Cours-T.D.

2014-2015
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Outils Mathématiques pour les Sciences
COURS et EXERCICES
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OMPS-Faculté des Sciences et Technique-Limoges
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Planning des séances
Contenus
Séances
Semaines
Annexes
Dérivées partielles et opérateurs
1, 2 et 3
1 et 2
Annexe 1
Récré : inéquations : introduction aux systèmes
4
2
Début de l’annexe 2
Calculs sur les nombres complexes
5, 6
3
Annexes 3 et 4
Équations différentielles
7, 8
4
Début de l’annexe 5
Devoir surveillé
Pas de séance
5
Équations différentielles
9, 10
6
Début de l’annexe 5
Récré : Systèmes d’équations linéaires
11, 12
7
Annexe 6
Intégrales
13, 14, 15
8 et 9
Annexe 5
Caculs approchés et différentielle
16
9
Récré : Systèmes d’inéquations linéaires
17, 18
10
Annexe 2
Ce document est divisé en deux parties :
Le travail en séances proprement dit et des annexes. Les annexes ont été écrites afin de vous
donner :
1) les prérequis nécessaires au travail en séances,
2) des repères plus théoriques,
3) des exercices avec leur corrigés pour vous entraı̂ner.
Il s’agit pour vous, de travailler ces annexes à la maison en suivant les indications du document
et de votre enseignant.
Un exercice issu des annexes ne pourra pas faire directement l’objet d’une partie d’un devoir
surveillé. En revanche, les connaissances et compétences développées dans les annexes seront
des pré-requis aux exercices posés en contrôles, qui seront proches du programme développé en
séances.
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Séances 1, 2 et 3
Fonctions de deux variables :
dérivées partielles et opérateurs
différentiels
Pré-requis : La notion de dérivée développée dans l’Annexe 1.
Une motivation pour la suite
La notion de fonction d’une ou de plusieurs variables est à la base de la plupart des modèles
mathématiques utilisés dans les sciences expérimentales. C’est le cas du volume d’un gaz qui
dépend de la pression et de la température, de la tension aux bornes d’un circuit constitué de
différents composants (résistances, capacités), d’un champ électrique que l’on représente à l’aide
de trois fonctions dépendant des trois coordonnées de l’espace x, y et z. Ainsi, par exemple, dans
→ → →
un repère orthonormé (0, i , j , k ), si x, y et z sont les coordonnées d’un point M, les expressions
p
l(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2
et
v(x, y, z) = xyz
−→
représentent respectivement la longueur du vecteur OM et le volume du parallélépipède rec−→
tangle de diagonale OM .
Les fonctions de plusieurs variables peuvent aussi modéliser des situations économiques, sociologiques ou biologiques.
Avertissement
Tout le long de ce chapitre, nous ne cherchons pas à savoir
où est définie la fonction, ni si elle est continue ou non.
Le traitement numérique de ces fonctions, indispensable en fin de toute application, porte presque
toujours sur des valeurs approximatives, c’est-à-dire, des valeurs entachées d’erreurs, dues principalement
1. aux relevés des données,
2. ou aux moyens, règles et/ou modes de calcul.
Pour estimer l’impact de ces erreurs sur les fonctions à évaluer, nous aurons
besoin plus tard de la notion de différentielle et pour définir la différentielle,
nous avons besoin des dérivées partielles.
Dans un premier temps, nous nous intéresserons aux fonctions de deux variables réelles :
(x, y) 7→ f (x, y).
Nous ne reviendrons pas sur la notion de dérivées pour les fonctions à une variable. Vous trouverez en annexe (Annexe 1) un résumé de ce qu’il est nécessaire de savoir ainsi que des exercices
corrigés.
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A- Dérivées partielles
A-1 Dérivées partielles premières
Définition 1 (et notation) On appelle dérivée partielle de la fonction f par rapport à la
première variable x, au point (x0 , y0 ), le nombre (s’il existe) :
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
∂f
(x0 , y0 ) = lim
.
h→0
∂x
h
De même, on définit la dérivée partielle par rapport à la seconde variable y, en (x0 , y0 ) :
f (x0 , y0 + k) − f (x0 , y0 )
∂f
(x0 , y0 ) = lim
.
k→0
∂y
k
Remarque importante
La définition de la dérivée partielle repose sur l’accroissement d’une seule variable. C’est
donc une dérivée “simple” par rapport à une variable, l’autre restant “fixe”.
Par conséquent, toutes les techniques de calcul des dérivées “simples” s’appliquent aux
dérivées partielles.
Exemple
Pour la fonction (x, y) 7→ f (x, y) = x2 ln y, nous avons :
∂f
∂f
x2
(x, y) = 2x ln y et
(x, y) =
.
∂x
∂y
y
Exercice 1
1. Calculer les dérivées partielles des fonctions f (x, y) = ln(x2 + 2xy) et g(x, y) =
sin x
.
cos y
2. Écrire la définition des dérivées partielles d’une fonction de trois variables réelles.
3. Calculer les dérivées partielles des fonctions
p
f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 ,
g(x, y, z) = xyz.
A-2 Dérivées partielles d’ordre supérieur à 1
Comme pour les fonctions d’une variable réelle, on peut définir des dérivées partielles d’ordre
supérieur à 1 pour les fonctions de plusieurs variables. Les notations universellement utilisées
sont :
∂ ∂f ∂2f
=
,
∂x ∂x
∂x2
∂ ∂f ∂2f
,
=
∂y ∂x
∂y∂x
∂ ∂f ∂2f
,
=
∂x ∂y
∂x∂y
∂ ∂f ∂2f
= 2 .
∂y ∂y
∂ y
Remarque
À l’exception de cas marginaux, l’égalité
∂2f
∂2f
=
est vraie.
∂y∂x
∂x∂y
On pourra utiliser cette remarque à titre de vérification.
Exercice 2
Reprendre les fonctions f et g de la question 3) de l’exercice 1 et calculer toutes leurs dérivées
partielles d’ordre 2.
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Exercice 3
Il existe de nombreuses manières de repérer un point dans un plan. Les plus utilisées sont le
système orthonormé de coordonnées cartésiennes (x, y) et le système de coordonnées polaires
(r, θ). Le passage de l’un à l’autre se fait grâce aux relations suivantes :
x = r cos θ,
y = r sin θ.
Si l’on définit les fonctions x et y par x(r, θ) = r cos θ et y(r, θ) = r sin θ, calculer les dérivées
partielles premières et secondes de x et de y par rapport aux variables r et θ.
Exercice 4
Dans l’espace géométrique à trois dimensions, rapporté à un repère orthonormé, un point est
repéré par un triplet (x, y, z) de nombres réels, appelées aussi coordonnées cartésiennes. Les
relations suivantes
(r, θ, ϕ) 7→ u(r, θ, ϕ) = r cos θ cos ϕ,
(r, θ, ϕ) 7→ v(r, θ, ϕ) = r sin θ cos ϕ,
(r, θ, ϕ) 7→ w(r, θ, ϕ) = r sin ϕ.
définissent les coordonnées sphériques.
Calculer les dérivées partielles premières et secondes de ces trois fonctions par rapport aux
variables r, θ et ϕ.
B- Opérateurs différentiels
B-1 Préliminaires : produit vectoriel, champs de scalaires, champs de vecteurs
On munit l’espace R3 d’un repère orthonomé R.
Soient u, v deux vecteurs de R3 de composantes respectives (x, y, z) et (x0 , y 0 , z 0 ).
On appelle produit vectoriel de u et v et on note u ∧ v, le vecteur de composantes
(yz 0 − zy 0 , zx0 − xz 0 , xy 0 − yx0 ).
Par exemple, si u = (1, 0, 0) et v = (0, 1, 0) alors u ∧ v = (0, 0, 1). Calculer v ∧ u.
Le vecteur u ∧ v est de direction orthogonale au plan défini par u et v : on peut vérifier dans le
cas général que les produits scalaires u · (u ∧ v) et v · (u ∧ v) sont nuls. On a la relation importante
ci-dessous (où sin(u, v) désigne le sinus de l’angle entre les vecteurs u et v) :
|| u ∧ u ||=|| u || || v || | sin (u, v) | .
Exercice 5
Calculer u ∧ v et v ∧ u avec u = (1, 2, 3) et v = (−1, 3, −2) puis avec u = (1, −5, 1) et
v = (−2, 10, 2). Evaluer dans chaque cas | sin (u, v) |.
Si u = (x, y, 0) et v = (x0 , y 0 , 0) alors u ∧ v = (0, 0, xy 0 − yx0 ) et sa dernière coordonnée est l’aire
algébrique du parallélogramme délimité par les vecteurs u et v.
Un champ de scalaires désigne une fonction f qui, à chaque point de l’espace R3 , associe un
réel r. C’est une fonction de R3 dans R.
→
−
Un champ de vecteurs désigne une fonction A qui, à chaque point M de l’espace R3 , de
→
−
coordonnées (x, y, z) associe un vecteur A (M ). C’est donc une fonction de R3 dans R3 . On note


Ax
→
−
A (M ) =  Ay 
Az
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Exemple :
La fonction f de R3 dans R définie par f : (x, y, z) 7→ x2 + y 2 + xyz est un champ de scalaires.

4xy + z 2 x
La fonction G de R3 dans R3 définie par G : (x, y, z) 7→  5xy − yz  est un champ de
z sin(y) + x
vecteurs.

Les physiciens sont amenés à manipuler les champs de vecteurs, les champs de scalaires et les
fonctions comme des objets et ils s’intéressent aux opérations que l’on peut appliquer à ces
fonctions pour fabriquer d’autres fonctions.
On introduit alors la notion d’opérateur, qui à une fonction, en associe une autre.
Soit, par exemple, l’ensemble de toutes les fonctions dérivables sur R. À chacune de ces fonctions,
on peut associer sa dérivée. On note D l’opérateur de dérivation et on le définit par D f = f 0
pour toute fonction f dérivable sur R. Ainsi, si f : x 7→ x2 , alors D f : x 7→ 2x.
B-2 Gradient - Divergence - Rotationnel - Laplacien scalaire
−−→
Définition 2 On appelle gradient, et on note grad , l’opérateur qui, à un champ de scalaires
f , associe le champ de vecteurs défini par :
Pour tout point M de coordonnées (x, y, z)
 ∂f
(x, y, z)
 ∂x

∂f
−−→
grad f (x, y, z) = 
 ∂y (x, y, z)

∂f
(x, y, z))
∂z






qui est un vecteur de R3 .
Exercice 6
−−→
Déterminer les composantes du vecteur grad f (x, y, z) lorsque :
1) f (x, y, z) = xyz ;
2) f (x, y, z) = x2 + y 2 ;
3) f (x, y, z) = z cos y sin x.
Définition 3 On appelle divergence, et on note div, l’opérateur qui, à un champ de vec→
−
→
−
teurs A , associe le champ de scalaire div A défini par :
∂Ax ∂Ay
∂Az
→
−
∀M ∈ R3 , div A (M ) =
+
+
∂x
∂y
∂z
→
−
→
−
Si A est un champ de vecteurs, div A est donc une fonction de R3 dans R.
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7
Exercice 7
→
−
Calculer div A où, lorsque M est un point de l’espace de coordonnées (x, y, z),


z sin y
→
−
A (M ) =  z cos y sin x 
z cos y
−→
Définition 4 On appelle rotationnel, et on note rot , l’opérateur qui, à un champ de vec→
−
−→ →
−
teurs A , associe le champ de vecteurs rot A défini par :



−
→
→
−

∀M ∈ R3 , rot A (M ) = 



∂Ay
∂Az
−
∂y
∂z 

∂Ax ∂Az 

−
∂z
∂x 
∂Ay
∂Ax 
−
∂x
∂y
Exercice 8
→
−
Calculer le rotationnel du vecteur A de l’exercice 7 et celui des gradients calculés dans l’exercice
6.
Définition 5 On appelle laplacien scalaire, et on note ∆, l’opérateur qui, à un champ de
scalaires f , associe le champ de scalaires ∆ f défini par :
−−→
∀(x, y, z) ∈ R3 ∆ f (x, y, z) = div grad f (x, y, z).
Autrement dit :
∆ f (x, y, z) =
∂2f
∂2f
∂2f
(x,
y,
z)
+
(x,
y,
z)
+
(x, y, z)
∂x2
∂y 2
∂z 2
Exercice 9
Calculer le laplacien scalaire du champ f , donné par f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 .
Remarque
Les définitions de gradient, divergence et laplacien ont été donnés pour 3 variables mais sont
analogues pour deux variables.
Définition 6 On appelle fonction harmonique une fonction dont le laplacien est nul.
Exercice 10
Vérifier que la fonction f de R2 dans R, donnée par f (x, y) = x2 − y 2 , est harmonique.
Exercice 11
→
−
Soit A un champ de vecteurs et f un champ de scalaires.
Pour tout M = (x, y, z) ∈ R3 , montrer que :
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8
−→ −−→
→
−
1- rot grad f (x, y, z) = 0 .
−→ →
−
2- div rot A (M ) = 0.
Exercice 12
Calculer la divergence
et le rotationnel
des champs
suivants :


 de vecteurs 
 x 
2x − y
2x − y
e
→
−
→
−
→
−
 ; A : (x, y, z) 7→  ex+y  ;
−z
A 1 : (x, y, z) 7→  −x + 3y  ; A 2 : (x, y, z) 7→ 
3
6z
6z + y − x
ez


6xyz + 6y cos x
→
−

3x2 z + 2 sin x .
A 4 : (x, y, z) 7→
3x2 y + 2z
Donner si possible, pour chaque champ de vecteurs précédent, un champ de scalaires dont il est
le gradient (potentiel scalaire).
B-3 Exercices pour s’entraı̂ner
Exercice 1
Montrer que chacune des fonctions définies ci-dessous vérifie la relation qui lui est associée.
1. f de R2 dans R définie par f (x, y) = x3 − 3x2 y − 2y 3 vérifie :
∂f
∂f
x (x, y) + y (x, y) = 3f (x, y).
∂x
∂y
2
2
x +y
vérifie :
2. f de R2 dans R définie par f (x, y) = √
x+y
∂f
∂f
3
x (x, y) + y (x, y) = f (x, y).
∂x
∂y
2
p
3
2
3. f de R dans R définie par f (x, y) = x2 + y 2 vérifie :
∂2f
∂f
∂2f
(x, y) + 3y 2 (x, y) +
(x, y) = 0.
3x
∂x∂y
∂y
∂y
4. f de R2 dans R définie par f (x, y) = ln (x2 + y 2 + z 2 ) vérifie :
∂2f
∂2f
∂2f
x
(x, y, z) = y
(x, y, z) = z
(x, y, z).
∂y∂z
∂x∂z
∂x∂y
Exercice 2
1mm] Montrer que chacune des fonctions définies ci-dessous est harmonique.
1. f de R2 dans R définie par f (x, y) = x3 − 3xy 2 .
2. f de R2 dans R définie par f (x, y) = y 3 − 3x2 y.
xz
3. f de R3 dans R définie par f (x, y) = 2
.
x + y2
Exercice 3
Vérifier que les rotationnels des champs de vecteurs ci-dessous sont nuls et écrire leur potentiel
scalaire (champ de scalaires dont chacun est le gradient) :


