Lycée des Métiers LEONARD DE VINCI - 2016/2017 GÉOMÉTRIE TRIGONOMÉTRIE Lycée des Métiers LEONARD DE VINCI (33) – Laboratoire de Mathématiques Sciences Physiques et Chimiques – C. DUPONT - http://eolipyle.free.fr – 1TP 1617 M GEOM 4 CO-CORRIGE Trigonometrie.docx – 2016/2017 Objectifs GEOM 4 Connaissances (A SAVOIR) Capacités (A SAVOIR FAIRE) Connaître la définition du cercle trigonométrique. Savoir comment on lit l’image d’un nombre réel x donné sur le cercle trigonométrique. Connaître les définitions du cosinus et du sinus d’un nombre réel. Connaître les propriétés du cosinus et du sinus d’un nombre réel x : –1 ≤ cos x ≤ 1 –1 ≤ sin x ≤ 1 sin2x + cos2x =1 Savoir que les mesures en degré et en radian d’un angle sont proportionnelles (p radians valent 180 degrés). Connaître la courbe représentative de la fonction x ↦ sin x Être capable de placer, sur le cercle trigonométrique, le point M image d’un nombre réel x donné. Être capable de déterminer graphiquement, à l’aide du cercle trigonométrique, le cosinus et le sinus d’un nombre réel pris parmi les valeurs particulières. Être capable d’utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur approchée du cosinus et du sinus d’un nombre réel donné. Réciproquement, être capable de déterminer, pour tout nombre réel k compris entre -1 et 1, le nombre réel x compris entre 0 et (ou compris entre – et 2 ) tel que cos x = k ou sin x = k. 2 Être capable de passer de la mesure en degré d’un angle géométrique a sa mesure en radian, dans des cas simples, et réciproquement. Être capable de construire point par point, à partir de l'enroulement de sur le cercle trigonométrique, la représentation graphique de la fonction x ↦ sin x. 1. Cosinus et sinus d’un nombre réel R 1.1. Nouvelle unité d’angle : le radian 1 rad R Un angle au centre qui intercepte un arc dont la longueur est égale au rayon du cercle a pour mesure 1 radian. Le symbole du radian est rad. On effectue alors la conversion avec les degrés en utilisant la proportionnalité. 180 ° = rad 360 ° = 2 rad Axe représentant le cercle « déroulé » 90 ° = rad 2 2,5 2 3 rad 1.2. Cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique est un cercle orienté de rayon 1 centré sur l’origine d’un repère orthonormal. Le sens positif de rotation correspond au sens inverse du déplacement des aiguilles d’une montre. Tout point du cercle est l’image d’un nombre réel x. Exemples : Le point A est l’image de 1 ; 2 Le point C est l’image de ; 3 Le point D est l’image de . 1re PRO 1TP y 1 C A 0,5 2 rad 3 D rad –1 MATHS / COURS Corrigé 1 1 rad 0 x –1 rad –0,5 –1 B –1 1/2 TRIGONOMÉTRIE GEOM 4 1.3. Cosinus et sinus d’un nombre réel Pour tout nombre réel x, dont l’image est M sur le cercle trigonométrique : le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse du point M ; le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée du point M. –1 Pour tout nombre réel x, on a : le cosinus d’un angle est toujours compris entre –1 et 1 –1 cos x 1 le sinus d’un angle est toujours compris entre –1 et 1 –1 sin x 1 le cosinus et le sinus sont liés par la relation : cos2 x + sin2 x = 1 1 M sin x x cos x 0 1 –1 2. Fonction sinus La fonction sinus est la fonction f qui à tout x associe son sinus sin x. Elle est définie par f(x) = sin x. Sa représentation graphique s’appelle une sinusoïde. y 1 x 0 Lycée des Métiers LEONARD DE VINCI (33) – Laboratoire de Mathématiques Sciences Physiques et Chimiques – C. DUPONT - http://eolipyle.free.fr – 1TP 1617 M GEOM 4 CO-CORRIGE Trigonometrie.docx – 2016/2017 3 2 2 1 0,5 2 0 2 6 –0,5 3 2 2 5 3 6 7 4 6 3 3 2 5 11 3 6 x 0 f(x) –1 0 C’est une fonction périodique de période 2. –1 3. Équation trigonométrique 3.1. Équation sin x = k Pour tout –1 k 1, l’équation sin x = k admet une solution x appartenant à l’intervalle – ; : 2 2 qui se déterminer graphiquement sur le cercle trigonométrique : OM si k 0 x=A OM si k < 0 x=–A ou dont la calculatrice donne une valeur approchée : x = arcsin k M K k x –1 A 1 0 –1 3.2. Équation cos x = k Pour tout –1 k 1, l’équation cos x = k admet une solution x appartenant à l’intervalle [0 ; ] : qui se déterminer graphiquement sur le cercle OM trigonométrique : x = K ou dont la calculatrice donne une valeur approchée : x = arccos k 1 1 M x –1 0 k K 1 –1 1re PRO 1TP MATHS / COURS Corrigé 2/2