Mathématiques pour les RT Modules M1, M2 et M3 - GIPSA-Lab

Math´ematiques pour les RT
Modules M1, M2 et M3
Cyrille SICLET,[email protected]
Cl´eo BARAS,[email protected]
Luc GERBAUX,[email protected]
Version 2012b
Table des mati`eres
Module 1 Fondamentaux d’alg`ebre et de trigonom´etrie 2
1 Les nombres complexes 2
1.1 Unpeud’histoire......................................... 2
1.2 Alg`ebre des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Application `a la g´eom´etrie : interpr´etation g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Application `a la g´eom´etrie : transformations du plan et lieu g´eom´etrique . . . . . . . . . . 6
1.5 Application `a la trigonom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Application `a l’´electricit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Polynˆomes 12
2.1 Alg`ebrepolynomiale ....................................... 12
2.2 ´ Equationsalg´ebriques ...................................... 14
3 Fractions rationnelles 16
3.1 Alg`ebre des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 D´ecomposition en ´ El´ements Simples (DES) de premi`ere esp`ece `a pˆoles simples . . . . . . . 17
3.3 D´ecomposition en ´el´ements simples de premi`ere esp`ece `a pˆoles multiples . . . . . . . . . . 20
3.4 D´ecomposition en ´el´ements simples de seconde esp`ece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Module 2 Fondamentaux d’analyse 23
4 G´en´eralit´es sur les fonctions 23
4.1 D´efinitions............................................. 23
4.2 Cataloguedefonctions...................................... 27
4.3 Op´erations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4 Exercices ............................................. 36
5 Continuit´e 37
5.1 D´efinition ............................................. 37
5.2 Domaine de continuit´e (pour les poursuites d’´etudes longues) . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3 Exercices (pour les poursuites d’´etudes longues) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1

6 D´erivation 39
6.1 D´erivation............................................. 39
6.2 Diff´erentielles........................................... 44
6.3 Sensdevariation ......................................... 46
6.4 Optimisation ........................................... 47
6.5 R´eciproque ............................................ 49
6.6 D´eriv´ees `a l’ordre n........................................ 52
7 Comportements asymptotiques 54
7.1 Limitesenl’infini......................................... 54
7.2 Calculdelimites ......................................... 57
7.3 Branchesasymptotiques ..................................... 62
8 Comportements locaux 63
8.1 Limites en un point a...................................... 64
8.2 Calculdelimites ......................................... 66
8.3 D´eveloppementslimit´es ..................................... 69
9 Synth`ese : ´ Etude de fonctions 74
9.1 Techniques d’´etude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.2 Exercices ............................................. 74
Module 3 Calcul int´egral et ´equations diff´erentielles 75
10 Calcul int´egral 75
10.1Primitive ............................................. 75
10.2 Int´egrales propres dites int´egrales de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
10.3 Int´egrales (impropres) g´en´eralis´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
11 ´ Equations diff´erentielles 93
11.1G´en´eralit´es ............................................ 93
11.2 ´ Equations diff´erentielles du 1er ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
11.3 ´ Equation diff´erentielle du 2`eme ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11.4Synth`ese.............................................. 111