2x + y + z
→
−
1. V : (x, y, z) 7→  x + 2y + z  ;
x + y + 2z
 2

x − yz
−
→
2. W : (x, y, z) 7→  y 2 − zx  .
z 2 − xy
1
1
→
−
−−→
−
→
−−→ 1
Réponses : V = grad (x2 + y 2 + z 2 + xy + yz + xz) ; W = grad ( x3 + y 3 + z 3 − xyz).
3
3
3
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B-4 Complément : opérateur nabla et écriture des opérateurs
Pour une écriture plus synthétique des opérateurs vus dans le paragraphe précédent, et une
mémorisation plus aisée, on introduit un nouvel opérateur.
Soit une fonction f de trois variables à valeurs dans R (c’est donc un champ de scalaires) dont
les dérivées partielles existent. On peut lui associer le triplet de ses dérivées partielles. Attention
il s’agit d’un triplet de fonctions qui, une fois évaluées en un point de l’espace R3 , donnera un
→
−
vecteur de l’espace R3 . On note ∇ et on appelle nabla cet opérateur. On écrit :
 ∂
 ∂x
 ∂
→
−
∇ =
 ∂y

∂
∂z
Ce qui signifie que, si f est un champ scalaire, alors
 ∂f
 ∂x
 ∂f
→
−
∇ f =
 ∂y

∂f
∂z
Exercice 1 Soit f : (x, y, z) 7→ 3xy 2 + 4yz + x.
On note f1 : (x, y, z) 7→ 3y 2 + 1, f2 : (x, y, z) 7→ 6xy + 4z et f3 : (x, y, z) 7→ 4y. Vérifier que
→
−
∇ f = (f1 , f2 , f3 ).
→
−
Avec la notation ∇ , on a :
∀M ∈ R3
−−→
→
−
grad f = ∇ f,
→
−
→
− →
−
div A (M ) = ∇ · A (M ),
−→ →
−
→
− →
−
∀M ∈ R3 rot A (M ) = ∇ ∧ A (M ).
Le vérifier.
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Séance 4
Récréation : Sur les équations et
inéquations
On commencera ici à travailler à la maison l’annexe 2.
Un problème simple de bénéfice
Un commerçant achète des produits pour les vendre. Son fournisseur lui accorde une remise de
10% sur le prix de vente étiqueté en magazin.
Lorsqu’il vend ces produits le commerçant offre à ses clients des chèques cadeaux de 5 euros pour
l’achat de chaque produit. Pour quelle valeur du prix de vente le commençant peut-il réaliser un
bénéfice ?
Ensembles et fonctions
Exercice 1 On considère les fonctions données par les expressions suivantes :
x−5
| 2x2 − 1 |
et
f
(x)
=
.
3
x2 − 6x + 5
|x|
a) Dans quels intervalles se trouve f1 (x) et f2 (x) lorsque x ∈ [−1, 1[ ?
b) Comment choisir x pour que f1 (x) < 1 ?
c) Comment choisir x pour que f2 (x) > 3 ?
d) Comment choisir x pour que f3 (x) < 3 ?
f1 (x) =
p
1 − x2
, f2 (x) =
Exercice 2 On considère les fonctions données par les expressions suivantes :
f1 (x) = cos 2x , f2 (x) = sin (3x − π).
π
a) Dans quels intervalles se trouvent f1 (x) et f2 (x) lorsque x ∈ [0, ] ?
4
−π
Même question avec x ∈]0,
].
6
b) Comment choisir x pour que 0 < f1 (x) < 1 ?
1
c) Comment choisir x pour que f2 (x) > ?
2
Inéquations linéaires à deux inconnues et systèmes d’inéquations
linéaires à deux inconnues
Méthode de résolution d’une inéquation linéaire à deux inconnues
Dans R2 , toutes les inéquations linéaires à deux inconnues se ramènent à la forme fondamentale
(1)
ax + by + c ≤ 0
où a, b et c sont des nombres réels et x et y les inconnues.
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11
Résoudre l’inéquation ax + by + c ≤ 0, c’est trouver l’ensemble de tous les couples de réels (x, y)
tels que l’inégalité ax + by + c ≤ 0 soit vraie. Un tel couple de réels (x, y) est appelé une solution
de l’inéquation (1).
Soit S l’ensemble des solutions de l’inéquation (1) :
- si (a, b) 6= (0, 0), c’est-à-dire si a ou b est différent de 0, S peut être représenté graphiquement
par un demi-plan dont la frontière est la droite d’équation ax + by + c = 0 ;
- si (a, b) = (0, 0), c’est-à-dire si a = b = 0, alors :
(1) ⇐⇒ c ≤ 0 et on a donc soit S = R2 , soit S = ∅.
En pratique, si la droite frontière ne passe pas par l’origine, on teste le couple (0, 0) pour savoir
si le demi-plan solution contient l’origine O ou pas.
Cas d’un système : l’ensemble des solutions d’un système de deux (ou plus) inéquations
linéaires à deux inconnues sera représenté par une région du plan déterminé par deux (ou plusieurs) droites. Ces systèmes permettent de modéliser des problèmes concrets.
Exercice 3
Représenter graphiquement l’ensemble des solutions de chacune des inéquations ci-dessous :
1. 2x − y − 2 ≥ 0
2. y − 5 < 0
3. x − 5 ≥ 0
Exercice 4
1-Représenter graphiquement l’ensemble des solutions du système :
x + 2y ≥ 5
x + 2y ≤ 10.
2-On dispose d’un budget compris entre 400 euros et 800 euros et on veut acheter au moins deux
acacias à 80 euros et au moins deux peupliers à 160 euros pièce. Ecrire le système des contraintes
issu de ce problème et représenter graphiquement l’ensemble des couples solutions.
Le vendeur paye les acacias 60 euros pièce et les peupliers 100 euros pièce. Quel est alors le
bénéfice maximal et pour quelles quantités d’acacias et de peupliers est-il réalisé ?
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12
Séances 5 et 6
Nombres Complexes
Vous trouverez en annexe (Annexe 3) des exercices sur la trigonométrie à avoir
fait à la maison avant cette séance, ainsi qu’une annexe (Annexe 4) contenant les
principales définitions et propriétés des nombres complexes vues en Terminale S.
Attention, en physique, on utilise la lettre j pour désigner le nombre complexe tel que j 2 = 1.
Ici, nous utilisons la notation mathématique i pour ce nombre complexe. En mathématiques, la
lettre j désigne le nombre complexe tel que j 3 = 1.
Forme algébrique des nombres complexes
Exercice 1
Résoudre dans C les équations d’inconnue z ci-dessous :
(a) (2i + z)(z + i(3 − z)) = 0 ;
(b) iz̄ + 7 = 2z + 2i.
Exercice 2
a) Montrer que l’équation (E) : z 3 − (2 + i)z 2 + 2(1 + i)z − 2i = 0 admet une solution imaginaire
pure. En déduire une factorisation du premier membre de cette équation sous forme d’un facteur
du premier degré et
du second degré, puis résoudre (E) dans C.
√ d’un facteur √
1
1
3 2
3 2
b) Calculer ( + i
) et ( − i
) , puis, en posant Z = z 2 , résoudre z 4 + z 2 + 1 = 0.
2
2
2
2
Forme trigonométrique et forme exponentielle des nombres complexes
Rappelons que tout nombre complexe z non nul peut s’écrire sous la forme
z = r · (cos θ + i sin θ),
où r est son module et où θ est un de ses arguments (défini à 2kπ près, k ∈ Z).
On note également z sous la forme reiθ .
En utilisant cette notation explonentielle, rappelons encore trois formules importantes :
- la formule de De Moivre : (eiθ )n = einθ .
- les formules d’Euler : pour tout réel x
cos x =
eix + e−ix
eix − e−ix
et sin x =
.
2
2i
Exercice 3
a) Soit le nombre complexe z = 2 − 2i = r · (cos θ + i sin θ), où (r, θ) ∈ R∗+ × R. Calculer r et θ,
puis écrire z sous forme exponentielle.
√
b) Ecrire√sous formes trigonométriques et exponentielles les nombres complexes z = 1 + i 3 et
z = 1 − i 3.
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13
c) Écrire en notation exponentielle les complexes suivants : z1 = i, z2 = 1, z3 = 1 + i, z4 = 1 − i,
√
1
z5 = 2 + 2i, z6 = , z7 = −1 + i 3. Les représenter ensuite dans le plan complexe.
i
1−z
iθ
d) Soit z = e , avec −π < θ < π. Trouver, si c’est possible, un argument de 1+z, 1−z et
·
1+z
Exercice 4
π
π
Ecrire le nombre complexe z1 = iei 3 sous forme exponentielle. On donne aussi z2 = −2ei 2 et
2π
z3 = 4e−i 3 . Calculer z1 z2 z3 , puis z1 (z2 )2 .
Exercice 5
a) En utilisant la forme exponentielle d’un nombre complexe, retrouver les formules concernant
les sinus et cosinus de la somme et de la différence de deux nombres réels a et b. Ecrire les
formules obtenues pour a = b = α où α réel donné.
b) En utilisant la formule de Moivre, écrire cos 3θ et sin 3θ en fonction de cos θ et sin θ.
1
3
c) En utilisant les formules d’Euler et la formule de Moivre, montrer que cos3 θ = cos θ+ sin θ
4
4
et exprimer de même sin3 θ en fonction de cos θ et sin θ.
d) Soit (p, q) ∈ R2 .
p−q
q−p
p+q
d1 ) Montrer que : eip + eiq = ei 2 (ei 2 + ei 2 ).
d2 ) En déduire la factorisation de cos p + cos q et de sin p + sin q.
d3 ) Résoudre dans R l’équation cos x + cos 2x = 0.
Exercice 6 q
q
√
√
Soit z = 5 − 2 + 2 + i 2 − 2 .
1. Calculer z 2 et le mettre sous forme trigonométrique.
2. En déduire le module et un argument de z.
Exerciceq7
q
√
√
Soit z = 2 − 2 − i 2 + 2.
13π
13π
1. Calculer z et z et en déduire que z = 2 cos
+ i sin
·
8
8
π
π
2. Déduire de la première question les valeurs de cos et sin ·
8
8
π
π
3. Vérifier ce résultat à partir des valeurs de cos et sin en utilisant des formules de
4
8
trigonométrie connues.
2
4
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14
Séances 7, 8, 9 et 10
Équations différentielles
Pré-requis : les notions sur les primitives vues en terminale S (voir résumé en annexe 5).
A-Un exemple que vous connaissez déjà !
En terminale, en calculant des primitives, vous avez en fait résolu le type le plus simple d’équations
différentielles, celles de la forme : y 0 (x) = f (x).
Dans cette écriture :
- f est une fonction donnée et y représente la fonction inconnue ;
- l’équation est dite d’ordre 1, car l’inconnue y figure sous la forme d’une dérivée première ;
- les solutions sont exactement les primitives de f , et donc définies sur des intervalles où f est
continue.
Exemple : la solution générale de l’équation différentielle y 0 (x) =
1
est ln(|1 + x|) + C
1+x
où C est une constante. Cela signifie que :
- sur l’intervalle ] − ∞, −1[, les solutions sont de la forme y(x) = ln(−1 − x) + C1 , C1 ∈ R ;
- sur l’intervalle ] − 1, +∞[, les solutions sont de la forme y(x) = ln(1 + x) + C2 , C2 ∈ R.
Chaque valeur numérique de C1 ou C2 définit une solution particulière.
Par exemple, la solution telle que y(1) = ln(2) est définie sur ]1, +∞[ et obtenue pour C2 = 0.
On dit que cette solution vérifie la contrainte y(1) = ln(2).
En sciences expérimentales, on parle souvent de conditions initiales, ce sont en général des
contraintes en 0.
Exercice 1
Résoudre les équations différentielles du premier ordre ci-dessous :
1. y 0 (x) = sin x + cos x ;
y 0 (x) = x2 + 4x + ex ;
y 0 (x) = tan2 x + 2 ;
2x
2. y 0 (x) = cos3 x sin x ;
y 0 (x) = 2
;
y 0 (x) = sin x cos x ;
x +1
4x3 + 2x
2
3. y 0 (x) = (2x + 1)ex +x ;
y 0 (x) = √
;
x4 + x2
4. y 0 (x) = cos(ωx + ϕ), puis y 0 (x) = sin(ωx + ϕ) où (ω, ϕ) ∈ R2 et ω 6= 0 ;
5. y 0 (x) = sin αx où α ∈ R ;
y 0 (x) = sin2 x ;
y 0 (x) = cos2 x.
B- Quelques exemples plus compliqués !
Plus généralement :
Définition 7 Soit n ∈ N∗ , on appelle équation différentielle d’ordre n toute relation :
R(x, y(x), y 0 (x), . . . , y (n) (x)) = 0,
(1)
entre une fonction (inconnue) y, sa variable x et ses dérivées successives y 0 , y 00 , . . . , y (n) .
On appelle solution de l’équation différentielle (1), toute fonction y, n fois dérivable sur un
intervalle ouvert I et qui vérifie, sur I, la relation (1).
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15
Remarque
Les dérivées successives de y sont également notées
dy d2 y
dn y
,
.
.
.
,
.
,
dx dx2
dxn
Exemples
1. Les solutions de l’équation différentielle y (3) (x) = 0 sont les trinômes de degré inférieur ou
égal à deux : ax2 + bx + c où (a, b, c) ∈ R3 .
De manière générale, les solutions de l’équation différentielle d’ordre n, n ∈ N∗ , de la
forme y (n) (x) = 0 sont tous les polynômes de degré inférieur ou égal à n − 1.
2. On vérifie que la fonction y(x) = e2014x est solution de l’équation différentielle :
y 0 (x) − 2014y(x) = 0.
Exercice 2
Pour chacune des équations ci-dessous, donner son ordre et vérifier que la fonction proposée est
bien solution (éventuellement en tenant compte de la contrainte donnée) :
π
1. (E1 ) y 0 tan x − y = 0, y(x) = k sin x où k ∈ R, avec k = 2 si y( ) = 1 ;
6
2. (E2 ) y 00 + 4y = 0, y(x) = λ1 sin 2x + λ2 cos 2x où (λ1 , λ2 ) ∈ R2 ,
avec λ1 = −1 et λ2 = 2 si y(0) = 2 et y 0 (0) = −2 ;
1
1
3. (E3 ) xy 00 + 2y 0 − xy = sin x, y(x) = (C1 ex + C2 e−x − sin x) où (C1 , C2 ) ∈ R2 ;
x
2
4. (E4 ) x2 y (4) − 2y 00 = 0, y(x) = C1 x ln |x| + C2 x4 + C3 x + C4 où (C1 , C2 , C3 , C4 ) ∈ R4 .
C- Les équations différentielles linéaires !
Dans cette unité d’enseignement, “résoudre” une équation différentielle, c’est trouver toutes ses
solutions qui s’expriment à l’aide des fonctions élémentaires (polynomiales, rationnelles, trigonométriques, logarithmiques, exponentielles) et leurs réciproques.
1. Il existe très peu de méthodes de résolution systématique des équations différentielles.
2. Dans cette unité d’enseignement, nous ne nous intéresserons qu’aux équations
différentielles linéaires d’ordres 1 et 2 (et encore, pas à toutes).
Parmi les équations différentielles du premier ordre et du deuxième ordre R(x, y(x), y 0 (x)) = 0
ou R(x, y(x), y 0 (x), y”(x)) = 0, une place particulière est en effet occupée par celles qui sont
linéaires, c’est-à-dire les équations différentielles de la forme :
a(x)y 0 (x) + b(x)y(x) = f (x)
ou
a(x)y 00 (x) + b(x)y 0 (x) + c(x)y(x) = f (x)
où a, b, c et f sont des fonctions définies et continues sur un même intervalle I et a(x) 6= 0 pour
tout x ∈ I. Ce sont les équations différentielles linéaires d’ordres respectifs 1 et 2.
Si f (x) = 0, pour tout x ∈ I, on dit alors qu’elles sont homogènes ou encore sans second
membre.
Les fonctions a(x), b(x) et c(x) sont les coefficients de l’équation.
Attention : le qualificatif “homogène” n’a pas le même sens que celui que vous
verrez dans les équations aux dimensions en physique et en chimie.
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16
C-1 Résolution des équations différentielles linéaires homogènes du premier
ordre
Soit une telle équation :
a(x)y 0 (x) + b(x)y(x) = 0.
où a et b sont des fonctions définies et continues sur un même intervalle, a n’étant pas la fonction
nulle.
Pour résoudre ces équations, il est commode de les réécrire sous la forme
y 0 (x) = α(x)y(x) ou encore
y 0 (x)
= α(x)
y(x)
où α est une fonction continue sur un intervalle.
On remarquera que ces deux formes ne sont pas équivalentes, puisque dans la première écriture
la fonction y peut s’annuler et pas dans la deuxième. On perd en particulier dans le deuxième
forme la la fonction nulle comme solution. Cependant, il est très simple de résoudre l’équation
y 0 (x)
= α(x) dite à variables séparées en utilisant la dérivée logarithmique de y. On en déduit
y(x)
en effet :
Z
ln |y| = α(x)dx + C, où C ∈ R.
Si on remarque en plus que C peut s’écrire ln |k| où k ∈ R, on écrit directement :
Z
y
ln | | = α(x)dx, où k ∈ R.
k
Par passage à l’exponentielle, on obtient alors :
Z
y(x) = k exp
α(x)dx où k ∈ R.
Remarques
On retrouve pour k = 0 la fonction nulle qui avait été perdue en chemin comme solution.
Une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre est dite à variables séparables.
Cas coefficients constants : α(x) = λ où λ est constante.
Dans ce cas, l’écriture au-dessus se simplifie et finalement :
y 0 (x) = λy(x)
⇐⇒
y(x) = k eλx où k est une constante.
Remarque (pouvant être sautée en première lecture)
On explique facilement dans ce cas une autre méthode de résolution : on remarque que les
solutions de l’équation différentielle y 0 (x) = λy(x) sont aussi celles de l’équation différentielle
[y 0 (x) − λy(x)]e−λx = 0 et réciproquement. Autrement dit y sera solution de y 0 (x) = λy(x) si
et seulement si elle est solution de [(y(x)e−λx ]0 = 0.
D’où, par intégration, y vérifie [(y(x)e−λx ] = k (où k est une constante), et on retrouve la
formule ci-dessus.
La démarche utilisée dans cette deuxième méthode reste valable dans le cas non constant et
permet de retrouver la solution donnée plus haut. Vous pouvez y réfléchir à titre d’exercice.
Exercice 3
Résoudre les équations suivantes :
1- 4y 0 (x) − 3y(x) = 0 pour tout x ∈ R.
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2- y 0 (x) = y(x) cos x pour tout x ∈ R.
3- 2xy 0 (x) + x2 y(x) = 0 pour x ∈]0, +∞[.
π π
4- y(x) cos x + y 0 (x) sin x = 0 pour x ∈] − , [. Pour cette équation, on cherchera la solution y
2 2
telle que y(0) = 2.
C-2 Résolution des équations linéaires du premier ordre non homogènes
L’équation que l’on cherche à résoudre peut s’écrire :
y 0 (x) = α(x)y(x) + β(x)
où α et β sont définies et continues sur un même intervalle.
La résolution des équations linéaires non homogènes s’appuie sur le principe dit principe de
superposition (terminologie utilisée en sciences expérimentales) :
La solution générale de l’équation différentielle linéaire du premier ordre non homogène
y 0 (x) = α(x)y(x) + β(x)
est égale à la somme d’une de ses solutions particulières et de la solution générale de l’équation
différentielle homogène associée.
Premier cas : on connaı̂t (ou on sait trouver simplement) une solution particulière
de l’équation complète y 0 (x) = α(x)y(x) + β(x). Il suffit alors de résoudre l’équation homogène associée pour construire par addition la solution cherchée.
Exercice 4
Soit l’équation y 0 = αy + β, avec α et β deux réels et α 6= 0.
β
1. Vérifier que y = − est une solution particulière de cette équation.
α
2. Construire sa solution générale.
Exercice 5
Montrer que la solution générale de l’équation différentielle
1
1. y 0 (x) + y(x) = e2x est Ce−x + e2x .
3
C
2. xy 0 (x) + y(x) = 3x2 est
+ x2 pour x ∈]0, +∞[.
x
Exercice 6
Déterminer la fonction q telle que 3q 0 (t) + 2q(t) = 6 et q(0) = 0 (on pourra utiliser l’exercice 4).
Deuxième cas : on ne connaı̂t pas de solution particulière de l’équation complète
y 0 (x) = α(x)y(x) + β(x). On utilise la méthode dite de variation de la constante qui se
déroule en deux temps :
1. Tout d’abord, on résout l’équation homogène associée :
y 0 (x) = α(x)y(x)
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18
2. Ensuite, dans la solution générale de cette dernière, on remplace la constante k par une
fonction inconnue, notée C(x) et on injecte la fonction obtenue dans l’équation non homogène du départ. On obtient systématiquement une simplification de telle sorte que
l’équation peut toujours s’écrire sous la forme C 0 (x) = g(x) où g est la fonction ainsi
obtenue.
En intégrant C 0 sans oublier la constante, on obtient l’expression de la solution générale
de l’équation différentielle non homogène.
Exemple : résoudre l’équation différentielle xy 0 − 2y = x3 .
1. On résout l’équation homogène associée xy 0 − 2y = 0. On obtient y(x) = kx2 où k ∈ R.
2. On remplace k par une fonction C(x) inconnue et on injecte la nouvelle expression de y(x)
dans l’équation complète, en calculant d’abord y 0 (x) ; on obtient :
C 0 (x)x3 + 2C(x)x2 − 2C(x)x2 = x3 .
3. On observe bien la simplification annoncée et on obtient :
C 0 (x) = 1 d’où C(x) = x + λ,
λ ∈ R.
4. En reportant dans l’expression de y, on en déduit la solution complète :
y(x) = (x + λ)x2 soit encore y(x) = x3 + λx2 ,
λ ∈ R.
Remarque : on s’aperçoit sur cet exemple qu’en fait, si on “oublie” la constante dans
l’intégration de C 0 , cela revient à calculer une solution particulière de l’équation
complète et qu’alors, on retrouve la solution générale de l’équation complète par le
principe de superposition.
Complément qui peut être sauté en première lecture : justification de la méthode de variation
de la constante
Z
Dans le cas général, en notant γ(x) = α(x)dx, on a :
y 0 (x) = (C(x)eγ(x) )0 = α(x)C(x)eγ(x) + β(x)
on obtient : [C 0 (x)Z+ α(x)C(x)]eγ(x) = α(x)C(x)eγ(x) + β(x), c’est-à-dire, C 0 (x) = β(x)e−γ(x) .
D’où, C(x) = k +
β(x)e−γ(x) dx,
k∈R
et, finalement l’expression de la solution générale de l’équation différentielle non homogène.
Exercice 7
Retrouver les solutions générales des équations différentielles de l’exercice 5 en utilisant la
méthode de variation de la constante.
Exercice 8
(ln x)2
Déterminer la solution générale de l’équation xy 0 (x) − ln (x)y(x) = e 2 pour x > 0.
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19
C-3 Résolution des équations différentielles linéaires d’ordre 2, homogènes et
à coefficients constants
Elles sont de la forme :
ay 00 (x) + by 0 (x) + cy(x) = 0
avec a, b, c trois réels et a 6= 0.
Nous nous intéressons à ce cas, car il n’existe pas de méthode générale pour résoudre toutes les
équations différentielles linéaires du second ordre.
On cherche les solutions de la forme : y(x) = erx où r est un nombre
inconnu.En injectant
2
cette fonction dans l’équation considérée, on obtient l’expression ar + br + c ert = 0 qui
n’est vérifiée que si le nombre r satisfait l’équation algébrique, dite “équation caractéristique” :
ar2 + br + c = 0.
(2)
Les racines de cette équation algébrique du second degré, notées r1 et r2 , dépendent (bien sûr)
du signe du discriminant ∆ = b2 − 4ac.
Dans le cas où ∆ < 0, les nombres complexes conjugués r1 et r2 s’écrivent : r1 = α − iβ,
r2 = α + iβ avec (α, β) ∈ R2 . La solution générale de l’équation différentielle linéaire homogène
de second ordre s’exprime alors comme suit :
ay 00 (x) + by 0 (x) + cy(x) = 0
m

