Arithmétique Pascal Lainé ARITHMETIQUE Exercice 1 : Étant

Arithmétique Pascal Lainé
ARITHMETIQUE
Exercice 1 :
Étant donnés cinq nombres entiers consécutifs, on trouve toujours parmi eux (vrai ou faux et pourquoi) :
1. au moins deux multiples de 2.
2. au plus trois nombres pairs.
3. au moins deux multiples de 3.
4. exactement un multiple de 5.
5. au moins un multiple de 6.
6. au moins un nombre premier.
Allez à : Correction exercice 1 :
Exercice 2 :
Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
1. 60 a plus de diviseurs (positifs) que 100.
2. 60 a moins de diviseurs (positifs) que 90.
3. 60 a moins de diviseurs (positifs) que 120.
4. si un entier divise 60, alors il divise 120.
5. si un entier strictement inférieur à 60 divise 60, alors il divise 90.
6. si un nombre premier divise 120, alors il divise 60.
Allez à : Correction exercice 2 :
Exercice 3 :
On veut constituer la somme exacte de 59 euros seulement à l’aide de pièces
de 2 euros et de billets de 5 euros. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies,
lesquelles sont fausses et pourquoi ?
1. Il y a au plus 22 pièces de 2 euros.
2. Il peut y avoir exactement 10 pièces de 2 euros.
3. Il peut y avoir exactement 12 pièces de 2 euros.
4. Il peut y avoir un nombre pair de billets de 5 euros.
5. Il y a au moins un billet de 5 euros.
Allez à : Correction exercice 3 :
Exercice 4 :
Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
1. Si un nombre est divisible par 9, alors il est divisible par 6.
2. Si un nombre est divisible par 100, alors il est divisible par 25.
3. Si un nombre est divisible par 2 et par 3, alors il est divisible par 12.
4. Si un nombre est divisible par 10 et par 12, alors il est divisible par 15.
5. Si un nombre est divisible par 6 et par 8, alors il est divisible par 48.
6. Le produit des entiers de 3 à 10 est divisible par 1000.
7. Le produit des entiers de 3 à 10 est divisible par 1600.
8. Si la somme des chiffres d’un entier en écriture décimale vaut 39, alors il est divisible par 3 mais pas par
9.
9. Si la somme des chiffres d’un entier en écriture décimale vaut 18, alors il est divisible par 6 et par 9.
Allez à : Correction exercice 4 :
Exercice 5 :
Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
1. Si un entier est divisible par deux entiers, alors il est divisible par leur produit.
2. Si un entier est divisible par deux entiers premiers entre eux, alors il est divisible par leur produit.
3. Si un entier est divisible par deux entiers, alors il est divisible par leur .
4. Si un nombre divise le produit de deux entiers, alors il divise au moins un de ces deux entiers.
5. Si un nombre premier divise le produit de deux entiers, alors il divise au moins un de ces deux entiers.
6. Si un entier est divisible par deux entiers, alors il est divisible par leur somme.