Module 1
Module 1 — Fondamentaux d’alg`ebre et de trigonom´etrie
M1.1
1 Les nombres complexes
1.1 Un peu d’histoire
•´ecole italienne (Cardan, Bombelli), autour de 1570 ;
•introduits pour r´esoudre les ´equations du troisi`eme degr´e x3+px +q= 0
x=3
s−q
2+rq2 4+p3 27 +3
s−q
2−rq2 4+p3 27
Exemple 1 (´ Equation x3−x= 0 (avec p=−1 et q= 0)).Solution ´evidente : 0, pourtant la formule
pr´ec´edente ne marche pas : q2
4+p3 27 =−1/27 <0, mais si on admet l’existence de √−1, on retrouve bien
x= 0 :
x=3
sr−1
27 +3
s−r−1
27
M1.2
1.2 Alg`ebre des nombres complexes
1.2.1 D´efinitions
1.2.1.A D´efinition de l’ensemble des complexes C
D´efinition 2 (Ensemble des complexes C).Cest l’ensemble des couples (x, y)∈R×Rmuni de deux
lois de composition internes (not´ees + et ·) d´efinies par :
•loi d’addition sur C:∀(x,y)∈Cet ∀(x0,y0)∈C, (x,y)+(x0,y0)=(x+x0,y+y0) ;
•loi de multiplication sur C:∀(x,y)∈Cet ∀(x0,y0)∈C, (x,y)·(x0,y0)=(xx0−yy0,xy0+yx0)
⇒en particulier, (0,1) ·(0,1) = (−1,0) ;
xest appel´e partie r´eelle et yest appel´e partie imaginaire.
On utilise en g´en´eral l’´ecriture commune : z=x+jy o`u jest le complexe d´efini par j= (0,1) ; on peut
alors parler de zcomme un nombre complexe. On note : x= Re{z}et y= Im{z}.
Remarques :
•Les r´eels sont des cas particuliers des complexes
•Les nombres complexes de la forme (0, y) avec yquelconque sont appel´es des imaginaires purs M1.3
1.2.1.B C, un corps commutatif
Propri´et´e 3 (Addition dans C).Soient (x, y),(x0, y0),(x00, y00)trois complexes. L’addition :
1. est commutative :(x, y)+(x0, y0)=(x0, y0)+(x, y);
2. est associative :(x, y)+(x0, y0)+ (x00, y00)=(x, y) + (x0, y0)+(x00, y00);
3. poss`ede un ´el´ement neutre (0,0) ;
4. d´efinit l’oppos´e de (x, y)comme ´etant (−x, −y).
Remarques : Soient (a, b) et (α, β) deux complexes.
•On dit que (a, b) est un ´el´ement neutre de l’addition si pour tout complexe (x, y), on a
(a, b)+(x, y)=(x, y).
•L’addition poss`ede un unique ´el´ement neutre (a, b) = (0,0).
•On dit que (α, β) est un oppos´e du complexe (x, y) lorsque (α, β)+(x, y)=(a, b) o`u (a, b) est
l’´el´ement neutre de la loi d’addition (c’est-`a-dire (0,0)).
•Tout nombre complexe poss`ede un oppos´e unique. M1.4
Propri´et´e 4 (Multiplication dans C).Soient (x, y),(x0, y0),(x00, y00)trois complexes. La multiplication :
1. est commutative :(x, y)·(x0, y0)=(x0, y0)·(x, y);
3

Module 1
2. est associative :(x, y)·(x0, y0)·(x00, y00)=(x, y)·(x0, y0)·(x00, y00);
3. poss`ede un ´el´ement neutre (1,0) ;
4. d´efinit l’inverse de (x, y)comme ´etant (x
x2+y2,−y x2+y2);
5. est distributive sur l’addition :(x, y)·((x0, y0)+(x00, y00))= ((x, y)·(x0, y0)) + ((x, y)·(x00, y00)).
Remarques :
•Toutes ces propri´et´es font de Cun corps commutatif.
•On dit que (α, β) est l’inverse du complexe (x, y) lorsque (α, β).(x, y) = (1,0) o`u (1,0) est l’´el´ement
neutre de la loi de multiplication. M1.5
1.2.1.C Module, argument et conjugu´e
D´efinition 5 (Module).Soit z= (x, y) un complexe. Le module de z, not´e |z|, est d´efini par :
|z|=px2+y2.
Remarque : lorsque zest un r´eel, le module est la valeur absolue.
D´efinition 6 (Conjugu´e).Le conjugu´e de zest le nombre complexe not´e zou z∗d´efini par
z=z∗=x−jy = (x, −y)
M1.6
Propri´et´e 7 (Module et conjugu´e).Soient z= (x, y),z1= (x1, y1)et z2= (x2, y2)trois nombres
complexes. Alors :
1. |z1z2|=|z1||z2|et 
z1
z2=|z1| |z2|
2. In´egalit´e triangulaire : |z1|−|z2|≤ |z1+z2| ≤ |z1|+|z2|
3. x= Re{z}= Re{z∗}=z+z∗
2et y= Im{z}=−Im{z∗}=z−z∗ 2j
4. zz∗=|z|2
5. 1
z=z∗ |z|2
6. (z1+z2)∗=z∗
1+z∗ 2
7. (z1z2)∗=z∗
1z∗ 2
8. z1
z2∗=z∗
1
z∗
2
M1.7
1.2.2 Exercices
1.2.2.A Exercices-types du CC1
Exercice 1.1. Exercice-type :
Soit z=(1 + 2j)(2 −j)
1−j.
1. Calculer z, c’est-`a-dire ´ecrire zsous la forme x+jy o`u l’on identifiera clairement la partie r´eelle xet la partie
imaginaire yde z.
2. Donner le module et le conjugu´e du complexe pr´ec´edent.
Mˆemes questions pour z=(1 −j)(1 + j)
2−j.
M1.8
Exercice 1.2. Manipulations de complexe :´ Ecrire les complexes suivants sous la forme x+jy :
1. z1= (1 + 2j)2,z∗
1et |z1|; (r´esultats : z1=−3 + 4j,z∗ 1=−3−4jet |z1|= 5) ;
2. z2=j7,z∗
2et |z2|; (r´esultats : z2=−j,z∗ 2=jet |z2|= 1) ;
3. z3= (2 −3j)(1 −j),z∗
3et |z3|; (r´esultats : z3=−1−5j,z∗ 3=−1 + 5jet |z3|=√26) ;
4. z4=2−3j
1−j,z∗
4et |z4|; (r´esultats : z4= 2,5−0,5j,z∗ 4= 2,5 + 0,5jet |z4|=√26
2) ;
4