K er1 x + K2 er2 x , si ∆ > 0 (r1 , r2 ∈ R);


 1
(K1 x + K2 )er0 x , si ∆ = 0 (r1 = r2 = r0 ∈ R);
y(x) =

 αx

K1 cos(βx) + K2 sin(βx) , si ∆ < 0.
e
où (K1 , K2 ) ∈ R2 .
Remarque qui peut être sautée en première lecture : autre expression de la solution générale
utilisée en mécanique, dans le cas où ∆ < 0.
En mécanique, lorsque ∆ < 0, on présente parfois la solution générale sous la forme
Ceαx cos(βx − ϕ) où C et ϕ sont de nouvelles constantes qui influent respectivement sur l’amplitude et la phase du mouvement. Pour obtenir cette forme, on suppose que les constantes K1
et K2 ne s’annulent pas simultanément et on considère l’angle ϕ tel que
K1
K2
et
sin(ϕ) = p 2
.
cos(ϕ) = p 2
2
K1 + K2
K1 + K22
Ainsi, de l’expression y(x) = eαx K1 cos(βx) + K2 sin(βx) , on déduit
q
K1
K2
p
K12 + K22 eαx p 2
cos(βx)
+
sin(βx)
K1 + K22
K12 + K22
αx
= Ce cos(βx − ϕ).
y(x) =
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20
Exercice 9
Résoudre les équations différentielles
1. y 00 (x) − 3y 0 (x) + 2y(x) = 0.
2. y 00 (x) − y 0 (x) + y(x) = 0.
3. y 00 (x) − 6y 0 (x) + 9y(x) = 0.
Exercice 10
Déterminer la fonction x vérifiant x00 (t) + 16x(t) = 0 et telle que x(0) = 1 et x0 (0) = 0.
C-4 Résolution des équations du deuxième ordre, linéaire et à coefficients
constants non homogènes
Soit une équation de la forme ay 00 (x) + by 0 (x) + cy(x) = f (x).
Le principe de superposition, vu pour les équations différentielles linéaires d’ordre 1, agit aussi
pour les équations différentielles linéaires du second ordre.
La solution générale de l’équation différentielle linéaire du second ordre
a(x)y 00 (x) + b(x)y 0 (x) + c(x)y(x) = f (x)
est égale à la somme d’une de ses solutions particulières et de la solution générale de l’équation
différentielle homogène associée.
Suivant ce principe, la résolution de telles équations différentielles se fait en deux étapes. La
première consiste à résoudre l’équation différentielle homogène associée et la seconde étape, à
trouver une solution particulière dont la forme sera toujours suggérée dans les exercices.
Exercice 11
Résoudre l’équation différentielle :
y 00 − y 0 − 6y = e−2x (x2 − x + 1)
sachant qu’elle admet une solution particulière de la forme (ax3 +bx2 +cx+d)e−2x où (a, b, c, d) ∈
R4 .
Exercice 12
Soit l’équation différentielle :
d2 P (t)
dP (t)
+2
= et
2
dt
dt
(eq)
1) Déterminer une solution particulière de l’équation (eq) sous la forme P (t) = aet avec a réel.
2) Exprimer la solution générale de l’équation (eq).
1
3) Parmi les fonctions P trouvées à la question 2), on considère celle telle que P (0) =
et
3
dP (0)
dP (0)
= 0 ainsi que celle telle que P (0) = 0 et
= 0. Tracer dans le plan rapporté à un
dt
dt
repère orthonormé les courbes représentatives de ces deux fonctions.
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21
D-Exercices pour s’entraı̂ner
Résoudre les équations différentielles ci-dessous où l’inconnue est la fonction y de la variable x :
1. y 00 = x2 + x − 3 ;
Réponse : y =
x4 x3 3 2
+
− x + C1 x + C2 , (C1 , C2 ) ∈ R2 .
12
6
2
2. 2xy 0 + y = 0 avec y(2) = 1 ;
Réponse : sans contrainte, les solutions sont sur ] − ∞, 0[√ou sur ]0, +∞[,
2
K
y=p
, K ∈ R et avec la contrainte, la solution est y = √ sur ]0, +∞[.
x
|x|
3. xy 0 − 2y = x3 ;
Réponse : y = kx2 + x3 , k ∈ R.
4. y 0 + y tan x = sin 2x
Réponse : y = −2 cos2 x + k cos x, k ∈ R.
5. y 00 + y 0 − 2y = 2x3 − 3x + 1 (indication : on cherchera une solution particulière sous la
forme d’un polynôme du second degré) ;
1
5
Réponse : y = C1 ex + C2 e−2x − x2 + x − , (C1 , C2 ) ∈ R2 .
2
4
6. y 00 + y 0 + 2y = 2x2 − x + 3 (indication : on cherchera une solution particulière sous la forme
d’un polynôme du second degré) ;
√
√
7
7
3
5
− x2
Réponse : y = e (C1 cos
x + C2 sin
x) + x2 − x + , (C1 , C2 ) ∈ R2 .
2
2
2
4
00
0
2
7. y + 2y = x − 4x + 3 (indication : on cherchera une solution particulière sous la forme
d’un polynôme de degré 3) ;
5
11
1
Réponse : C1 + C2 e−2x + x3 − x2 + x , (C1 , C2 ) ∈ R2 .
6
4
4
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22
Séances 11 et 12
Récréation : Sur les systèmes
d’équations linéaires
Les méthodes de résolution des systèmes d’équations linéaires sont expliquées dans l’Annexe 6.
Les exercices de cette annexe sont à faire à la maison.
La méthode de Gauss sera expliquée en cours.
Petits préliminaires
Fabriquer un système d’équation dont l’unique solution soit (2, −3).
Fabriquer un système ayant pour solution les couples (k, 2k + 1) où k décrit l’ensemble des réels.
Fabriquer un système n’ayant pas de couple de réels solutions.
Un problème simple de robinets
Un bassin de 200 litres est alimenté par deux fontaines A et B de débits constants.
Une première fois, on laisse couler la fontaine A pendant quatre heures et la fontaine B pendant
deux heures. Elles ont versé dans le bassin 64 litres.
Une deuxième fois, on laisse couler A pendant trois heures et B pendant quatre heures. Elles
ont versé 62 litres.
a- Quel est le débit de chaque fontaine ?
b- Combien faudrait-il de temps pour remplir le bassin si les deux fontaines coulent ensemble ?
(d’après le manuel “Mathématiques troisième” programme 1978- IREM de Strasbourg-Éditeur
Istra.)
Ça roule !
Un automobiliste effectue un trajet de 505 km en 5 h 20 mn. La consommation d’essence correspondante a été de 47 litres. Le trajet comporte des portions de routes, d’autoroutes et de
traversées de villes.
On sait que la vitesse moyenne de l’automobiliste est de 80 km/h sur route, 120 km/h sur autoroute et de 50 km/h en ville.
Par ailleurs la consommation moyenne du véhicule est respectivement de 8, 10 et 12 litres sur
route, autoroute et en ville.
Déterminer le kilométrage du trajet sur route, sur autoroute et en traversées de villes.
(d’après le manuel “Mathématiques Seconde” programme 1990. Collection Decreton-Poret-Éditions
Gamma.)
Deux problèmes très anciens
1. Chercher trois nombres tels que : le premier augmenté de 73 égale le double de la somme des
deux autres ; le second augmenté de 73 égale le triple de la somme des deux autres ; le troisième
augmenté de 73 égale le quadruple de la somme des deux autres (in Arithmetica Pracica, Christophore Clavius, Rome 1586).
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23
2. Le problème concerne quatre hommes. Le premier, le second et le troisième, à eux trois,
possèdent 27 pièces. D’autre part le second, le troisième et le quatrième ont, eux tous, 31 pièces.
Le troisième, le quatrième et le premier ont, quant à eux, 34 pièces. Enfin le quatrième, le
premier et le second ont un total de 37 pièces. On demande combien de pièces possède chacun
des hommes (in Liber Abaci, 1228. Leonardo Fibonacci Traduction du latin de J.-P. Levet,
brochure de l’IREM de Poitiers, 1997.).
Un problème plus compliqué de robinets
Un bassin peut-être rempli par des conduits A, B et C de débits constants. On le remplit en 70
mn par les conduits A et B ; en 84 mn par les conduits A et C et en 140 mn par les conduits B
et C.
1- En combien de temps le bassin peut-il être rempli par chacun des conduits coulant seul ?
2- Puis par les trois conduits ensemble ?
(d’après le manuel “Mathématiques Seconde” programme 1990. Collection Decreton-Poret-Éditions
Gamma.)
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24
Séances 13, 14 et 15
Intégrales
Pré-requis : les notions sur les primitives et intégrales vues en terminale S (voir résumé dans
l’Annexe 5).
A-Intégrales simples
Exercice 1
Calculer les primitives et intégrales ci-dessous :
Z
Z π
2
3
x
1 - (x + sin x + e ) dx et
(x3 + sin x + ex ) dx.
−1
Z
Z π
6
2 - (sin 3x + cos 2x) dx et
(sin 3x + cos 2x) dx.
π
12
Z π
4
1
1
3 - (1 + tan x +
) dx et
(1 + tan2 x +
) dx.
2
π
cos x
cos2 x
6
Z
Z −1
1
1
3x
4 - ( + x + e ) dx et
( + x + e3x ) dx.
x
x
−2
Z
Z 3
Z 0
Z 3
Z 3
Z
5| x | dx,
| x | dx,
| x | dx,
| x | dx,
| x | dx,
Z
2
−3
0
−3
−1
1
| x | dx.
−3
Exercice 2
Calculer les primitives et intégrales ci-dessous :
Z
Z π
2
4
(sin x cos4 x) dx.
1 - (sin x cos x) dx et
0
Z
Z 1
2
x
x
2dx et
dx.
2
2
x −1
0 x −1
Z
Z 1
2
x
x
3dx
et
dx.
2 − 1)3
(x2 − 1)3
(x
Z
Z 3 0
ln x
ln x
4- (
) dx et
(
) dx.
x
xZ
1
Z
1
p
p
5 - (2x x2 + 1) dx et
(2x x2 + 1) dx.
0
Exercice 3
Dans cet exercice, on utilisera la technique d’intégration par parties qui découle de la formule
de dérivation d’un produit :
Z
Z
udv = uv − vdu, où dv représente v 0 dx et du représente u0 dx.
On indiquera systématiquement la fonction qui joue le rôle de u et celle qui joue le rôle de v 0 .
Calculer les primitives et intégrales ci-dessous :
Z
Z π
3
x sin x dx.
1x sin x dx et
Z
Z 20
2xex dx et
xex dx.
−1
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25
Z
Z
3
x ln x dx et
x2 ln x dx.
1
Z
Z 3
ln x dx.
4ln x dx et
1 Z
Z
1
5ex sin x dx et
ex sin x dx.
3-
2
0
Exercice 4
Calculer en utilisant les propriétés √
des fonctions mises en jeu :
Z 1
Z 2+2π
Z 2π
x|x|
cos x dx.
sin x , dx et √
dx,
2
−1 x + 12
2
0
Exercice 5
Soit I la fonction définie sur R par I(t) = sin(ωt) où ω est une constante réelle. Après avoir
déterminé la période T de la fonction I, calculer, en fonction de ω, l’intégrale de cette fonction
sur l’intervalle [0, T /2] puis sur l’intervalle [0, T ].
Exercice 6
Calculer les intégrales définies suivantes :
Z b
ecu du où (a, b, c) ∈ R3 et c 6= 0.
1Za b
dω
2où (a, b, c) ∈ R3 et c 6∈ [a, b].
ω
−
c
Za 1
2y
3dy.
1
+
y2
0
Z e2
3
4(t ln t − ) dt (où e désigne la base du logarithme népérien).
t
1
Exercice 7
Dans cet exercice,
on devra utiliser la technique de changement de variable dont voici un exemple.
Z
√
x dx
√
Calculons
, en posant t = x + 1. Cela équivaut à t2 = x + 1, d’où dx = 2tdt. On en
x+1
déduit :
Z
Z
t3
x dx
√
= 2 (t2 − 1) dt = 2( − t) + c, où c ∈ R.
3
x+1
Z 3
√
x dx
√
Calculons maintenant
. On pose toujours t = x + 1, ce qui équivaut à t2 = x + 1,
x+1
0
d’où dx = 2tdt. Mais on doit exprimer les bornes x = 0 et x = 3 en fonction de la nouvelle
variable. Pour x = 0, on calcule t = 1 et pour x = 3, on calcule t = 2. On en déduit :
Z
0
3
x dx
√
=2
x+1
Z
2
(t2 − 1) dt = 2[
1
t3
8
− t]21 = −
3
3
Il faut retenir que, quand on fait un changement de variable dans une intégrale comme dans une
primitive, on doit effectuer le changement de variable dans la fonction à intégrer et aussi dans
l’élément différentiel. Quand on calcule une primitive, on donne en général le résultat par rapport à la variable d’origine. Dans le cas d’une intégrale, on ne revient bien sûr pas à la variable
d’origine, mais il ne faut pas oublier de modifier les bornes en accord avec la nouvelle variable.
a) Remarquer qu’on peut traiter les exemples de l’exercice 2 par une méthode de changement
de variable. Traiter quelques cas.
b) Calculer les primitives et intégrales ci-dessous, en utilisant le changement de variable indiqué :
Z
Z 2 2
x2 dx
x dx
1et
, où a ∈ R+∗ , en posant t = x3 .
6
6
6
6
a −x
1 a −x
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26
Réponses :
Z
2-
sin x + cos x
dx et
3 + sin 2x
π
2
Z
1
a3 + x3
1
9
ln
et 2 ln .
3
3
3
a
a −x
6a
7
sin x + cos x
dx, en posant t = sin x − cos x.
3 + sin 2x
1
1 2 + sin x − cos x
et ln 3.
Réponses : ln
4 2 − sin x + cos x
4
π
4
ExerciceZ 8x
Z
2
cos tdt et J =
Soit I =
x
