TRIGONOMÉTRIE

GÉOMÉTRIE
Lycée des Métiers LEONARD DE VINCI - 2016/2017
T
TR RI IG GO ON NO OM MÉ ÉT TR RI IE E
GEOM 4
1re PRO
1TP
MATHS / COURS Corrigé
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Lycée des Métiers LEONARD DE VINCI (33) – Laboratoire de Mathématiques Sciences Physiques et Chimiques – C. DUPONT - http://eolipyle.free.fr – 1TP 1617 M GEOM 4 CO-CORRIGE Trigonometrie.docx – 2016/2017
Objectifs
Connaissances (A SAVOIR)
Capacités (A SAVOIR FAIRE)
 Connaître la définition du cercle trigonométrique.
 Savoir comment on lit l’image d’un nombre réel x
donné sur le cercle trigonométrique.
 Connaître les définitions du cosinus et du sinus
d’un nombre réel.
 Connaître les propriétés du cosinus et du sinus
d’un nombre réel x :
–1 ≤ cos x ≤ 1
–1 ≤ sin x ≤ 1
sin2x + cos2x =1
 Savoir que les mesures en degré et en radian d’un
angle sont proportionnelles (p radians valent 180
degrés).
 Connaître la courbe représentative de la fonction
x ↦ sin x
 Être capable de placer, sur le cercle
trigonométrique, le point M image d’un nombre réel
x donné.
 Être capable de déterminer graphiquement, à
l’aide du cercle trigonométrique, le cosinus et le
sinus d’un nombre réel pris parmi les valeurs
particulières.
 Être capable d’utiliser la calculatrice pour
déterminer une valeur approchée du cosinus et du
sinus d’un nombre réel donné.
 Réciproquement, être capable de déterminer, pour
tout nombre réel k compris entre -1 et 1, le nombre
réel x compris entre 0 et  (ou compris entre – 
2 et
2) tel que cos x = k ou sin x = k.
 Être capable de passer de la mesure en degré
d’un angle géométrique a sa mesure en radian,
dans des cas simples, et réciproquement.
 Être capable de construire point par point, à partir
de l'enroulement de  sur le cercle
trigonométrique, la représentation graphique de la
fonction x ↦ sin x.
1. Cosinus et sinus d’un nombre réel
1.1. Nouvelle unité d’angle : le radian
Un angle au centre qui intercepte un arc dont la longueur
est égale au rayon du cercle a pour mesure 1 radian.
Le symbole du radian est rad.
On effectue alors la conversion avec les degrés en utilisant
la proportionnalité.
1.2. Cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est un cercle orienté de rayon 1
centré sur l’origine d’un repère orthonormal.
Le sens positif de rotation correspond au sens inverse du
déplacement des aiguilles d’une montre.
Tout point du cercle est l’image d’un nombre réel x.
Exemples : Le point A est l’image de 1 ;
Le point C est l’image de 2
3 ;
Le point D est l’image de .
0
–1
1
–1
x
y
1
1 rad
–1
0,5
–0,5
2,5
2
3
–1 rad
2
3 rad
 rad
Axe représentant
le cercle « déroulé »
A
B
C
D
R
R
1
rad
180 ° = rad
360 ° =
2 rad
90 ° =
2 rad
rad

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1.3. Cosinus et sinus d’un nombre réel
Pour tout nombre réel x, dont l’image est M sur le cercle
trigonométrique :
 le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse du point M ;
 le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée du point M.
Pour tout nombre réel x, on a :
 le cosinus d’un angle est toujours compris entre –1 et 1
–1  cos x  1
 le sinus d’un angle est toujours compris entre –1 et 1
–1  sin x  1
 le cosinus et le sinus sont liés par la relation : cos2 x + sin2 x = 1
2. Fonction sinus
La fonction sinus est la fonction f qui à tout x associe son sinus sin x. Elle est définie par f(x) = sin x.
Sa représentation graphique s’appelle une sinusoïde.
x
0 
2 3 2 2
f(x)
1 0
0 –1
C’est une fonction périodique de période 2.
3. Équation trigonométrique
3.1. Équation sin x = k
Pour tout –1  k  1, l’équation sin x = k admet une solution x
appartenant à l’intervalle  – 
2 ;  2 :
 qui se déterminer graphiquement sur le cercle
trigonométrique :
x =
AOM si k  0
x = –
AOM si k < 0
 ou dont la calculatrice donne une valeur approchée :
x = arcsin k
3.2. Équation cos x = k
Pour tout –1  k  1, l’équation cos x = k admet une solution x
appartenant à l’intervalle [0 ; ] :
 qui se déterminer graphiquement sur le cercle
trigonométrique : x =
KOM
 ou dont la calculatrice donne une valeur approchée :
x = arccos k
0
–1
1
1
–1
x
M
K
k
0
–1
1
1
–1
x
M
K
k
A
1
0
y
x
–1
–0,5
0,5
11
6
2
3
6
3
2
2
5
3
3
2
4
3
7
6
5
6
0
–1
1
1
–1
x
M
cos x
sin x