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7. Si un entier divise deux entiers, alors il divise leur somme.
8. Si deux entiers sont premiers entre eux, alors chacun d’eux est premier avec leur somme.
9. Si deux entiers sont premiers entre eux, alors chacun d’eux est premier avec leur produit.
10. Si deux entiers sont premiers entre eux, alors leur somme et leur produit sont premiers entre eux.
Allez à : Correction exercice 5 :
Exercice 6 :
Soient ,  et  trois entiers. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et
pourquoi ?
1. Si  divise  et , alors  divise leur .
2. S’il existe deux entiers  et  tels que , alors .
3. S’il existe deux entiers  et  tels que , alors  divise .
4. S’il existe deux entiers  et  tels que , alors  divise.
5. Si  divise , alors il existe un couple d’entiers  unique, tel que .
6. L’entier  est un multiple de  si et seulement si il existe un couple d’entiers , tel que
.
Allez à : Correction exercice 6 :
Exercice 7 :
Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
1. Si un entier est congru à 0 modulo 6, alors il est divisible par 6.
2. Si le produit de deux entiers est congru à 0 modulo 6 alors l’un des deux est multiple de 6.
3. Si un entier est congru à 5 modulo 6 alors toutes ses puissances paires sont congrues à 1 modulo 6.
4. Si deux entiers sont congrus à 4 modulo 6, alors leur somme est congrue à 2 modulo 6.
5. Si deux entiers sont congrus à 4 modulo 6, alors leur produit est congru à 2 modulo 6.
6. Si un entier est congru à 4 modulo 6 alors toutes ses puissances sont aussi congrues à 4 modulo 6.
Allez à : Correction exercice 7 :
Exercice 8 :
Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
1. Si le produit de deux entiers est congru à 0 modulo 5 alors l’un des deux est multiple de 5.
2. Si un entier est congru à 2 modulo 5 alors sa puissance quatrième est congrue à 1 modulo 5.
3. Si deux entiers sont congrus à 2 modulo 5, alors leur somme est congrue à 1 modulo 5.
4. Pour tout entier, non multiple de , il existe un entier tel que le produit des deux soit congru à 1 modulo
.
5. Aucun entier n’est tel que son carré soit congru à −1 modulo 5.
6. Aucun entier n’est tel que son carré soit congru à 2 modulo 5.
7. La puissance quatrième d’un entier quelconque est toujours congrue à 1 modulo 5.
8. La puissance quatrième d’un entier non multiple de 5 est toujours congrue à 1 modulo 5.
Allez à : Correction exercice 8 :
Exercice 9 :
Soit  un entier.
1. Démontrer que si  n’est divisible par aucun entier inférieur ou égal à , alors  est premier.
2. Démontrer que les nombres , ,…, ne sont pas premiers.
3. En déduire que pour tout , il existe  entiers consécutifs non premiers.
Allez à : Correction exercice 9 :
Exercice 10 :
Le premier janvier 2007 était un lundi. Calculer quel jour de la semaine sera le
1. 2 juillet 2007
2. 15 janvier 2008
3. 19 mars 2008 (attention, 2008 est une année bissextile)
4. 14 juillet 2010
5. 26 août 2011

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Allez à : Correction exercice 10 :
Exercice 11 :
On choisit un nombre entier, on le divise par 7 et on trouve un reste égal à 5. On divise à nouveau le quotient
obtenu par 7, on trouve un reste égal à 3 et un quotient égal à 12. Quel était le nombre de départ ?
Allez à : Correction exercice 11 :
Exercice 12 :
On donne l’égalité suivante. 
Déterminer, sans effectuer la division, le quotient et le reste de la division euclidienne de  par  et par
.
Allez à : Correction exercice 12 :
Exercice 13 :
On donne les deux égalités suivantes.
On s’intéresse au nombre entier . Quel est le reste de la division euclidienne de 
par 17 ?
Allez à : Correction exercice 13 :
Exercice 14 :
Donner la décomposition en facteurs premiers des entiers suivants.
60 ; 360 ; 2400 ; 4675 ; 9828 ; 15200 ; 45864 ; 792792.
Allez à : Correction exercice 14 :
Exercice 15 :
Déterminer le  et déterminer l’identité de Bézout correspondante.
Allez à : Correction exercice 15 :
Exercice 16 :
On considère les couples d’entiers  suivants.
a) ,  Allez à correction a)
b) ,  Allez à la correction b)
c) ,  Allez à la correction 0
d) ,  Allez à la correction d)
e) ,  Allez à la correction e)
f) ,  Allez à la correction f)
g) ,  Allez à la correction 0
h) ,  Allez à la correction h)
i) ,  Allez à la correction i)
Pour chacun de ces couples :
1. Calculer  par l’algorithme d’Euclide.
2. En déduire une identité de Bézout.
3. Calculer .
4. Déterminer l’ensemble des couples  d’entiers relatifs tels que : 
5. Donner la décomposition en facteurs premiers de  et .
6. En déduire la décomposition en facteurs premiers de  et , et retrouver les
résultats des questions 1 et 3.
Exercice 17 :
1. Calculer le PGCD de 8303 et 2717 et donner l'identité de Bézout correspondante.
2. En déduire le PPCM de 8303 et 2717.