sin2 tdt. Calculer I + J et I − J puis en déduire les valeurs de I
0
0
et de J.
Mettre ces résultats en liaison avec ceux de l’exercice 4 page 17.
ExerciceZ 9Π
4
Soit I =
sin x
dx et J =
cos
x
+ sin x
0
les valeurs de I et de J.
Z
0
Π
4
cos x
dx. Calculer I + J et I − J puis en déduire
cos x + sin x
Exemples d’utilisation
1 - Mesure de l’aire comprise entre deux courbes :
Exercice 10
1 - Soit f et g les fonctions de de la variable réelle x telles que f (x) = x − ln x et g(x) = sin x.
Calculer l’aire comprise entre les coubes représentatives de f et g, limitée à gauche et à droite
par les droites verticales d’équation x = 1 et x = 3 (cf. figure).
2 - Calculer, après l’avoir représentée, l’aire comprise entre les courbes représentatives des fonctions x2 et x3 entre les valeurs 0 et 2 de la variable x.
^y
x-ln(x)
A
sin(x)
1
2
>
3 x
Exercice 11
Soit C la courbe représentative de y = x2 − 4x. Représenter la surface comprise entre l’axe Oy,
C, l’axe 0x et la droite d’ équation x = x0 , puis calculer son aire lorsque :
a) x0 = 4 ;
b) x0 = 6.
32
64
Réponses : a)
; b)
.
3
3
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27
Exercice 12
Z
R
1 - Expliquer pourquoi l’intégrale A =
p
R2 − x2 dx représente l’aire du demi-disque de
−R
centre (0, 0) et de rayon R et évaluer A en fonction de R.
2 - Calculer A enZutilisant le changement de variable x = R cos ϕ. (Indication : on montrera au
π
R2 sin2 φ dφ).
passage que A =
0
2 - Calcul de la longueur d’une courbe :
L’intégrale permet aussi le calcul de la longueur d’une courbe, et non le calcul d’une
surface. En voici un exemple.
Si l’on considère le cercle de rayon R, et si l’on note φ l’angle entre (0x) et (OM ) on a :
y
_
La mesure, en radians, de l’arc AM est Rdφ.
Pour calculer la longueur p du cercle (périmètre
du disque), on pose :
Z 2π
p=
R dφ et l’on retrouve l’expression du
M
R dφ
0
0
A x
périmètre : p = 2πR.
B- Intégrales doubles
Nous nous proposons d’étendre la notion d’intégrale de Riemann à certaines fonctions numériques
définies sur une partie de R2 (et plus tard de R3 ). Ces intégrales sont notamment utilisées pour
calculer des surfaces et des volumes.
Nous nous restreindrons ici à l’étude de l’intégrale d’une fonction continue sur un rectangle : on
appelle rectangle fermé ∆ de R2 le produit des segments [a, b] × [c, d].
Exercice 13 Dessiner dans le plan le rectangle [0, 1] × [0, 1], puis le rectangle [−1, 2] × [−2, 3].
Exercice 14 Calculer :
y=1 Z x=1
Z
1. I1 =
y=0
Z
2. J1 =
Z
(3x y + x) dx dy, puis I2 =
x=0
y=3 Z x=2
y=−2
2 2
x=1 Z y=1
x=0
2 2
Z
(3x y + x) dx dy, puis J2 =
x=−1
(3x2 y 2 + x) dx dy.
y=0
x=2 Z y=3
x=−1
(3x2 y 2 + x) dx dy.
y=−2
Dans la suite, f désigne une fonction à deux variables définie sur un rectangle ∆ :
f : (x, y) 7→ f (x, y).
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28
Théorème 1 Si toutes les intégrales écrites ci-dessous existent, alors on a :
Z d Z
c
Z
b
f (x, y)dx dy =
Z b Z
a
a
d
f (x, y)dy dx.
c
b
f (x, y)dx est une intégrale définie au sens vu en début de chapitre, qui
On remarquera que
a
dépend de y.
Définition 8 On appelle intégrale double de la fonction f sur ∆ la valeur commune des intégrales
Z b Z
a
d
f (x, y)dy dx et
Z d Z
c
c
b
f (x, y)dx dy.
a
ZZ
f (x, y)dxdy.
On la note
∆
Exercice 15
Z Z
1. Soit D = {(x, y) ∈ R2 , | x |< 1 et y ∈ [0, 1]}. Calculer
ex−y dxdy.
D
Z Z
2. Soit D = [0, 1] × [0, 1]. Calculer
D
π
3. Soit D = [0, ] × [0, 1]. Calculer
2
Z Z
dxdy
.
(1 + x + y)2
(y 2 cos x + 1)dxdy.
D
Z Z
| x − y | dxdy.
4. Soit D = [0, 1] × [0, 1], calculer
D
Exercice 16
π
1. Soit D = {(r, θ) ∈ R2 , 0 < r < 1 et θ ∈ [0, ]}. Représenter D sachant qu’il s’agit de
2
Z Z
3
coordonnées polaires. Calculer
r sin θ cos θ drdθ.
D
√
1
π π
2. Soit D = {(r, θ) ∈ R2 , √ < r < 3 et θ ∈ [− , ]}. Représenter D sachant qu’il s’agit de
2 2
2 Z Z
coordonnées polaires. Calculer
r3 drdθ.
D
Attention, les physiciens notent φ l’angle polaire dans le plan (au lieu de θ). Nous
utiliserons cette notation dans la suite.
Exemples d’utilisation des intégrales doubles
1 - Calcul de volumes
Comme l’intégrale simple permet de calculer l’aire sous une courbe, l’intégrale double permet de
calculer le volume sous une surface. A titre d’exemple, calculons le volume V du parallélépipède
rectangle représenté ci-après.
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29
z
z=h
y
m
L
x
Le parallélépipède rectangle est le volume situé sous la surface définie par l’équation z = h,
c’est-à-dire par la surface représentative de la fonction de deux variables f (x, y) = h, et limité
par les surfaces x = L et y = m. On a alors :
Z Z
V =
h dx dy où ∆ = [0, L] × [0, m].
∆
On remarqueraZque dans
cette formule
Z mdx dy représente la surface élémentaire.
m Z L
hL dy = hLm.
h dx dy =
On a donc : =
0
0
0
Exercice 17
Z Z
1. Que calcule-t-on avec l’intégrale double
h dx dy où D est le disque de centre (0, 0) et de
D
rayon R ?
2. Calculer cette intégrale en utilisant les coordonnées cylindriques (ρ, φ, z), sachant que la surface élémentaire est alors ρdρdφ,.
2 - Calculs d’aires
Lorsqu’on
Z Z peut écrire la variation ds de la surface en fonction de deux paramètres, on a :
S=
ds.
Exemple : calcul de l’aire d’un disque de rayon R
Dans ce cas, l’élément ds vaut rdrdφ. L’aire du disque vaut :
Z R Z 2π
r dφ dr.
0
0
La fonction à intégrer ne dépend que de la variable r, donc :
Z R Z 2π
Z R h i
h r 2 iR
2π
r dφ dr =
r φ
dr = 2π
= πR2 .
2 0
0
0
0
0
Z
On peut remarquer que l’aire dS =
dessinée ci-dessus.
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2π
rdφ dr = 2πr dr est l’aire de la couronne de largeur dr,
0
30
Exercice 18
Déterminer la mesure de la surface latérale S d’un cylindre d’axe Oz, de rayon r et de hauteur
h. (Indication : on expliquera que l’élément de surface dS = rdφdz.)
z
r
r dφ
dz O
h
y
x
Dans les exemples traités ci-dessus, ainsi que dans l’exercice 2, on remarque que la fonction à
intégrer f (r, φ), s’écrit : f (r, φ) = f1 (r)f2 (φ). Dans ce cas, si on intègre sur un rectangle ∆ tel
que ∆ = [a, b] × [c, d], on a :
ZZ
f (r, φ)drdφ =
∆
Z
b
f1 (r)dr
Z
a
d
f2 (φ)dφ .
c
C- Intégrales triples
Pour définir les intégrales triples, on procède comme précédemment, avec une fonction à trois
variables x, y et z appartenant à un “rectangle” de R3 (en fait un parallélépipède rectangle) de
la forme [a, b] × [c, d] × [e, f ].
Une intégrale triple permet de calculer un volumeZ lorsqu’on
peut écrire la variation dV du voZZ
lume en fonction de trois paramètres, on a : S =
dV .
Ainsi, on peut retrouver le volume d’un cylindre calculé plus haut avec une intégrale double, en
posant dV = rdrdφdz (voir dessin précédent), et on a alors :
Z
h Z 2π
Z
V =
R
Z
r dr dφ dh =
0
0
0
h
πR2 dh = πR2 h
0
Exercice 19
Calculer la surface et le volume d’une sphère de rayon R, sachant que l’élément de surface s’écrit
ds = R2 sin θ dθdφ et l’élément de volume dv = r2 dr sin θ dθdφ.
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31
Séances 16
Calcul approché et différentielle
Il s’agit ici de définir la notion de différentielle et de l’utiliser pour approcher les valeurs
prises par une fonction.
A- À une variable
Revenons aux fonctions réelles d’une variable réelle. On peut interpréter la dérivée de la
fonction x 7→ f (x) en x0 comme étant un nombre f 0 (x0 ) tel que le rapport
|f (x0 + h) − f (x0 ) − f 0 (x0 )h|
|h|
tende vers 0 lorsque h tend aussi vers 0. Cela veut dire que le numérateur tend vers 0 plus vite
que h.
Autrement dit, si l’on remplace f (x0 + h) par f (x0 ), l’erreur commise est égale à ∆fx0 =
f (x0 + h) − f (x0 ). On peut l’estimer en fonction de l’écart ∆x = h par la formule :
∆fx0 ≈ f 0 (x0 )∆x = f 0 (x0 )h.
Définition 9 La fonction réelle définie dans R par h 7→ f 0 (x0 )h est appelée différentielle de f
au point x0 . On la note dfx0 et on a, pour tout h réel :
dfx0 (h) = f 0 (x0 )h.
Si l’on introduit la notation (abusive) dx(h) = h, l’égalité précédente se transforme en égalité
de fonctions dfx0 = f 0 (x0 )dx.
Exemple Soit la fonction f définie sur R par f (t) = at2 , où a est une constante réelle.
En x0 = 1, f 0 (x0 ) = 2a, on écrira que :
f (1 + h) − f (1) ≈ 2ha, on encore que a(1 + h)2 ≈ a + 2ah.
La fonction h 7→ 2h est la différentielle de f en 1.
Exercice 1
Soit la fonction f définie sur R par f (t) = sin t. Déterminer la différentielle de f au point x0 = 0.
Donner une approximation de sin(h) en fonction de h.
B- À deux variables
Définition 10 Une fonction (x, y) 7→ f (x, y) est différentiable en (x0 , y0 ) si les dérivées par∂f (x0 , y0 )
∂f (x0 , y0 )
et β =
existent et vérifient la condition :
tielles α =
∂x
∂y
lim
h→0
k→0
|f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) − αh − βk|
= 0.
|h| + |k|
La fonction, notée df(x0 ,y0 ) et définie par
(h, k) 7→ df(x0 ,y0 ) (h, k) =
∂f (x0 , y0 )
∂f (x0 , y0 )
h+
k
∂x
∂y
est appelée différentielle de f en (x0 , y0 ).
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32
Exemple
La différentielle en (0, 0) de la fonction (x, y) 7→ f (x, y) = x3 y + y 2 est définie par df(0,0) (h, k) =
0, et en (2, −1) par df(2,−1) (h, k) = −12h + 6k.
La différentielle de f en (x0 , y0 ) qui, rappelons-le est une fonction, est souvent notée :
df(x0 ,y0 ) =
∂f (x0 , y0 )
∂f (x0 , y0 )
dx +
dy
∂x
∂y
où dx et dy sont les applications définies par dx(h, k) = h et dy(h, k) = k.
Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguı̈té sur le point (x0 , y0 ), la différentielle donne lieu à la formule
d’approximation suivante :
∆f ≈
∂f
∂f
∆x +
∆y.
∂x
∂y
Exercice 2
Calculer la différentielle de la fonction (x, y) 7→ xy.
Appliquer le résultat à la formule (de physique) U = RI.
3- À trois variables
Exercice 3
Écrire la différentielle d’une fonction de trois variables réelles.
Grâce à la notion de différentielle, nous pouvons rigoureusement approcher les valeurs prises
par une fonction au voisinage d’un point (x0 , y0 , z0 ). Notons ∆x, ∆y et ∆z, les écarts subis
respectivement par les variables x, y et z en (x0 , y0 , z0 ). Alors l’écart
∆f(x0 ,y0 ,z0 ) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z) − f (x0 , y0 , z0 )
subi par la fonction f au point (x0 , y0 , z0 ) est approché par
∆f(x0 ,y0 ,z0 ) ≈
∂f
∂f
∂f
(x0 , y0 , z0 )∆x +
(x0 , y0 , z0 )∆y +
(x0 , y0 , z0 )∆z
∂x
∂y
∂z
ou en abrégé,
∆f ≈
∂f
∂f
∂f
∆x +
∆y +
∆z.
∂x
∂y
∂z
Exercice 4
Pour un nombre fixe n de moles d’un gaz, on définit la fonction
(P, V, T ) 7→ G(P, V, T )
par G(P, V, T ) = P V − nRT où R est la constante des gaz parfaits ( R = 8, 314472JK −1 mol−1 ),
V , le volume qu’il occupe, T , sa température et P , sa pression. On sait que pour le modèle de
gaz parfait, cette fonction est constamment nulle.
1. Calculer la différentielle de G en un point (P0 , V0 , T0 ).
2. Que devient cette différentielle si l’on suppose que
(a) T est constante,
(b) P est constante,
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33
(c) ou V est constant ?
3. On suppose que le gaz est parfait et n = 4 moles.
(a) Exprimer le volume V en fonction de la température T et de la pression P .
(b) Calculer la variation de V , notée ∆V , en fonction de la variation de la température
∆T = 0, 01 K et de la pression ∆P = 0, 05 Pa, lorsque T = 300 K et P = 5.105
Pa.
