Configuration de Thalès

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Configuration de
Thalès
CHAPITRE
Tracer un segment de cm. En utili-
sant le théorème de Thalès, construire le point
appartenant au segment et tel que
.
Une construction sans justification et sans ap-
pui sur le théorème de Thalès ne répondra pas
à l’énigme.
Énigme du chapitre.
—Connaître et utiliser la proportionnalité
des longueurs pour les côtés des deux
triangles déterminés par deux parallèles
coupant deux droites sécantes.
—Connaître et utiliser un énoncé réci-
proque.
— Agrandir ou réduire une figure en uti-
lisant la conservation des angles et la
proportionnalité entre les longueurs de
la figure initiale et celles de la figure à
obtenir.
Objectifs du chapitre.

I/ Théorème de Thalès
Activité A. Une autre configuration de Thalès - TICE GeoGebra
Partie A : Construire
1. Tracer deux droites et (avec
l’outil « Droite passant par deux points »
)
2. Tracer la droite , puis placer un
point (avec l’outil « Nouveau point »
) sur qui n’appartient pas à la
demi-droite .
3. Construire la droite parallèle à pas-
sant par (avec l’outil « Parallèle »
).
4. Nommer le point d’intersection de
cette droite avec la droite (outil
« Intersection entre deux objets » )
Partie B : Conjecturer
1. Dans la ligne « Saisie » du logiciel, taper la formule Distance[O,A]/Distance[O,M].
Le résultat s’affiche dans la fenêtre algébrique située à gauche. Que fait-on calculer au
logiciel.
2. De même, faire afficher les valeurs de et . Que constate-on pour les trois valeurs
affichées ?
3. Déplacer les points de la figure. Que constate-t-on ?
4. Quelle égalité de rapports de longueurs peut-on alors conjecturer ?
Partie C : Démontrer
1. Sur la figure, tracer et les symétriques respectifs des points et par rapport à .
2. Démontrer que les droites et sont parallèles.
3. Prouver que .
4. En déduire la conjecture faire en fin de Partie B.
Théorème (Théorème de Thalès)
Soit un triangle, et .
Si les droites et sont parallèles alors on a :

Remarque
Les rapports inverses sont eux aussi égaux :
Exemples
1. Données : , et sont alignés
, et sont alignés.
Donc : d’après le théorème de Thalès,
2. Données : , et sont alignés
, et sont alignés.
Donc : d’après le théorème de Thalès,
Définition
Les figures pour lesquelles on peut appliquer le théorème de Thalès s’appellent des configurations
de Thalès.
Faire les exercices 1 2 3 4 5

II/ Réciproque du théorème de Thalès
Activité B. Réciproque du théorème de Thalès
1. Reproduire sur quadrillage la figure ci-dessous.
2. On souhaite placer un point sur la droite et un point sur la droite tels
que
Combien y-a-t-il de positions possibles pour chacun des points et ? Faire une figure
pour chaque cas.
3. Recopier et compléter le tableau en ajoutant une ligne pour chaque figure.
Position relative de , et Position relative de , et et sont-elles parallèles ?
, et sont alignés dans cet ordre. , et sont alignés dans cet ordre. Oui
Théorème (Réciproque du théorème de Thalès)
Si les points , , d’une part et les points , , d’autre part sont alignés dans le même
ordre, et si , alors les droites et sont parallèles.
Exemples
1. Données : , et sont alignés dans cet
ordre.
, et sont alignés dans cet ordre.

Donc :, d’après la réciproque du théorème
de Thalès, les droites et sont
parallèles.
2. Données : , et sont alignés dans cet
ordre.
, et sont alignés dans cet ordre.
Donc :, d’après la réciproque du théorème
de Thalès, les droites et sont
parallèles.
Faire les exercices 6 7 8 9