Chapitre : situations de proportionnalité I le temps Les heures (h), minutes (min) et secondes (s) sont des grandeurs proportionnelles deux à deux. Voici le schéma de conversion facile à retrouver lorsqu’on sait que 1 h = 60 min et 1 min = 60 s × 3600 × 60 × 60 min h : 60 : 60 : 60 : 3600 s : 3600 exemples : 12 min = 0,2 h et 36 s = 0,01 h donc 3 h 12 min 36 s = 3h + 0,2 h + 0,01 h = 3,21 h 5,83 h = 5 h + 0,83 h = 5 h 49,8 min = 5 h 49 min + 0,8 min = 5 h 49 min 48 s II la vitesse × 60 × 60 Définition : La vitesse moyenne V d’un objet qui parcourt une distance d en un temps t est définie par : V = d t 600 = 120 km/h 5 Remarque 1 : Si l’automobiliste roule constamment à 120 km/h alors la distance qu’il parcourt est proportionnelle à au temps qu’il met pour la parcourir. V d Remarque 2 : la formule = est utile pour calculer une vitesse. Avec la règle de trois pour les équations, on 1 t V×t retrouve facilement les formules : d = utile pour calculer une distance 1 d×1 utile pour calculer un temps et t = V Remarque 3 : L’unité de vitesse dépend des unités de distance et de temps. On peut donc convertir les unités de vitesse en changeant les unités de d et de t. 120 km 120 000 m Exemples : 120 km/h = = = 2 000 m/min 1h 60 min 340 m/s = 1 224 000 m/h = 1 224 km/h (faire 340 m en 1s revient à faire 1 224 km en 1h) Remarque : La calculatrice convertit les « h min s » en « h » avec la touche ο (sur la casio fx 92 !). Exemple : pour entrer 2 h 30 min 36 s, taper 2°30°36° puis « exe » donne 2,51 h en appuyant sur ο . Exemple : Un automobiliste parcourt 600 km en 5 h. Sa vitesse moyenne est donc de V = III reproduction de figure On peut agrandir ou réduire une figure : on parle alors de reproduction de figure. Définitions : Lors d’une reproduction de figure, les longueurs de la figure finale sont proportionnelles aux longueurs de la figure initiale. L’échelle d’une reproduction de figure est le coefficient de proportionnalité pour passer des longueurs sur la figure initiale aux longueurs de la figure finale. longueur sur la figure finale Pour calculer l’échelle e d’une reproduction, on utilise la formule e = longueur sur la figure initiale Si e > 1 alors il s’agit d’un agrandissement. Si e < 1 alors il s’agit d’une réduction. Si e = 1 alors il s’agit d’une reproduction en vraies grandeurs. Propriété d’une reproduction de figure: Suite à la reproduction d’une figure, les longueurs sont multipliées par l’échelle et les mesures des angles sont conservées (c'est-à-dire qu’elles ne changent pas). IV Thalès Théorème de Thalès (admis) : On considère un triangle ABC. M est un point de [AB] et N un point de [AC]. AB AC BC Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles alors on a : = = AM AN MN A (MN) // (AB) 1,2 cm M 1,5 cm N 4,5 cm B C Question : Calculer AB. Réponse : J’applique le théorème de Thalès : M ∈ [AB] AB AC BC N ∈ [AC] donc = = AM AN MN ( MN ) // ( BC ) On a : AB 6 1,2 × 4,5 = donc AB = = 3,6 cm (on utilise la règles de trois pour les équations) 1,5 1,1 1,5 Remarque : on a aussi AM AN MN grand petit = = . Il faut choisir ou puis être cohérent. AB AC BC petit grand Exercice 1 : Sur cette figure, le triangle A’B’C’ est B une reproduction du triangle ABC. a ) Quelle est l’échelle de cette reproduction ? b ) S’agit-il d’un agrandissement ou d’une réduction ? ☺ et [A’C’] ? c ) Combien mesurent A’B’C’ A' C' 63° B' Activité : Sur la figure de droite, la petite maison a été agrandie : On a « zoomé » sur le point A de tel sorte qu’avant l’agrandissement, il y avait la petite maison et après l’agrandissement, on a obtenu la grande maison. a ) Après l’agrandissement, où se retrouve le point P ? Et O ? Et N ? En quoi ont été agrandi : les segments [MO] et [NA], le triangle AMN ? A C 5 cm O' P' B b ) La grande maison est combien de fois plus grande que la petite ? Trouve 5 fractions de longueur qui valent 3. O M P c ) Trouve 3 paires de droites parallèles. Exercices pour préparer le contrôle (avoir sa calculatrice) C Exercices 71, 72, 73 P 102 + l’exercice de cette feuille + 26 P 230 Eléments de correction des exercices pour préparer le contrôle 71, 72, 73 P 102 : corriger P 274-275 (42 km ; ≈45,8 km/h ; 0,475 h = 28,5 min) 26 P 230 corrigé p286 refaire exercice 2 de la feuille : A’B’ 3 a ) échelle e = = = 0,75 AB 4 b ) c’est une réduction car : A'B'C' est plus petit que ABC ou bien l’échelle est plus petite que 1 ☺ =☺ c ) B’A’C’ BAC = 63° A’C’ = e × AC = 0,75 × 5 = 3,75 cm N A