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34
Séances 17 et 18
Récréation : Sur les systèmes
d’inéquations linéaires
Vous aurez fait avant cette séance les exercices donnés dans l’Annexe 2.
Un problème de notes
(d’après le manuel “Mathématiques seconde avec images logicielles ”-CREEM-Éditeur Hachette
1991.)
Un examen comporte deux épreuves : une de mathématiques et une de français, notées sur 20
et en nombres entiers. Pour étre reçu, il faut satisfaire aux conditions suivantes :
– la somme de la note de français affectée du coefficient 2, et de la note de mathématiques
affectée du coefficient 5 doit être supérieure ou égale à 60,
– la somme de la note de français affectée du coefficient 2, et de la note de mathématiques
affectée du coefficient 1 doit être supérieure ou égale à 30,
– une note de français inférieure à 7 est éliminatoire,
– une note de mathématiques inférieure à 5 est éliminatoire.
1. Représenter graphiquement l’ensemble des couples de notes permettant d’être reçu.
2. Michèle est sûre d’avoir 9 en français. Combien lui faut-il en mathématiques pour être
reçue ?
3. Jacques est sûr d’avoir 7 en mathématiques. Combien lui faut-il en français pour être reçu ?
4. Jean estime que la somme de ses notes est au moins égale à 25. Est-il sûr d’être reçu ?
5. Évariste estime que la somme de ses deux notes vaut le nombre d’heures passées en
révisions. Quel est le temps minimal qu’il doit passer à réviser s’il veut être reçu ?
Voyage, voyage,...
(d’après le manuel “Mathématiques troisième” programme 1978- IREM de Strasbourg-Éditeur
Istra.)
Un voilier, l’Euler, quitte le port de Papeete le 28 février 2014 à 13h, vent arrière en direction
de Huatine située à 80 miles de Papeete. Sa vitesse moyenne est de 5 noeuds (noeud = 1 mile
marin à l’heure).
Le Téméhani quitte Papeete le même jour à 19h dans la même direction avec une vitesse de 10
noeuds.
1. Représenter sur un même graphique, la distance parcourue en fonction du temps de chaque
bateau. Prendre une origine et une échelle judicieuses ! ! ! !
2. En supposant que les conditions de navigation soient stables, quel jour et à quelle heure
le Téméhani dépassera l’Euler ? À quelle distance de Huahine aura lieu ce dépassement ?
3. À quelle vitesse, au moins, devrait naviguer le Téméhani pour dépasser l’Euler avant
minuit ?
4. Quel jour et à quelle heure, un bateau rapide d’une vitesse moyenne de 18 noeuds devra-t-il
quitter Huahine en direction de Papeee pour croiser le Téméhani (allant à 10 noeuds) et
l’Euler en même temps.
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35
Production d’une usine
L’entreprise Piecinox fabrique des pièces en inox. Ces pièces de deux types A et B sont fabriquées
par lot dans un atelier où sont rassemblées trois machines : une pour le découpage de l’inox, une
pour l’emboutissage et une pour le polissage et les finitions. Chaque machine fonctionne au plus
120 heures par mois. Les caractéristiques des machines sont résumées dans le tableau ci-dessous.
Coût de l’heure machine
Lot A
Lot B
Découpe
2 euros
1h
1, 5 h
Emboutissage
3 euros
0, 5h
1h
Polissage et finition
4 euros
2h
1, 25h
Coût de l’inox utilisé
5 euros
6, 8 euros
Prix de vente
20 euros
21 euros
On suppose que toute la production mensuelle est vendue. On note x le nombre de lots A et y
le nombre de lots de B fabriqués en un mois.
1. Écrire les inéquations qui traduisent les contraintes d’utilisation des trois machines pendant
un mois.
2. Dans un repère orthornormé, représenter l’ensemble D des points (x, y) vérifiant le système
de contraintes précédentes.
3. On note b le bénéfice de l’entreprise. Montrer que b = 3, 5 x + 3, 2 y et déterminer graphiquement le bénéfice maximal.
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36
Annexe 1
Dérivées
Dérivée d’une fonction d’une variable (rappels)
Définition 11 Soit I un intervalle ouvert. La fonction f : I → R est dérivable en x0 , x0 ∈ I
f (x0 + h) − f (x0 )
si le rapport
admet une limite lorsque h tend vers 0.
h
df
Cette limite, quand elle existe, est notée f 0 (x0 ) ou
(x0 ).
dx
La fonction f est dérivable si elle l’est en tout point x de I. On notera alors f 0 la fonction
dérivée x 7→ f 0 (x) définie sur I.
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
sous la forme
et on
h
x − x0
considère alors la limite quand x tend vers x0 .
Remarque On écrit aussi le rapport
En sciences expérimentales, l’accroissement h subi par la
variable x de f est souvent noté ∆x.
Exercice 1
Utiliser la définition pour calculer les dérivées des fonctions f et g définies, pour tout x réel, par :
f (x) = x2 − 3x + 2
et
g(x) = sin x.
Exercice 2
Montrer que la fonction continue sur R, x 7→ |x| n’est pas dérivable en x0 = 0.
Théorème (rappel de quelques règles de calcul)
Soient f , u et v trois fonctions “convenablement” définies et λ un nombre réel. Alors :
(u + v)0 (x) = u0 (x) + v 0 (x); (uv)0 (x) = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x);
(λf )0 (x) = λf 0 (x);
u 0
v
(x) =
u0 (x)v(x) − u(x)v 0 (x)
;
(v(x))2
(f ◦ u)0 (x) = f 0 (u(x)).u0 (x).
Application : calcul de la dérivée logarithmique d’une fonction
On appelle dérivée logarithmique d’une fonction u, la fonction dérivée du logarithme de u soit :
(ln ◦ u)0 (x) =
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37
u0 (x)
.
u(x)
Tableau des principales formules de dérivation
Dans l’utilisation, il faut tenir compte du domaine de définition de la fonction et de l’ensemble
où elle est dérivable.
Fonction
Dérivée
1
x
√
x
−
Fonction
1
u(x)
p
u(x)
1
x2
1
√
2 x
Dérivée
−
u0 (x)
u2 (x)
u0 (x)
p
2 u(x)
xα (α ∈ R)
αxα−1
[u(x)]α (α ∈ R)
αu0 (x)[u(x)]α−1
cos x
− sin x
cos(u(x))
−u0 (x) sin(u(x))
sin x
cos x
sin(u(x))
u0 (x) cos(u(x))
tan x
1 + tan2 x =
1
cos2 x
cot x
−1 − cot2 x = −
ex
ex
eu(x)
u0 (x)eu(x)
ln x
1
x
ln(u(x))
u0 (x)
u(x)
u(ex )
ex u0 (ex )
u(ln(x))
1 0
u (ln(x))
x
1
sin2 x
Signification géométrique
Rappelons que l’équation de la droite qui
passe par deux points distincts (x1 , f (x1 )) et
(x2 , f (x2 )) est
y = f (x1 ) +
f (x2 ) − f (x1 )
(x − x1 ).
x2 − x1
En posant x1 = a et x2 = a + h, l’équation de
la droite Dh qui passe par les points (a, f (a)) et
(a + h, f (a + h)) est donc :
y = f (a) +
f (a + h) − f (a)
(x − a).
h
On remarque alors que lorsque h tend vers 0, la position limite de la droite sécante au graphe
Dh est la tangente à ce graphe au point (a, f (a)), d’équation :
y = f (a) + f 0 (a)(x − a).
On obtient ainsi l’équation de la droite, tangente à une représentation graphique d’une fonction
en un point donné (sous la condition de dérivabilité).
Exercice 3
Compléter le tableau suivant :
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38
Expression f dépendant de x
b sont des constantes réelles)
(a et
Domaine maximal Df où f a un sens
1.
Df = R
2.
1 x
x4
− + x2 −
4 3
2
3
3 2
f (x) = 2x + 7(2x )
2.
Df = R
3.
f (x) = 2(x + 7x2 )3
3.
Df = R
4.
4.
Df = R
5.
Df = R∗
8.
f (x) = 2x3 (1 + 7x)3
π
f (x) = + ln 2
x
2x + 3
f (x) = 2
x − 5x + 5
4
11
−
f (x) = −
2
2(x − 2)
x−2
p
f (x) = 2 − x2
9.
f (x) = 3x 3 − 2x 2 + x−3
1.
5.
6.
7.
f (x) =
6.
7.
8.
√
√
5+ 5 5− 5
Df = R \ {
,
}
2
2
Df = R \ {2}
√ √
Df = [− 2, 2]
10.
Df = R+∗
√ √
Df =] − 2, 2[
11.
Df = R
12.
14.
Df = R+ \ {1}
π
Df = R \ { + kπ ; k ∈ Z}
4
Df = R
15.
Df = R+∗
16.
Df = R∗
17.
Df = R
ln x
1
+ 3 ln x −
x
x
x
f (x) = e cos x
3
2x + 5
f (x) =
3
f (x) = (2a + 3bx)2 , (a, b) ∈ R2
p
f (x) = 1 − x2
18.
Df = R+∗
19.
Df = R
20.
Df = R
21.
Df = R
22.
Df = [−1, 1]
23.
Df = R
24.
f (x) = (3 − 2 sin x)5
p
3
f (x) = 16 − 2x3
24.
Df = R
25.
f (x) =
1
1
tan3 x + tan(5x)
3
5
f (x) = 2x + 5 cos3 x
25.
Df = R \ {
26.
Df = R
27.
Df = R \ {±
28.
Df = R+
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
26.
27.
28.
29.
30.
2
5
ax6 + b
f (x) = √
2√− x2
2 3 2
f (x) = x x
√
1+ x
√
f (x) =
1− x
sin x + cos x
f (x) =
sin x − cos x
f (x) = 2x sin x − (x2 + 5) cos x
x3
f (x) = x3 ln x −
3
ex
f (x) = 2
x
f (x) = (x2 + 3x − 5)ex
f (x) =
1
f (x) = −
6(1 − 2 cos x)2
√
f (x) = xex + x
√
x
f (x) = sin(3x) + cos + tan x
5
f (x) = ln(sin x)
OMPS-Faculté des Sciences et Technique-Limoges
9.
13.
29.
30.
π
π
+ k ; k ∈ Z}
10
5
π
+ 2kπ ; k ∈ Z}
3
1
Df = R+ \ {(k 2 + k + )π 2 ; k ∈ N∗ }
4
Df = ∪k∈Z ]2kπ, (2k + 1)π[
39
Dérivée de la fonction
f
Lien entre la dérivée et les variations d’une fonction
Soit f : [a, b] → R une fonction dérivable sur l’intervalle ]a, b[ et continue
sur [a, b].
1. Si f 0 (x) > 0 pour tout x ∈ ]a, b[, alors f est strictement croissante
sur [a, b].
2. Si f 0 (x) < 0 pour tout x ∈ ]a, b[, alors f est strictement
décroissante sur [a, b].
3. Si f 0 (x) = 0 pour tout x ∈ ]a, b[, alors f est constante sur [a, b].
Exercice 4
1. Parmi les fonctions définies sur R par f (x) = αx3 + βx + γ (où (α, β, γ) ∈ R3 ), avec
α 6= 0), caractériser celles qui sont croissantes sur R.
2. Étudier les variations de la fonction f : ]0, +∞[→ R définie par
f (x) = x ln x.
3. On appelle partie entière d’un nombre réel x, le plus grand entier relatif, noté E(x),
5
inférieur ou égal à x. Ainsi, E( ) = 1, E(6) = 6 et E(−5, 78) = −6.
3
π
Calculer E(cos( )), E(π) et E(− ln(3)).
4
Soit f la fonction définie sur R \ Z par f (x) = E(x). Calculer f 0 (x). La fonction f est-elle
constante ?
Remarque
Si la fonction f : [a, b] → R dérivable sur ]a, b[, admet un extremum local en x0 dans l’intervalle ]a, b[, alors f 0 (x0 ) = 0.
Réciproquement, si la fonction dérivée f 0 s’annule en x0 , en changeant de signe, lorsque x varie
de a à b, alors la fonction f admet en x0 un extremum local (maximum si f 0 est positive et
ensuite négative, minimum dans le deuxième cas).
En revanche, si la dérivée f 0 s’annule en x0 , sans changer de signe, alors la fonction f n’admet
pas d’extremum en x0 . En fait, dans ce cas, (x0 , f (x0 )) est un point d’inflexion et la tangente
“traverse” la représentation graphique en ce point.
Cette remarque suggère une méthode de recherche des extrema locaux pour les fonctions dérivables.
Recherche et étude de la nature des extrema d’une fonction dérivable
1. On résout l’équation f 0 (x) = 0.
2. Pour chaque solution de l’équation précédente, on étudie la condition du changement de signe.
Exercice 5
Étudier l’existence et la nature des extrema de la fonction f : R \ {−1} → R définie par
f (x) =
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x2 − x − 1
.
x+1
40
Solutions des exercices
Exercice 1
f (x0 + h) − f (x0 )
Soit x0 ∈ R et h ∈ R∗ ,
= 2x0 + h − 3 ; quantité qui tend vers 2x0 − 3 lorsque
h
h tend vers 0, et donc :
∀x0 ∈ R , f 0 (x0 ) = 2x0 − 3.
g(x0 + h) − g(x0 )
sin (x0 + h) − sin x0
=
.
h
h
Or ( cf. “ minimum vital ”)
p+q
g(x0 + h) − g(x0 )
p−q
cos
. Donc :
=
sin p − sin q = 2 sin
2
2
h
sin u
2
h
D’une part lim sin = lim
= 1, d’autre part lim cos (x0 +
h→0 h
h→0
2 u→0 u
et donc :
∀x0 ∈ R , g 0 (x0 ) = cos x0
Soit x0 ∈ R et h ∈ R,
2
h
h
sin cos (x0 + ).
h
2
2
h
) = cos x0 ,
2
Exercice 2
Pour x0 = 0 et h 6= 0, on a :
f (x0 + h) − f (x0 )
|h|
=
.
h
h
|h|
|h|
Si h > 0,
= 1 et si h < 0,
= −1.
h
h
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
Donc lim
6= lim
.
+
−
h
h
h→0
h→0
Et par conséquent, la fonction f : x 7→ |x| n’est pas dérivable en x0 = 0.
Exercice 3
1
3
1.
∀x ∈ R, f 0 (x) = −2x3 + 2x −
2.
∀x ∈ R, f 0 (x) = 6x2 + 168x5