Module 1
5. z5= (4 + 3j)3,z∗
5et |z5|;
6. z6=1
5 + 3j,z∗
6et |z6|;
7. z7=3 + 2j
3−2j,z∗
7et |z7|.
M1.9
1.2.2.B Exercices de TD
Exercice 1.3. D´emonstration de propri´et´es de cours : D´emontrer toutes les assertions de la propri´et´e 7. Par la suite,
elles pourront ˆetre utilis´ees sans les red´emontrer.
M1.10
Exercice 1.4. Puissance de complexe : Soient n∈Net z=x+jy ∈C. Montrer que
Re{zn}=
n/2
X
p=0
C2p
n(−1)pxn−2py2pet Im{zn}=
(n−1)/2
X
p=0
C2p+1
n(−1)pxn−2p−1y2p+1.
On rappelle la formule du binˆome de Newton : pour tous complexes aet b,(a+b)n=
n
X
k=0
Ck
nakbn−kavec
Ck
n=n!
k!(n−k)! et k! =
k
Y
l=1
l= 1 ×2×. . . ×k.
M1.11
1.3 Application `a la g´eom´etrie : interpr´etation g´eom´etrique
Soit z=x+jy un complexe de partie r´eelle xet de partie imaginaire y.
•Interpr´etation affine : on peut d´efinir le point M(z) du plan avec zl’affixe du point Mcomme le
point de coordonn´ees cart´esiennes (x, y) ;
•Interpr´etation vectorielle : on peut d´efinir le vecteur ~u(z) du plan avec zl’affixe du vecteur
comme le vecteur reliant l’origine au point de coordonn´ees (x, y)
•Le module de zs’interpr`ete alors comme : r=|z|=||−−→ OM|| =||~u||
•L’argument de zest l’angle avec l’axe (O, x) : θ= arg{z}=\ (−→ Ox, −−→ OM) = \ (−→ Ox, −→ u)
•Le module et l’argument de zvont servir de coordonn´ees polaires au point Mou au vecteur ~u du
plan : (r, θ)M1.12
D´efinition 8 (Argument d’un complexe non nul).Soit z=x+jy un complexe non nul. Alors :
∃!θ∈]−π, π] tel que z=|z|(cos θ+jsin θ). Ce nombre (r´eel), not´e arg{z}, est appel´e argument de z.
Il est tel que tan(θ) = y
xavec :
•si x > 0, θ∈−π
2,π 2et θ= arctan y x
•si x < 0 et y≥0, θ∈π
2, πet θ= arctan y x+π
•si x < 0 et y < 0, θ∈−π, −π
2et θ= arctan y x−π
•si x= 0, θ=π
2si y > 0 et θ=−π 2si y < 0
Remarque : arctan y
x+πet arctan y x−πd´esignent le mˆeme angle, `a 2πpr`es. Par commodit´e, on
pourra alors simplement utiliser θ= arctan y
x+πlorsque x < 0 sans se pr´eoccuper du signe de y.
D´efinition 9 (Notation exponentielle d’un complexe).Soit zun complexe de module |z|et d’argument
θ. Alors zse note sous la forme exponentielle z=|z|ejθ. Toutes les propri´et´es des exponentielles r´eelles
(cf. section M2 4.2.2.C) restent vraies dans C.
M1.13
Propri´et´e 10 (Argument d’un nombre complexe).Soient z1et z2deux nombres complexes. Alors, `a
2πpr`es :
•arg{z1z2}= arg{z1}+ arg{z2};
•arg{z1/z2}= arg{z1} − arg{z2};
•arg{1/z1}=−arg{z1};
•arg{z∗
1}=−arg{z1}.
5