à valeurs réelles.
Dans la pratique Dsera une réunion finie (ou infinie et pas trop compliquée) d’intervalles
non triviaux. On peut alors ramener certaines études (comme l’étude des tangentes ou des
asymptotes) à une étude sur chaque intervalle.
Exemples 1 1. (a) ½x(t) = 1 + t
y(t) = 2 −t,t ∈R. Son support est la droite..
(b) ½x(t) = 1 + t
y(t) = 2 −t,t ∈R+. Son support est la demi-droite...
(c) ½x(t) = 1 + t
y(t) = 2 −t,t ∈[1,2[. Son support est ...
2. ½x(t) = 1 + 3 cos t
y(t) = 2 + 3 sin t,t ∈[0; 2π[. a pour support ...
3. L’arc paramétré ½x(t) = 2 (t−sin t)
y(t) = 2 (1 −cos t),t ∈Ra pour support une cycloïde
1. (x(t) = t
y(t) = 1
t
,t ∈R∗.Elle a pour support l’hyperbole équilatère d’équation cartésienne y=1
x.
Remarque 3
1) Qu’appelle-t-on une représentation paramétrique (ou paramétrage) d’une courbe du plan?
Une courbe Cdu plan étant donnée, on appelle représentation paramétrique de Cune courbe paramétrée dont
le support est C.
– Quelques exemples :
1. Une droite du plan.
2. Un cercle du plan.
3. Si f:I→R, une représentation paramétrique de la courbe représentative de fest ½x=x
y(x) = f(x),x ∈
I.
Dessin

Mathématiques chapitre : courbes page 5
4. Un paramétrage de la parabole d’équation cartésienne x=y2+ 1 est ½x(y) = y2+ 1
y=y,y ∈R.
Dessin
– Un même ensemble de points du plan peut admettre plusieurs représentations paramétriques différentes
(ce sont des courbes paramétrées distinctes ayant même support). On parle alors de paramétrages (ou de
paramètres) différents pour décrire une même courbe du plan.
On a aussi vu que les divers paramétrages choisis n’apportent pas toujours la même façon de parcourir
l’ensemble en question.
– Notons qu’une partie Adu plan donnée n’admet pas nécessairement de représentation paramétrique ; en
fait ce sera le cas lorsque... il existera une courbe paramétrée dont le support est A!!!!
Cela pourrait correspondre bien entendu à une certaine intuition visuelle : celle que l’on a de ce qu’on
appelle une ”courbe” continue.... mais on sait qu’il faut se méfier un peu de ce genre de considérations cf
courbe de Peano dont le support remplit tout l’intérieur d’un carré !!!
Notons aussi qu’il y a des chances que si Aadmet un paramétrage, alors elle en admet une infinité.
2) Il faut bien comprendre que se donner une courbe paramétrée est beaucoup plus que se donner une courbe
qui n’est que son support ; connaître les points ne suffit pas à connaître la courbe paramétrée, il faut connaître le
paramétrage. Se donner une courbe paramétrée, c’est se donner une courbe et la manière dont on circule dessus.
Pour toute la suite on se donne un arc paramétré Γ:½x(t)
y(t),t ∈I
de classe Ckavec 1≤k≤+∞
Notons que se donner Γéquivaut à se donner l’application dite vectorielle de classe Ck:
I→R2
t7→ −−−−→ OM (t)³=x(t)−→ i+y(t)−→ j´
B.2 Interprétation cinématique (où l’on rappelle une terminologie connue)
– Si on considère le paramètre tcomme le temps,M(t)donne la position à l’instant td’un point mobile du
plan, cette position étant repérée en coordonnées cartésiennes (x(t),y (t)) dans le repère fixe ³O,−→ i ,−→ j´.
– L’étude de Γ(i.e. de M) est donc l’étude du mouvement du mobile en fonction du temps.
– Le support M(I)de la courbe est alors la trajectoire du mobile.
– Le vecteur Γ0(t) = −→ v(t) = d−−→
OM
dt (t)est le vecteur vitesse à l’instant tdu mobile.
– Si Γest de classe C2,Γ00 (t) = −→ a(t) = d−→
v
dt (t) = d2−−→
OM
dt2(t)est le vecteur accélération à l’instant tdu mobile.
– Le mouvement du mobile est dit :
–uniforme lorsque sa vitesse est de norme constante : il existe un réel v0tel que pour tout t∈I,
k−→ v(t)k=v0; (ou encore pour tout (t,t0)∈I2on a k−→ v(t)k=k−→ v(t0)k) ;
–rectiligne lorsque la trajectoire du mobile est rectiligne (i.e. portée par une droite) ;
–à accélération centrale lorsqu’il existe un point fixe Aet une application continue λ:I→Rtelle que
pour tout t∈I, −→ a(t) = λ(t)−−→ AM (t).