3.
∀x ∈ R, f 0 (x) = 6(1 + 14x)(x + 7x2 )2
4.
∀x ∈ R, f 0 (x) = 6x2 (1 + 14x)(1 + 7x)2
π
∀x ∈ R∗ , f 0 (x) = − 2
x
2 − 6x + 25
−2x
∀x ∈ Df , f 0 (x) =
(x2 − 5x + 5)2
4x + 3
∀x ∈ Df , f 0 (x) =
(x − 2)3
√ √
−x
∀x ∈ Df \ {− 2, 2}, f 0 (x) = √
2 − x2
5.
6.
7.
8.
9.
∀x ∈ Df , f 0 (x) = 2x
−1
3
−5ax7 + 12ax5 + bx
10.
∀x ∈ Df , f 0 (x) =
11.
8 5
∀x ∈ Df , f 0 (x) = x 3
3
12.
13.
3
− 5x 2 − 3x−4
3
(2 − x2 ) 2
1
√
x(1 − x)2
−2
−2
∀x ∈ Df , f 0 (x) =
=
(sin x − cos x)2
1 − sin 2x
∀x ∈ Df \ {0}, f 0 (x) = √
14.
∀x ∈ Df , f 0 (x) = (7 + x2 ) sin x
15.
∀x ∈ Df , f 0 (x) = 3x2 ln x
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41
19.
1
2
ex (x − 2)
−
)
=
x2 x3
x3
0
2
x
∀x ∈ Df , f (x) = (x + 5x − 2)e
3x + ln x − 2
∀x ∈ Df , f 0 (x) =
x2
0
x
∀x ∈ Df , f (x) = e (cos x − sin x)
20.
∀x ∈ Df , f 0 (x) =
16.
17.
18.
21.
22.
23.
∀x ∈ Df , f 0 (x) = ex (
2(2x + 5)2
9
∀x ∈ Df , f 0 (x) = 6b(2a + 3bx)
−x
∀x ∈ Df \ {−1, 1}, f 0 (x) = √
1 − x2
∀x ∈ Df , f 0 (x) = −10 cos x(3 − 2 sin x)4
24.
−2x2
∀x ∈ Df \ {2}, f 0 (x) = √
( 3 16 − 2x3 )2
25.
∀x ∈ Df , f 0 (x) = tan4 x + tan2 x + tan2 5x + 1
26.
∀x ∈ Df , f 0 (x) = 2 − 15 cos2 x sin x
2 sin x
∀x ∈ Df , f 0 (x) =
3(1 − 2 cos x)3
ex + xex + 1
∀x ∈ Df \ {0}, f 0 (x) = p
2 x(ex + 1)
27.
28.
29.
∀x ∈ Df ∩ R∗ , f 0 (x) = 3 cos 3x −
30.
∀x ∈ Df , f 0 (x) =
√
1
x
1 + tan2 ( x)
√
sin ( ) +
5
5
2 x
cos x
= cot x
sin x
Exercice 4
1. Puisque les fonctions f sont dérivables, elles sont croissantes si et seulement si leurs dérivées
sont positives, c’est-à-dire si, pour tout x ∈ R, 3αx2 + β > 0. Cette quantité est un trinôme du
second degré, il sera donc positif pour tout x ∈ R si et seulement si α > 0 et β ≥ 0 ( si β < 0,
le trinôme a deux racines et il change de signe sur R).
2. Soit x ∈]0, +∞[. On a : f 0 (x) = 1 + ln x.
1
1
Or : 1 + ln x > 0 ⇐⇒ ln x > −1 ⇐⇒ x > . La fonction f est donc décroissante sur ]0, ] et
e
e
1
croissante sur [ , +∞[.
e
π
3. On a : E(cos ) = 0, E(π) = 3 et E(− ln 3) = −2.
4
Soit n ∈ Z et soit x ∈ [n, n + 1[, f 0 (x) = 0. La fonction f est constante sur chaque intervalle de
la forme [n, n + 1[.
Exercice 5
x2 + 2x
. La fonction f 0 s’annule en 0 et
(x + 1)2
−2 en changeant de signe. Par conséquent, f présente un maximum local en x = −2 de valeur
5 et un minimum local en x = 0 de valeur −1.
La fonction f est dérivable sur R \ {−1} et f 0 (x) =
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42
Annexe 2
Inéquations - systèmes d’inéquations
A- Préliminaires : manipuler des inégalités
Propriétés :
Pour tous réels a, b, c, d et m , on a :
1. a ≤ b ⇐⇒ a − b ≤ 0
2. a ≥ b ⇐⇒ b ≤ a ⇐⇒ b − a ≤ 0
3. a ≤ b ⇐⇒ a + m ≤ b + m
4. si m > 0, alors : a ≤ b ⇐⇒ am ≤ bm
5. si m < 0, alors : a ≤ b ⇐⇒ am ≥ bm
6. si a ≤ b et c ≤ d alors : a + c ≤ b + d
7. si a et b sont tous les deux positifs, alors : a ≤ b ⇐⇒ a2 ≤ b2
8. si a et b sont tous les deux négatifs, alors : a ≤ b ⇐⇒ a2 ≥ b2
Exemples
Soit a un nombre réel tel que : −3 ≤ a ≤ 4. On a alors :
−28 ≤ −7a ≤ 21, a2 ≤ 16, −28 ≤ a2 − 7a ≤ 37
Soit c un nombre réel tel que : −2 ≤ c ≤ 1. On a alors :
0 ≤ 5c2 ≤ 20 et −7 ≤ 5c2 − 7c ≤ 34.
Exercices
A-1. Soit b un nombre réel tel que : −1 ≤ b ≤ 5. Donner un encadrement pour −4b2 , b2 − 3b.
1
5
A-2. Soit d un nombre réel tel que : − ≤ d ≤ . Donner un encadrement pour
2
3
1
1
2
− d2 , d2 − d.
3
2
3
A-3. Généraliser les deux dernières propriétés données ci-dessus aux puissances n-ièmes, en
faisant intervenir la représentation graphique des fonctions puissances x 7→ xn .
B- Inéquations à une inconnue
• Inéquations linéaires à une inconnue
Dans R, toutes les inéquations linéaires à une inconnue se ramènent à la forme fondamentale :
(1) ax ≤ b où a et b sont deux nombres réels et x l’inconnue.
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43
Résoudre l’inéquation ax ≤ b, c’est trouver l’ensemble de tous les réels x tels que l’inégalité
ax ≤ b soit vraie. Un tel réel x est appelé une solution de l’inéquation (1). Soit S l’ensemble des
solutions de l’inéquation (1).
b
b
Si a > 0, ax ≤ b ⇐⇒ x ≤ . On a donc : S =] − ∞, ].
a
a
b
b
Si a < 0, ax ≤ b ⇐⇒ x ≥ . On a donc : S = [ , +∞[.
a
a
Si a = 0 et b ≥ 0, alors tout réel x est solution de (1). On a donc : S = R.
Si a = 0 et b < 0, alors aucun réel x n’est solution de (1). On a donc : S = ∅.
Exercices
B-1. Vérifier que l’inéquation 3(x − 4) ≤ 7x − (x + 5) est équivalente à l’inéquation −3x ≤ 7. En
déduire l’ensemble S de ses solutions et le représenter graphiquement.
7−x
4(x − 5)
≤ 7−
et représenter graphiquement l’ensemble
B-2. Résoudre dans R l’inéquation
−9
−9
de ses solutions.
B-3. Préciser les domaines où les inéquations ci-dessous ont un sens, les résoudre dans R et
représenter graphiquement l’ensemble de leurs solutions :
−2x + 1
−9
−x2 − 9
6
5
2.
<
x−5
x−5
9
7
>
3.
x−4
x−4
1.
7
−x2
≤
• Inéquations non linéaires à une inconnue
Pour résoudre les inéquations non linéaires à une inconnue, on utilise la règle du signe du trinôme.
On peut résoudre facilement des inéquations de degré supérieur ou égal à 2 si la partie polynomiale est un produit de facteurs du premier degré.
Exercices
B-4. Résoudre dans R chacune des inéquations ci-dessous :
1. x2 + 4x + 4 > 0
2. x2 + 4x + 1 > 0
3. (4x + 7)(−5x + 3) ≥ 0
4. (−4x + 3)(−7x − 12) ≥ 0
B-5. Résoudre dans R chacune des inéquations ci-dessous :
7x + 2
1.
<0
−3x + 10
−2x + 5
2.
≥0
−3x − 8
B-6. Résoudre dans R chacune des inéquations ci-dessous :
√
1. p5 − 4x > x + 4
2.
5x2 − 3x − 5 > 5 − x
√
√
√
3. x + 10 − x + 5 > x + 2
B-7. Résoudre dans R chacune des inéquations ci-dessous :
1. (−2x + 3)(7x − 3)(−5x + 8) ≥ 0
2. (−7x + 1)2 (−2x + 3)(7x − 3)(−5x + 8) < 0
3. (−2x + 3)(7x − 3)(−5x + 8)|x − 5| > 0
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44
Indications pour les exercices
Exercice A-1
Si −1 ≤ b ≤ 5 alors −100 ≤ −4b2 ≤ 0 , −15 ≤ b2 − 3b ≤ 28.
Exercice A-2
25
1
2
1
2
13
− ≤ − d2 ≤ 0, − ≤ d2 − ≤ .
27
3
3
2
3
18
Exercice A-3
Si n pair, propriétés analogues aux propriétés 7 et 8.
Si n impair : ∀(a, b) ∈ R2 , a ≤ b ⇐⇒ an ≤ bn .
Exercice B-1
7
x ∈ [− , +∞[.
3
Exercice B-2
x ∈ [−
50
, +∞[.
3
Exercice B-3
1. x ∈ [−3, +∞[.
2. x ∈] − ∞ , 5[.
3. x ∈] − ∞ , 4[.
Exercice B-4
1. x ∈ R \ {−2}. √
√
2. x ∈] − ∞ , −2 − 3] ∪ [−2 + 3 , +∞[.
7 3
3. x ∈ [− , ].
4 5
3
12
4.x ∈] − ∞ , − ] ∪ [ , +∞[.
7
4
Exercice B-5
2
10
1. x ∈] − ∞ , − [ ∪ ] , +∞[.
7
3
5
8
2. x ∈] − ∞, , − [ ∪[ , +∞[.
3
2
Exercice B-6
1. x ∈] − ∞ , −1[.
15
2. x ∈] − ∞ , − [ ∪ ]2 , +∞[.
4
3. x ∈ [−2, −1[.
Exercice B-7
3 3
8
1. x ∈ [ , ] ∪ [ , +∞[.
7 2
5
3 3 8
2. x ∈] − ∞ , [∪] , [.
7 2 5
3 3
8
3. x ∈] , [ ∪ ] , +∞[.
7 2
5
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45
Annexe 3 Document en partie extrait de la brochure “le B-A BA des maths pour une STSG”
édité par l’IREM de Clermont Ferrand.
Chapitre 10 : TRIGONOMETRIE
I Placer des points sur le cercle trigonométrique
On appelle cercle trigonométrique un cercle orienté de rayon 1. Son périmètre est 2" # 1 = 2" .
Le point A est appelé origine sur ce cercle ; il est associé au réel 0.
En partant de A, on arrive à A’ en parcourant un demi-cercle : le point A’ est associé au réel " .
"
"
"
De même : le point B est associé à , le point C est associé à , le point D est associé à ! .
2
3
4
"
2"
"
B
2
3
3 "
3"
C
+
4
4
5"
"
6
6
A%
A
!
D
0
"
O
!
+
5"
6
!
3"
4
!
2"
3
!
"
2
"
!
" 6
!
4
"
!
3
!
II Cosinus et sinus d’un nombre réel
Le plan est muni d’un repère orthonormal d’origine O.
x est un nombre réel.
M est le point associé à x sur le cercle trigonométrique de centre O.
1
sin ( x )
M
O
cos ( x )
Le cosinus du réel x est l’abscisse du point M dans le repère.
On le note cos ( x ) .
Le sinus du réel x est l’ordonnée du point M dans le repère. !1
On le note sin ( x ) .
Le point M de coordonnées ( cos ( x ) ;sin ( x ) ) étant sur le cercle de
rayon 1 :
! 1 $ cos ( x ) $ 1 et ! 1 $ sin ( x ) $ 1
1
!1
Valeurs remarquables à retenir :
x
0
cos ( x )
1
sin ( x )
0
"
6
3
2
1
2
"
4
2
2
2
2
"
3
1
2
"
2
0
3
2
1
40
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46
Pour les autres valeurs remarquables de x, on
utilise les symétries par rapport aux axes de
coordonnées ou par rapport au point O.
1
3
! 2" "
! 2" "
Exemple : cos # $ = ! et sin # $ =
.
2
% 3 &
% 3 & 2
EXERCICES (Chapitre 10)
Exercice 1
B
A l’aide du graphique ci-contre, compléter les
tableaux suivants :
F
E
G
D
C
H
A
A’
O
I
N
M
J
K
Tableau 1
Tableau 2
Réel x
0
Point
associé
A
Point
N
"
6
!
E
3"
4
"
2
K
J
!
2"
3
B
L
B’
!
5"
6
"
4
D
M
!
"
3
"
F
"
6
3
2
1
!
2
Réel x
!
cos ( x )
sin ( x )
Exercice 2
A l’aide d’un cercle trigonométrique, compléter le tableau suivant :
Réel x
cos ( x )
sin ( x )
"
3"
4
"
6
!
!
3
2
0
1
2
!1
41
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5"
6
47
!
1
2
1
2
3
2
!
3
2
!
5"
6
INDICATIONS (Chapitre 10)
Exercice 1
Tableau 2 :
!
cos ( x ) se lit en abscisse.
sin ( x ) se lit en ordonnée.
! Attention aux signes.
cos ( x ) < 0
1
sin ( x ) > 0
!1
O
cos ( x ) < 0
!1
sin ( x ) < 0
cos ( x ) > 0
sin ( x ) > 0
1
cos ( x ) > 0
sin ( x ) < 0
Exemple : N et C sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
Ces deux points ont donc même abscisse et des ordonnées opposées.
! ""
!""
cos # ! $ = cos # $
% 6&
%6&
! ""
!""
sin # ! $ = ! sin # $ .
% 6&
%6&
42
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48
Exercices
Exercice 1 Représenter sur le cercle trigonométrique, à partir d’un angle t quelconque, les
π
angles suivants : −t , π − t, t + π et t + .
2
π
Déterminer en fonction de cos t et sin t, les sinus et cosinus des angles −t, π − t, t + π et t + .
2
Formules d’addition à retenir : soit a et b réels,
cos (a + b) =
sin (a + b) =
cos (a − b) =
sin (a − b) =
Exercice 2 À partir des formules précédentes donner les expressions de cos 2a et sin 2a en fonction de cos a et sin a.
Exercice 3 Parmi les réels suivants donner (sans calculatrice) ceux qui appartiennent à [−π, π] :
π 3π
−5π
−2π
7π
5π
,
;
;
;
;
.
3
2
2
3
3
6
Exercice 4 Dans le triangle ABC équilatéral direct de centre 0, donner les mesures des angles
−−→ −→
−−→ −−→
−−→ −−→
(BA , AC ) ; (OB , OC ) ; (AB , OC ).
Exercice 5 Déterminer tous√les réels t tels√que :
3
− 2
; c. sin t =
.
a. cos t = −1 ; b. sin t =
2
2
Exercice 6 Par lecture sur le cercle trigonométrique, déterminer les réels de ] − π, π] puis de
[0, 2π[ tels que
√
√
3
1
− 2
a. cos t ≥
; b. sin t >
; c. cos t <
.
2
2
2
Exercice 7 Résoudre dans R les équations√:
a. 2 sin2 t − 3 sin t + 1 = 0
b. 2 cos2 t − 3 3 cos t + 3 = 0.
π
Exercice 8 Soit la fonction f donnée par f (t) = cos (t + π) − sin (t + ) + 2 cos t.
2
π
1. Calculer f (0), f ( ) et f (π).
2
2. Simplifier f (t) pour tout t réel.
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49
Annexe 4
Nombres Complexes
A- Définitions
Définition 12 On admettra qu’un nombre complexe z s’écrit de manière unique x + iy où x
et y sont des nombres réels et i est un nombre complexe vérifiant i2 = −1. On dit alors que le
nombre réel x est la partie réelle de z et le nombre réel y est sa partie imaginaire.
On note <(z) = x et =(z) = y.
Définition 13 Deux nombres complexes sont égaux si leurs parties réelles et leurs parties
imaginaires sont égales.
Soit (x, y) ∈ R2 et (x0 , y 0 ) ∈ R2 . L’addition et la multiplication de deux nombres complexes
