M4 : Résoudre une équation complexe

Terminale S
Nombres complexes
M4 : Résoudre une équation complexe dans ℂ
Objectif : Savoir appréhender tout type d’équation complexe
Vous seront proposés différents types d’équations :
Equation du premier degré complexe ne contenant que du
Le principe est strictement identique que celui que vous appris avec du
1. Placez tous les termes contenant du d’un côté de l’équation : les termes n’en
contenant pas iront de l’autre côté.
2. Factorisez par si nécessaire
Remarque : il ne doit vous rester qu’un seul dans l’équation
3. Isolez .
4. Si cela est demandé, écrivez sous sa forme algébrique.
Equation du premier degré complexe ne contenant que du
1. Résolvez l’équation de la même manière que si elle avait contenu du : vous obtenez
une solution
2. Calculez le conjugué de la valeur trouvée de : il s’agit de la solution recherché.
Equation du premier degré complexe contenant du et du
1. Posez = + et = − et remplacez dans l’équation.
2. Placez d’un côté de l’équation tout ce qui dépend de ou de et le reste de l’autre.
3. Mettez les deux côtés de l’équation sous leur forme algébrique (partie réelle + ×partie
imaginaire) : l’équation doit avoir la forme + = +
= et déterminez les valeurs de et .
4. Résolvez le système
=
5. La solution est = +
Equation du second degré complexe
1. Placez TOUS les termes d’un seul côté de l’équation : vous faites apparaître un polynôme
du second degré complexe ² + +
2. Calculez le discriminant ∆=
−4
3. Si ∆> 0 deux solutions réelles
Si ∆= 0 une solution réelle
=
=
Si ∆< 0 deux solutions complexes
√∆
et
=
√∆
=
"√ ∆
et
4. Concluez à l’aide d’un ensemble de solutions # = {… }
=
"√ ∆
Terminale S
Nombres complexes
Exemples
Exemple 1 : Ne contenant que du
Résolvez dans ℂ l’équation −5 − 2
=
+ 1.
Présentez sa solution sous forme algébrique
1. −5 − 2 − = 1
2. *−5 − 2 − + = 1 ⇔ *−5 − 3 + = 1
3.
=
4. # =
=
. /"
. /"
{ /1 }
. /"
×
. /"
. /"
=
. /"
. 0
. /"
/1
=
Exemple 2 : Ne contenant que du :
Résolvez dans ℂ l’équation = −
1.
2.
+
=
+2
= 2 ⇔ *1 + + = 2 ⇔
= 1 − 2 donc # = {1 + }
=
"
"
=
=1−
Exemple 3 : Contenant du et du :
Résolvez dans ℂ l’équation
1.
2.
3.
4.
5.
=
+
+7=2 +2
et = − d’où
+ 7 = 2 + 2 ⇔ * − + + 7 = 2* + + + 2
⇔ + +7= 2 +2 +2
+ − 2 − 2 = −7 + 2
*−2 + + + * − 2 + = −7 + 2
−2 + = −7
−2 + = −7
−3 = −3
=1
⇔
⇔
⇔
−2 = 2
2 −4 =4
2 −4 =4
=4
# = {4 + }
Exemple 4 : équation du second degré complexe
Résolvez l’équation 2 ² + = −3
1. 2 ² + = −3 ⇔ 2 ² + + 3 = 0
2. On calcule ∆ : ∆= ² − 4 = 1² − 4 × 2 × 3 = −23 < 0
3. ∆< 0 donc
=
"√ ∆
=
"√ /
1
et
=
"√ ∆
4. Donc
#=4
−1 − √23 −1 + √23
;
6
4
4
=
"√ /
1