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3. Calculer le PGCD de 1001 et 315 et donner l'identité de Bézout correspondante.
4. Déterminer le  et déterminer l’identité de Bézout correspondante.
Allez à : Correction exercice 17 :
Exercice 18 :
Résoudre dans  les équations suivantes :
1. 
2. 
3. 
4. 
Allez à : Correction exercice 18 :
Exercice 19 :
Quel est le plus petit entier naturel, qui divisé par 8, 15, 18 et 24 donne pour restes respectifs 7, 14, 17 et 23 ?
Allez à : Correction exercice 20 :
Exercice 20 :
1. Donner, en le justifiant, le nombre de diviseurs positifs de .
2. Déterminer le reste de la division de  par , et par , en déduire le reste de la division
euclidienne de  par .
3. Soit  un entier naturel et  un nombre premier supérieur ou égal à . En utilisant un résultat du
cours, montrer que si  alors  divise l’un des entiers 
 et 
Exercice 21 :
Dans une UE de maths à l’université Claude Bernard, il y a entre 500 et 1000 inscrits. L’administration de
l’université a remarqué qu’en les répartissant en groupes de 18, ou bien en groupes de 20, ou bien aussi en
groupes de 24, il restait toujours 9 étudiants. Quel est le nombre d’inscrits ?
Allez à : Correction exercice 21 :
Exercice 22 :
Soient  et  deux entiers tels que .
1. Soient  et  (respectivement :  et ) le quotient et le reste de la division euclidienne de 
(respectivement : ) par . Démontrer que  et .
2. On note  le quotient de la division euclidienne de  par . Soit  un entier. Exprimer en
fonction de ,  et  le quotient et le reste de la division euclidienne de  par .
3. Soit  le  de  et . Déterminer le  de  et 
4. Soit  le  de  et . Montrer que .
5. Démontrer que si  ( et  sont premiers entre eux), alors pour tous  et ,  et  sont
premiers entre eux.
6. En déduire que pour tout , le  de  et  est .
Allez à : Correction exercice 22 :
Exercice 23 :
Soient ,  et  trois entiers relatifs non nuls.
1. Montrer que .
2. Montrer que si  et si  divise , alors .
3. Montrer que  si et seulement si .
4. Montrer que si  alors .
Allez à : Correction exercice 23 :
Exercice 24 :
Soient ,  deux entiers tels que .
1. Démontrer que si  divise , alors pour tout ,  divise .

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2. Pour , démontrer que le reste de la division euclidienne de  par  est , où  est
le reste de la division euclidienne de  par .
3. Pour , démontrer que le  de  et  est , où  est le  de  et .
Allez à : Correction exercice 24 :
Exercice 25 :
Soit  un entier relatif. On pose  et .
1. Calculer . En déduire le  de  et  en fonction de .
2. Procéder de même pour exprimer en fonction de  le  de  et .
Allez à : Correction exercice 25 :
Exercice 26 :
Soient  et  deux entiers.
1. Déterminer deux entiers  et  tels que 
2. En déduire les valeurs possibles de  ?
3. Montrer que si  alors , que vaut  sinon ?
Allez à : Correction exercice 26 :
Exercice 27 :
Soit  , pour quelles valeurs les nombres  et  sont premiers entre eux ?
Allez à : Correction exercice 27 :
Exercice 28 :
1. Déterminer les restes possibles de la division euclidienne du carré d’un nombre impair par .
2. Soit  un entier pair. En déduire que l’équation
N’a pas de solution pour  et  impairs.
Allez à : Correction exercice 28 :
Exercice 29 :
Déterminer le reste de la division euclidienne de  par .
Allez à : Correction exercice 29 :
Exercice 30 :
Montrer que pour tout , l'entier  est un multiple de 11.
Allez à : Correction exercice 30 :
Exercice 31 :
Montrer que :  est congru à  modulo 9. En déduire que  est toujours divisible par 9.
Allez à : Correction exercice 31 :
Exercice 32 :
1. Montrer par récurrence que pour ,  est un multiple de 15.
2. Soit , , calculer  et montrer que  est un multiple de
 .
3. Montrer que pour tout entier ,  est un multiple de 225.
Allez à : Correction exercice 32 :
Exercice 33 :
Montrer que pour tout ,  est divisible par 7.