z = x + iy et z 0 = x0 + iy 0 sont définies par :
z + z 0 = (x + x0 ) + i(y + y 0 ),
z · z 0 = (x · x0 − y · y 0 ) + i(x · y 0 + x0 · y).
et ont les mêmes propriétés que dans R. Mais attention, pas de relation d’ordre compatible avec
les opérations sur C : on ne peut pas parler du signe d’un nombre complexe !
Définition 14 Soit (x, y) ∈ R2 et z = x + iy. Le nombre complexe x − iy est dit conjugué de
z et est noté z̄.
Propriétés
Pour tous z, z1 et z2 nombres complexes, on a : z̄¯ = z, z + z̄ = 2<(z), z − z̄ = 2i=(z),
z1 + z2 = z¯1 + z¯2 , z1 z2 = z̄1 z̄2 .
z1
z¯1
De plus, si z2 6= 0, alors :
=
z2
z¯2
Définition 15 Soit (x, y) ∈ R2 et
pz = x + iy un nombre complexe. Le module de z, noté | z |,
est le nombre réel positif ou nul x2 + y 2 .
Propriété importante : z z̄ = |z|2
Remarque : si |z| = 1, alors z̄ =
1
z
B- Représentation géométrique
On construit une bijection entre les nombres complexes et les points du plan P, rapporté à un
→
− →
−
repère (O, i , j ) :
C −→ P
z 7−→ Mz (<(z), =(z))
Le point Mz s’appelle l’image de z et z l’affixe de Mz .
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50
−−→
Si A et B sont deux points d’affixe zA et zB , alors le vecteur AB a pour affixe zB − zA .
→
−
→
−
→
−
→
−
Si u et v sont deux vecteurs d’affixe zu et zv , alors le vecteur u + v a pour affixe zu + zv .
Z = x + i y = r (cos(a ) + i sin(a))
Y
a
r
X
C- Écriture sous forme trigonométrique, théorème de De Moivre
Soit a = x + iy, (x, y) ∈ R2 , un nombre complexe de module 1 ; on peut l’écrire sous la forme
a = cos θ + i sin θ où θ ∈ R. On peut donc écrire tout nombre complexe z non nul sous la forme
z = r · (cos θ + i sin θ),
où r est son module et où θ est un de ses arguments. L’argument est défini à 2kπ près, k ∈ Z.
Théorème 2 (De Moivre) Pour tout nombre complexe z non nul, si θ est un argument quelconque de z :
z n =| z |n (cos nθ + i sin nθ),
Pour θ un nombre réel on note :
cos θ + i sin θ = eiθ .
Un nombre complexe non nul de module r et d’argument θ s’écrit alors reiθ . On utilise les règles
de calcul sur l’exponentielle réelle et l’égalité i2 = −1 pour calculer avec l’exponentielle complexe.
La formule de De Moivre devient : (eiθ )n = einθ .
Propriété Les parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe z peuvent s’exprimer en
fonction de z et de z̄ :
1
1
Re(z) = (z + z̄) et Im(z) = (z − z̄)
2
2i
Ce qui s’énonce aussi par les formules d’Euler : pour tout réel x
cos x =
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eix + e−ix
eix − e−ix
et sin x =
.
2
2i
51
Annexe 5
Primitives et intégrale de Riemann
A-Primitives
Définition 16 Soient F et f deux fonctions. On dit que F est une primitive de f sur I si F
est dérivable en tout point de I et si F 0 = f . On dit aussi que f admet F comme primitive.
dF
On écrit, pour tout x0 de I :
(x0 ) = f (x0 ) (ou encore F 0 (x0 ) = f (x0 )).
dx
Exemple
Les fonctions x 7→ sin x, x 7→ 2 + sin x sont des primitives, sur R, de la fonction x 7→ cos x.
Théorème 3 Soit f une fonction admettant sur I une primitive F , alors l’ensemble des primitives de f sur I sont les fonctions G = F + C où C est une constante quelconque réelle.
Notation
Z
Si f est une fonction admettant sur I une primitive, alors f (x) dx désigne une primitive quelconque de f sur I.
Exemple
Z
On a cos x dx = sin x + C (C ∈ R).
Si l’on cherche la primitive G de x 7→ cos x, telle que G(0) = 1 on trouvera G(x) = sin(x) + 1.
De manière générale, avec les hypothèses du théorème précédent, il existe une primitive G de
f unique définie par sa valeur en un point x0 . En effet, la constante C est déterminée par
G(x0 ) = F (x0 ) + C.
Théorème 4 (Existence) Toute fonction continue sur un intervalle ouvert admet une primitive sur cet intervalle.
De l’étude des dérivées de fonctions f connues, on peut dresser une première liste de primitives
F à connaı̂tre. Dans le tableau qui suit, C désigne une constante réelle.
f (x)
F (x)
I
xm , m ∈ N
xm+1
+C
m+1
] − ∞, +∞[
xm , −m ∈ N∗ , m 6= −1
xm+1
+C
m+1
]0, +∞[ ou ] − ∞, 0[
ln x + C
]0, +∞[
ex
− cos x + C
sin x + C
R
R
R
i π
h
π
− + kπ, + kπ , k ∈ Z
2
2
1
x
ex
sin x
cos x
1
cos2 x
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= 1 + tan2 x
tan x + C
52
Z
1
dx = ln | x | + C , où C ∈ R, mais en réalité C
x
représente une constante C1 sur ]0, +∞[ et une constante C2 sur ] − ∞, 0[.
Remarque : On écrit fréquemment que
Primitives et opérations usuelles
Si F est une primitive de f sur I, et si G est une primitive de g sur I, alors F + G est une
primitive de f + g sur I et, pour tout réel λ, λF est une primitive de λf sur I.
On dit alors que la primitive d’une combinaison linéaire de fonctions est la combinaison linéaire
des primitives de ces fonctions.
Primitives particulières
Z
1
1- On a I = cos3 x sin x dx = − cos4 x + C où C ∈ R ;
4
Z
0
En effet, en posant : u(x) = cos(x) on a u (x) = − sin(x), I =
u3 (x)u0 (x)dx. La fonction
1
x 7→ u4 (x) a pour dérivée la fonction x 7→ u3 (x)u0 (x).
4
Plus
généralement : Soit u une fonction continue sur I, pour n ∈ N,
Z
un+1 (x)
+ C où C ∈ R.
un (x)u0 (x) dx =
n+1
Z
2x
2x
u0 (x)
2
2- Soit I =
dx.
si
l’on
pose
u(x)
=
x
+
1,
on
a
=
.
x2 + 1
x2 + 1
u(x)
2x
Or la fonction x 7→ ln u(x) a pour dérivée x 7→ 2
et donc I = ln(x2 + 1) + C, où C ∈ R.
x +1 Z
Z
3- Soit ω réel non nul, et φ réel, on cherche à calculer
cos(ωx + φ)dx et
sin(ωx + φ)dx. On
pose u(x) = ωx + φ, on a u0 (x) = ω, on obtient :
Z
Z
u0 (x)
dx
cos(ωx + φ)dx = cos(u(x))
ω
Z
1
On a donc, cos(ωx + φ)dx = sin (ωx + φ) + C où C ∈ R.
ω
Z
−1
De même sin(ωx + φ)dx =
cos (ωx + φ) + C où C ∈ R.
ω
On retiendra (pour ω 6= 0) :
f (x)
sin(ωx + φ)
cos(ωx + φ)
F (x)
−1
cos (ωx + φ) + C
ω
1
sin (ωx + φ) + C
ω
I
] − ∞, +∞[
] − ∞, +∞[
B-Intégrales
On considère le plan (xOy) muni d’un repère orthonormé et on suppose s’être donné une unité
de mesure de longueur dans ce plan.
Définition 17 Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] de R. On appelle intégrale
Z b
(de Riemann) et l’on note
f (x)dx la valeur de l’aire du domaine du plan (xOy) limité par
a
les droites d’équations x = a et x = b situé entre l’axe des abscisses et la courbe représentative
de la fonction, comptée positivement pour la partie située au-dessus de l’axe des abscisses et
négativement pour la partie située au-dessous.
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53
Théorème 5 Soient f continue sur un intervalle I ⊂ R et a ∈ I ; alors, pour que F soit une
primitive de f sur I, il faut et il suffit que l’on ait :
Z t
f (x) dx.
∀ t ∈ I, F (t) − F (a) =
a
En particulier on aura :
b
Z
F (b) − F (a) =
f (x) dx.
a
et les méthodes de recherche de primitives vues dans la partie précédente s’appliquent pour le
calcul des intégrales définies.
Proposition 1 Si f et g sont continues sur [a, b] (avec a < b) et vérifient f ≤ g, alors :
b
Z
Z
b
f (x) dx ≤
g(x) dx.
a
a
Par exemple on peut vérifier que x3 ≤ x2 pour x ∈ [0, 1].
On considère
:
Z 1
Z 1
1
1
2
I1 =
x dx = et I2 =
x3 dx = .
3
4
0
0
On a bienZ I2 ≤ I1 . Plus
généralement
montrer,
de deux manières différentes, que :
Z 1
1
∗
n
∀n ∈ N ,
x dx ≤
x dx.
0
0
Proposition 2 Soit f continue sur le segment [a, b] (avec a < b) ; on a :
a
Z
Z
f (x)dx = −
b
b
f (x)dx.
a
Théorème 6 (Relation de Chasles) Soit une fonction f continue sur un intervalle I et soient
α, β et γ trois réels quelconques de l’intervalle I alors :
Z
γ
Z
β
f (x)dx =
α
Z
f (x) dx +
α
γ
f (x) dx.
β
Remarque Dans le théorème précédent si α = γ, on retrouve la proposition 2.
Proposition 3 Soit a un réel strictement positif et soit une fonction f continue sur [−a, a].
On a :
Z a
Z a
– si la fonction f est paire,
f (x)dx = 2
f (x) dx,
−a
0
Z a
– si la fonction f est impaire,
f (x) dx = 0,
−a
– si
la fonction f est
Z Tpériodique, de période T et définie sur R,
Z a+T
f (x) dx =
f (x) dx.
a
0
Z
b
| f (x) − g(x) | dx
Proposition 4 Si f et g sont deux fonctions définies et continues sur [a, b] alors
a
est exactement la mesure de l’aire comprise entre les courbes représentatives des fonctions f et
g, limitée à gauche et à droite par les droites verticales d’équation x = a et x = b.
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On peut ainsi calculer l’aire AZgrisée ci-contre :
2
| x3 − x2 | dx
A=
0
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55
Annexe 6
Systèmes d’équations linéaires
A-Préliminaires
Soit l’équation à deux inconnues :
3x + 5y = 0
(E)
Rappelons qu’un couple (x, y) de R2 est dit solution de (E) s’il vérifie l’égalité 3x + 5y = 0 et
que résoudre (E) dans R signifie déterminer l’ensemble des solutions de (E).
Par exemple, on vérifie que (1, −1) n’est pas une solution de (E).
En revanche,
√
3√
(−5, 3), (10, −6), et ( 2, −
2)
5
sont des solutions de (E).
On vérifie facilement que (E) possède une infinité de solutions : tous les couples de nombres
3
réels de la forme (x, − x) (x est un nombre réel quelconque).
5
Rappelons encore que, si on désigne par SE l’ensemble des solutions de (E), alors on peut
écrire :
3
SE = {(t, − t) ∈ R2 / t ∈ R}.
5
Exercice 1
1. Résoudre dans R2 les équations suivantes :
(E)
4x − 17y = 0,
(F )
2
x − 3y = 1.
3
2. Soient a, b et c des nombres réels. Les éléments de R2 étant représentés par des points du
plan, représenter dans le plan l’ensemble des solutions de l’équation (à deux inconnues x et y) :
ax + by = c.
B-Systèmes d’équations linéaires à deux équations et à deux inconnues
Soit le système d’équations linéaires à deux inconnues :
2x + 3y = 1
−3x − 4y = 4
(Σ)
Un couple (x, y) de R2 est dit solution de (Σ) s’il vérifie les deux équations à la fois. Résoudre
(Σ) dans R2 , c’est déterminer l’ensemble des solutions de (Σ).
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56
Exercice 2
1. Les couples (0, 0), (−3, 2) et (−16, 11) sont-ils des solutions du système (Σ) ?
2. Les éléments de R2 étant représentés par des points du plan, comment représenter l’ensemble des solutions de (Σ) ? (On ne demande pas de calculer numériquement les solutions de
ce système.)
Soient a, b, c, d, e et f des nombres réels et (Σ) le système d’équations linéaires à deux
inconnues (x et y)
ax + by = e
cx + dy = f.
Le nombre réel ad − bc est appelé déterminant du système. Il est noté det(Σ) ou bien
a b
.
c d
Théorème 7 Soit SΣ l’ensemble des solutions de (Σ).
1. Le déterminant du système (Σ) est différent de zéro si et seulement si (Σ) possède une unique
solution (SΣ est réduit à un seul élément).
2. Si det(Σ) est nul alors soit le système n’a pas de solution (SΣ est vide), soit il en possède
une infinité (SΣ est infini).
Pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues, on ramène le système à une
équation à une inconnue en éliminant l’autre inconnue. On procèdera par substitution ou par
combinaisons linéaires.
1. Élimination par substitution
On veut résoudre le système suivant :
2x + 3y = 1
−3x − y = 4
(1)
(2)
Le déterminant du système est égal à 7.
Le système possède donc une solution unique qu’on peut déterminer en procédant par équivalences .
Soit S l’ensemble des solutions du système et soit (x, y) ∈ R2 . On a alors les équivalences
suivantes :
2x + 3y =
1
(x, y) ∈ S ⇐⇒
y
= −3x − 4
⇐⇒
2x + 3(−3x − 4) =
1
y
= −3x − 4.
Ce qui donne :
(x, y) ∈ S ⇐⇒


