Cours-T.D.

OMPS-Facult´e des Sciences et Technique-Limoges
2014-2015
Portail SI 1`ere ann´ee
Outils Math´ematiques pour les Sciences
COURS et EXERCICES
Responsable U.E. : pascale.senec[email protected]

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OMPS-Facult´e des Sciences et Technique-Limoges
Planning des s´eances
Contenus S´eances Semaines Annexes
D´eriv´ees partielles et op´erateurs 1, 2 et 3 1 et 2 Annexe 1
R´ecr´e : in´equations : introduction aux syst`emes 4 2 D´ebut de l’annexe 2
Calculs sur les nombres complexes 5, 6 3 Annexes 3 et 4
´
Equations diff´erentielles 7, 8 4 D´ebut de l’annexe 5
Devoir surveill´e Pas de s´eance 5
´
Equations diff´erentielles 9, 10 6 D´ebut de l’annexe 5
R´ecr´e : Syst`emes d’´equations lin´eaires 11, 12 7 Annexe 6
Int´egrales 13, 14, 15 8 et 9 Annexe 5
Caculs approch´es et diff´erentielle 16 9
R´ecr´e : Syst`emes d’in´equations lin´eaires 17, 18 10 Annexe 2
Ce document est divis´e en deux parties :
Le travail en s´eances proprement dit et des annexes. Les annexes ont ´et´e ´ecrites afin de vous
donner :
1) les pr´erequis n´ecessaires au travail en s´eances,
2) des rep`eres plus th´eoriques,
3) des exercices avec leur corrig´es pour vous entraˆıner.
Il s’agit pour vous, de travailler ces annexes `a la maison en suivant les indications du document
et de votre enseignant.
Un exercice issu des annexes ne pourra pas faire directement l’objet d’une partie d’un devoir
surveill´e. En revanche, les connaissances et comp´etences d´evelopp´ees dans les annexes seront
des pr´e-requis aux exercices pos´es en contrˆoles, qui seront proches du programme d´evelopp´e en
s´eances.
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S´eances 1, 2 et 3
Fonctions de deux variables :
d´eriv´ees partielles et op´erateurs
diff´erentiels
Pr´e-requis : La notion de d´eriv´ee d´evelopp´ee dans l’Annexe 1.
Une motivation pour la suite
La notion de fonction d’une ou de plusieurs variables est `a la base de la plupart des mod`eles
math´ematiques utilis´es dans les sciences exp´erimentales. C’est le cas du volume d’un gaz qui
d´epend de la pression et de la temp´erature, de la tension aux bornes d’un circuit constitu´e de
diff´erents composants (r´esistances, capacit´es), d’un champ ´electrique que l’on repr´esente `a l’aide
de trois fonctions d´ependant des trois coordonn´ees de l’espace x,yet z. Ainsi, par exemple, dans
un rep`ere orthonorm´e (0,→
i,→
j,→
k), si x,yet zsont les coordonn´ees d’un point M, les expressions
l(x, y, z) = px2+y2+z2et v(x, y, z) = xyz
repr´esentent respectivement la longueur du vecteur −→ OM et le volume du parall´el´epip`ede rec-
tangle de diagonale −→ OM.
Les fonctions de plusieurs variables peuvent aussi mod´eliser des situations ´economiques, socio-
logiques ou biologiques.
Avertissement
Tout le long de ce chapitre, nous ne cherchons pas `a savoir
o`u est d´efinie la fonction, ni si elle est continue ou non.
Le traitement num´erique de ces fonctions, indispensable en fin de toute application, porte presque
toujours sur des valeurs approximatives, c’est-`a-dire, des valeurs entach´ees d’erreurs, dues prin-
cipalement
1. aux relev´es des donn´ees,
2. ou aux moyens, r`egles et/ou modes de calcul.
Pour estimer l’impact de ces erreurs sur les fonctions `a ´evaluer, nous aurons
besoin plus tard de la notion de diff´erentielle et pour d´efinir la diff´erentielle,
nous avons besoin des d´eriv´ees partielles.
Dans un premier temps, nous nous int´eresserons aux fonctions de deux variables r´eelles :
(x, y)7→ f(x, y).
Nous ne reviendrons pas sur la notion de d´eriv´ees pour les fonctions `a une variable. Vous trou-
verez en annexe (Annexe 1) un r´esum´e de ce qu’il est n´ecessaire de savoir ainsi que des exercices
corrig´es.
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A- D´eriv´ees partielles
A-1 D´eriv´ees partielles premi`eres
D´efinition 1 (et notation) On appelle d´eriv´ee partielle de la fonction fpar rapport `a la
premi`ere variable x, au point (x0, y0), le nombre (s’il existe) :
∂f
∂x (x0, y0) = lim
h→0
f(x0+h, y0)−f(x0, y0)
h.
De mˆeme, on d´efinit la d´eriv´ee partielle par rapport `a la seconde variable y, en (x0, y0):
∂f
∂y (x0, y0) = lim
k→0
f(x0, y0+k)−f(x0, y0)
k.
Remarque importante
La d´efinition de la d´eriv´ee partielle repose sur l’accroissement d’une seule variable. C’est
donc une d´eriv´ee “simple” par rapport `a une variable, l’autre restant “fixe”.
Par cons´equent, toutes les techniques de calcul des d´eriv´ees “simples” s’appliquent aux
d´eriv´ees partielles.
Exemple
Pour la fonction (x, y)7→ f(x, y) = x2ln y, nous avons : ∂f
∂x (x, y) = 2xln yet ∂f ∂y (x, y) = x2 y.
Exercice 1
1. Calculer les d´eriv´ees partielles des fonctions f(x, y) = ln(x2+ 2xy) et g(x, y) = sin x
cos y.
2. ´ Ecrire la d´efinition des d´eriv´ees partielles d’une fonction de trois variables r´eelles.
3. Calculer les d´eriv´ees partielles des fonctions
f(x, y, z) = px2+y2+z2, g(x, y, z) = xyz.
A-2 D´eriv´ees partielles d’ordre sup´erieur `a 1
Comme pour les fonctions d’une variable r´eelle, on peut d´efinir des d´eriv´ees partielles d’ordre
sup´erieur `a 1 pour les fonctions de plusieurs variables. Les notations universellement utilis´ees
sont :
∂
∂x∂f ∂x =∂2f ∂x2,∂ ∂y ∂f ∂x =∂2f ∂y∂x ,∂ ∂x∂f ∂y =∂2f ∂x∂y ,∂ ∂y ∂f ∂y =∂2f ∂2y.
Remarque
`
A l’exception de cas marginaux, l’´egalit´e ∂2f
∂y∂x =∂2f ∂x∂y est vraie.
On pourra utiliser cette remarque `a titre de v´erification.
Exercice 2
Reprendre les fonctions fet gde la question 3) de l’exercice 1 et calculer toutes leurs d´eriv´ees
partielles d’ordre 2.
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