M4 : Résoudre une équation complexe

Terminale S Nombres complexes
M4 : Résoudre une équation complexe dans 
Objectif : Savoir appréhender tout type d’équation complexe
Vous seront proposés différents types d’équations :
Equation du premier degré complexe ne contenant que du 
Le principe est strictement identique que celui que vous appris avec du
1. Placez tous les termes contenant du d’un côté de l’équation : les termes n’en
contenant pas iront de l’autre côté.
2. Factorisez par  si nécessaire
Remarque : il ne doit vous rester qu’un seul  dans l’équation
3. Isolez .
4.
Si cela est demandé, écrivez sous sa forme algébrique.
Equation du premier degré complexe ne contenant que du
1.
Résolvez l’équation de la même manière que si elle avait contenu du
: vous obtenez
une solution
2. Calculez le conjugué de la valeur trouvée de : il s’agit de la solution recherché.
Equation du premier degré complexe contenant du  et du
1.
Posez
et
et remplacez dans l’équation
.
2. Placez d’un côté de l’équation tout ce qui dépend de ou de et le reste de l’autre.
3. Mettez les deux côtés de l’équation sous leur forme algébrique (partie réelle + partie
imaginaire) : l’équation doit avoir la forme 
4. Résolvez le système et déterminez les valeurs de et .
5.
La solution est
Equation du second degré complexe
1.
Placez TOUS les termes d’un seul côté de l’équation
: vous faites apparaître un polynôme
du second degré complexe
2. Calculez le discriminant 
3. Si  deux solutions réelles  et 
Si  une solution réelle 
Si
!
deux solutions complexes
"
et
 "
4.
Concluez à l’aide d’un ensemble de solutions
#
$
%
&

Terminale S Nombres complexes
Exemples
Exemple 1 : Ne contenant que du 
Résolvez dans  l’équation '().
Présentez sa solution  sous forme algébrique
1. '()
2. *'(+),*'-+)
3. 
./" ./"
. /"
. /"
. /"
. 0
. /"
/1
4. #$
. /"
/1
&
Exemple 2 : Ne contenant que du  :
Résolvez dans  l’équation (
1. (,*)+(,
 "
"
)
2. )2 donc #$)&
Exemple 3 : Contenant du  et du  :
Résolvez dans  l’équation 3((
1.  et  d’où
3(( ,*+3(*+(
,3(((
2. (( 3(
3. *(+*(+3(
4. (3
(( ,(3 ( ,-- (,)
5. #$&
Exemple 4 : équation du second degré complexe
Résolvez l’équation (-
1. (-,(-
2. On calcule : )(-(-!
3. !donc
" "/
1
et 
 "  "/
1
4. Donc
#4)(-
5)(- 6