 x =


13
−
7
y = −3x − 4
13 11
Par conséquent, S =
− ,
.
7 7
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57
⇐⇒

13


 x = −7


 y =
11
.
7
Remarque
Quand on raisonne par équivalences, on n’a pas besoin de vérifier que les couples obtenus sont
bien des solutions du système.
Exercice 3
Appliquer la méthode de substitution pour résoudre par équivalences dans R les systèmes suivants :

x+3


= 5


 4x − 3y = −10
 y−5

2x + 5y =


x−1


y+3
8,
=
1
.
9
2. Élimination par combinaison
Exemple 1
Résolvons le système (Σ) suivant :
9x + 2y = 17
6x + 5y = −7.
(1)
(2)
On désigne par SΣ l’ensemble des solutions de (Σ). Comme le déterminant du système est égal
à 33, SΣ est réduit à un seul élément que nous allons déterminer en éliminant une inconnue
grâce à des combinaisons linéaires.
Soit (x, y) solution de (Σ). Comme les coefficients de y dans les équations de (Σ) sont 2 et
5, en multipliant la première équation par −5 et la deuxiéme par 2, on obtient :
−45x − 10y = −85
(1 bis )
12x + 10y = −14
(2 bis)
En additionnant les deux égalités, on obtient −33x = −99 (on a donc éliminé y). Le système
(Σ) est alors équivalent au système
9x + 2y = 17
(1)
−33x = −99.
(3)
Ce qui équivaut à x = 3 et y = −5 (cette dernière valeur est obtenue en remplaçant x par 3
dans l’équation (1)). On a donc SΣ = {(3, −5)}.
Exemple 2
Résolvons le système (Σ) suivant :
2x − 3y = 5
6x − 9y = 15.
(1)
(2)
Comme ci-dessus, SΣ désigne l’ensemble des solutions de (Σ). Le déterminant du système est
égal à 0 donc, soit SΣ est vide, soit il contient une infinité de couples de nombres réels.
Soit (x, y) ∈ R2 . On a alors (x, y) ∈ SΣ si et seulement si
2x − 3y = 5
0
= 0.
(1)
(3)
L’égalité (3) est obtenue en multipliant (1) par 3 et en soustrayant l’équation obtenue terme à
terme à (2). Comme (3) est toujours vérifiée, le dernier système est donc équivalent à l’équation
2x − 3y = 5 qui possède une infinité de solutions (les couples de nombres réels qui correspondent
aux points de la droite d’équation 2x − 3y = 5) :
2t − 5
SΣ =
t,
/ t∈R .
3
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58
Remarque
Les équations (1) et (2) ci-dessus caractérisent la même droite du plan.
Exercice 4
Résoudre dans R2 , par la méthode des combinaisons, les systèmes suivants et représenter géométriquement
les solutions éventuelles dans le plan :
2x − 3y = 3
7x + 5y = 19
(E)
(F )
6x − 9y = 15,
3x + 5y = 31.
C- Systèmes d’équations à plus de deux inconnues
Les deux méthodes de résolution du paragraphe précédent s’étendent aux systèmes à plus de
deux inconnues. Nous allons les présenter sur un exemple et introduirons plus loin une troisième
méthode.
1. Méthodes de substitution et combinaisons linéaires
Soit le système (Σ) suivant :

 2x + 3y − 2z = −2
4x − 5y + z = −11

3x + 22y − 3z = 32
(1)
(2)
(3)
Soit SΣ l’ensemble des solutions de (Σ).
1.1 Résolution par substitution
Soit (x, y, z) un élément de SΣ . Le calcul de z dans l’équation (2) donne z = −11 − 4x + 5y et
en remplaçant z par sa valeur dans les équations (1) et (3), on obtient le système équivalent 1

z
= −11 − 4x + 5y

2x + 3y − 2(−11 − 4x + 5y) =
−2

3x + 22y − 3(−11 − 4x + 5y) =
32
ou encore :


z
= −11 − 4x + 5y
10x − 7y =
−24

15x + 7y =
−1.
(4)
(5)
(6)
On a ainsi éliminé une inconnue (z) des deux derniéres équations qui forment un système
d’équations à deux inconnues dont la résolution (qui n’est pas détaillée ici) donne x = −1
et y = 2.
En portant ces valeurs dans (4), on obtient z = 3. Ce qui montre que SΣ = {(−1, 2, 3)}.
1.2 Résolution par combinaisons linéaires
Soit (x, y, z) un élément de SΣ . On veut éliminer z des équations (1) et (2). On multiplie les
deux membres de (2) par 2 et en ajoute membre à membre à (1). On obtient : 10x − 7y = 24. On
élimine maintenant z entre les équations (2) et (3). On multiplie les deux membres de (2) par 3
et on ajoute l’équation obtenue membre à membre à (3). On obtient l’équation 15x + 7y = −1
et on retrouve ainsi le système
10x − 7y = −24
15x + 7y = −1.
1. Deux systèmes sont dits équivalents s’ils possédent les mêmes solutions.
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C’est un système à deux inconnues dont la résolution donne x = −1 et y = 2. En portant ces
valeurs dans (2) on trouve z = 3.
On vérifie ensuite que le triplet obtenu est bien une solution de (Σ).
Attention ! À moins de travailler par équivalences, quand on procède par combinaisons linéaires, l’étape de vérification est indispensable comme le montre l’exercice
suivant
Exercice 5
Ursule veut résoudre le système (Σ)

 x+y+z
x+y−z

−x + y − z
Voilà ce qu’il écrit :
suivant :
= 1
= 2
= 4
(1)
(2)
(3)
On résout ce système par combinaisons linéaires :
– on ajoute membre à membre (1) et (2) et on remplace l’équation (1) par l’équation obtenue,
– on ajoute membre à membre (3) et (2) et on remplace l’équation (2) par l’équation obtenue,
– on soustrait membre à membre (1) et (3) et on remplace l’équation (3) par l’équation
obtenue,
– on obtient le système (Σ1 ) :

 2x + 2y = 3
2y − 2z = 6

2x + 2z = −3
3
3
− t, − − t) est solution de (Σ1 ) donc de (Σ) .
2
2
1. Vérifier qu’Ursule obtient bien le système (Σ1 ) et que, pour tout t parcourant R, les triplets
3
3
(t, − t, − − t) sont bien solutions de (Σ1 ).
2
2
2. Quel triplet obtient-on pour t = 0 ? t = 1 ? Vérifier qu’aucun de ces deux triplets n’est
solution de (Σ).
– pour tout t dans R, le triplet (t,
3. Trouver l’erreur commise par Ursule et résoudre le système.
2. Méthode du pivot de Gauss 2
On expose ici une troisième méthode qui s’applique à tous les systèmes (quelle que soit leur
taille).
Elle transforme un système d’équations linéaires en un système équivalent (admis) et plus facile
à résoudre.
Elle a l’avantage d’être algorithmique et peut être programmée et utilisée sur des ordinateurs.
Présentons cette méthode sur un exemple

 x + 2y + 3z =
2x + 3y + z =

3x + y + 2z =
en expliquant les différentes étapes. Soit le système :
10
13
13
(L1 )
(L2 )
(L3 )
ÉTAPE 1 : On élimine x dans les deux dernières équations.
Pour l’éliminer de L2 , on multiplie les deux membres de l’équation L1 par 2 et on soustrait
l’équation obtenue membre à membre de L2 . Schématiquement, on note L2 ←− L2 − 2L1 .
2. Carl Frederic Gauss (1777-1855) est un savant allemand (astronome, mathématicien et physicien). La
méthode évoquée ici est décrite dans son mémoire de 1809 sur le mouvement des planètes.
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60
Pour éliminer x de L3 , on multiplie les deux membres de l’équation L1 par 3 et on soustrait
l’équation obtenue membre à membre de L3 (schématiquement : L3 ←− L3 − 3L1 ). On obtient
ainsi le système équivalent suivant :

(L1 )
 x + 2y + 3z = 10
−y − 5z = −7
(L2 ←− L2 − 2L1 )

−5y − 7z = −17,
(L3 ←− L3 − 3L1 )
ou bien encore

 x + 2y + 3z = 10
−y − 5z = −7

−5y − 7z = −17.
(L1 )
(L02 )
(L03 )
ÉTAPE 2 : On oublie momentanément la premiére équation et on réitère le procédé
d’élimination au système formé par les équations (L02 ) et (L03 ) pour éliminer l’inconnue y de
la dernière équation.
Pour cela, on multiplie L02 par −5 et on ajoute l’équation obtenue membre à membre à L03
(L03 ← L03 + (−5L02 )) pour obtenir le système triangulaire équivalent :

(L1 )
 x + 2y + 3z = 10
−y − 5z = −7
(L02 )

18z
= 18.
(L003 )
ÉTAPE 3 : On résout le système triangulaire obtenu.
La dernière équation donne z = 1, puis en remontant, on remplace z par sa valeur dans L02 , on
obtient −y − 5 × 1 = −7 ce qui donne y = 2.
Enfin, en portant les valeurs de z et y dans la première équation, on trouve x+2×2+3×1 = 10
ou encore x = 3.
Par conséquent, S = {(3, 2, 1)}.
Schématiquement, la méthode du pivot de Gauss permet de passer, lorsque c’est possible, d’un
système de la forme :

= D
 Ax + By + Cz
0
0
0
Ax+B y+C z = D
 00
A x + B 00 y + C 00 z = D00
à un système équivalent de forme triangulaire :

 ax + by + cz = d
b0 y + c0 z = d0

c00 z = d00 ,
où A, A0 , . . . a, a0 , . . . sont des nombres réels convenables.
Exercice 6
1. Résoudre par la méthode du pivot de Gauss les


y+z
 3x + 4y + z = 7

x−y+z
x + 2y − z = 13


2x − y + 2z = 5,
3x + 2y − z
2. Résoudre dans R4 le système suivant :

x + 3y + 3z − t



x + 3y + 4z + t
x + 4y + 3z + 2t



−x + 3y − z − t
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systèmes suivants :

= 6
 x + 3y + 3z = 1
= 1
x + 3y + 4z = 0

= −2,
x + 4y + 3z = 2.
= 1
= 0
.
= 2
= −1
Indications pour les solutions des exercices
Exercice 3
Premier système : x = −1 et y = 2
Deuxième système : x = 2 et y = 6.
Exercice 4
Système (E) : S = ∅
Système (F) : x = −3 et y = 8.
Exercice 5
3
−3
1. Il suffit de remplacer x par t, y par − t et z par
− t dans le système (Σ1 ) et vérifier les
2
2
équations.
1 5
3 3
2. pour t = 0 on trouve (0, , − ) et pour t = 1 on trouve (1, , − ) qui ne sont pas solutions
2 2
2 2
de (Σ).
3. Les systèmes (Σ1 ) et (Σ) ne sont pas équivalents : on ne peut pas retrouver les équations de
(Σ) à partir de celles de (Σ1 ).
Exercice 6
1.
21 11 59
Premier système (x, y, z) = ( , − , − ).
2
3
6
−7 19 35
Deuxième système (x, y, z) = ( , , ).
9 9 9
Troisième système (x, y, z) = (1, 1, −1).
2. (x, y, z, t) = (
11 1 −4 1
, ,
, ).
3 2 3 6
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