Etude des surfaces de Riemann compactes

Etude des surfaces de Riemann
compactes
Thomas Dedieu
9 juillet 2004

Table des mati`eres
Introduction 3
1 Analyse complexe `a plusieurs variables 4
1.1 LaformuledeCauchy ................................. 4
1.2 La r´esolution de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Irr´eductibilit´e dans On................................. 7
1.4 Les fonctions analytiques vues comme des revˆetements ramifi´es . . . . . . . . . . 10
2 Th´eor`eme d’isomorphisme de Hodge 13
2.1 Introduction au calcul pseudo-diff´erentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Op´erateurs diff´erentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 EspacesdeSobolev............................... 14
2.1.3 Op´erateurs pseudo-diff´erentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Etude des op´erateurs elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Un th´eor`eme de finitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 G´eom´etrie diff´erentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 Connexions ................................... 21
2.3.2 Structure euclidienne de l’alg`ebre ext´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.3 Contraction par un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Th´eoriedeHodge.................................... 25
2.4.1 Op´erateurs de Laplace-Beltrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.2 Formes harmoniques et isomorphisme de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.3 Dualit´e de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.4 Dualit´edeSerre ................................ 27
3 Le th´eor`eme de Riemann-Roch 29
3.1 Le O-module O(D)................................... 29
3.2 L’indiced’Euler..................................... 31
3.3 Diviseurs et fibr´es vectoriels en droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Degr´e d’un fibr´e en droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5 Genre .......................................... 36
3.6 Le th´eor`eme de Riemann-Roch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Plongement dans un espace projectif 38
4.1 Casd’untorecomplexe ................................ 38
4.2 Plongement dans le cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Casdugenre0 ..................................... 41
4.4 Casdugenre1 ..................................... 41
4.5 Courbe plane dans P2(C) ............................... 42
4.6 Courbehyperelliptique................................. 46
4.6.1 D´efinition.................................... 46
4.6.2 Formes diff´erentielles holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.7 Surfaces de Riemann de mˆeme genre non isomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.8 Alg´ebricit´e des surfaces de Riemann compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.8.1 Corps des fonctions m´eromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.8.2 Unth´eor´emedeChow............................. 50
1

5 Annexes 52
5.1 Analysefonctionnelle.................................. 52
5.1.1 Th´eor`eme de l’application ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1.2 Un th´eor`eme sur les op´erateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2 Th´eor`eme de la base de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Bibliographie 56
2

Introduction
On s’int´eresse ici `a l’´etude des surfaces de Riemann compactes. Notre but est de montrer
qu’on peut les r´ealiser comme des courbes alg´ebriques d’un espace projectif complexe, mais on
peut dire que le chemin le plus direct n’a pas forc´ement eu notre pr´ef´erence ; nous avons plutˆot
consid´er´e notre but initial comme un pr´etexte `a faire des math´ematiques. On a utilis´e autant
que possible des m´ethodes modernes et s’appliquant `a d’autres probl`emes.
Il est par exemple fait un usage intensif des r´esultats issus de la th´eorie des faisceaux, bien
que celle-ci ne soit pas expos´ee ici. On en trouve une belle pr´esentation dans [God58]. Dans
le mˆeme esprit, notre expos´e se trouve souvent aux fronti`eres de la g´eom´etrie alg´ebrique ; on a
choisi un point de vue qui ne la mette pas pleinement en jeu, le temps manquant pour son ´etude
pr´ecise, mais le lecteur averti la reconnaˆıtra facilement au fil du texte.
C’est le th´eor`eme de Riemann-Roch qui constitue le cœur de l’´enonc´e. On commence, ´etape
in´evitable lorsque l’on traite de surfaces de Riemann, par donner quelques r´esultats ´elabor´es
de th´eorie des fonctions analytiques (on pense ici notamment aux th´eor`emes de Weierstrass),
leur th´eorie ´el´ementaire ´etant suppos´ee connue (on pourra en trouver un expos´e tr`es clair
dans [Bos00]). Ensuite, on pr´esente bri`evement les op´erateurs pseudo-diff´erentiels, qui nous per-
mettent d’´etablir un joli th´eor`eme sur les op´erateurs diff´erentiels elliptiques, que l’on applique
au laplacien pour obtenir le th´eor`eme d’isomorphisme de Hodge et la dualit´e de Serre. On utilise
alors ces r´esultats pour l’´etude des faisceaux de diviseurs des surfaces de Riemann compactes,
et ´etablir le th´eor`eme de Riemann-Roch qui nous permet de plonger les surfaces de Riemann
compactes dans des espaces projectifs convenables (et au passage ´etudier quelques propri´et´es
de ces plongements). On conclut notre ´etude en prouvant l’alg´ebricit´e des surfaces de Riemann
compactes.
Je remercie Yves Laszlo, qui a su me guider et r´epondre `a mes questions tout au long de ces
recherches.
We study here compact Riemann surfaces. Our goal is to show that they can be looked at
as algebraic curves in a complex projective space, but we clearly did not choose the most direct
way to do it ; our initial goal was rather an occasion to do some mathematics. We used as many
modern tools as possible which in addition apply to other problems.
For example we use a great deal of sheaves theoretic results, even if the latter is not explained
here. A nice presentation of it can be found in [God58]. In the same manner, this text is often
at the border of algebraic geometry ; we chose not to put it in full light, lacking time to study
it in details. The wise reader however will recognize it easily.
The heart of this text is Riemann-Roch theorem. We begin by giving a few advanced results
in analytic functions theory (this topic being essential when speaking about Riemann surfaces)
mainly Weierstrass theorems. The basic analatic functions theory is supposed to be known (a
very clear introduction to it is [Bos00]). We then introduce pseudo-differential operators that
allow us to establish a very nice theorem about elliptic differential operators, which in turn will
be applied to the laplacian and give Hodge isomorphism theorem and Serre duality. We then use
these results as tools for the study of divisors sheaves of a compact Riemann surface, and prove
Riemann-Roch theorem. We then are able to find embeddings of compact Riemann surfaces into
suitable projective spaces (and on our way we will give some properties of these embeddings).
We finish our study by showing the algebraicity of compact Riemann surfaces.
I am grateful to Yves Laszlo that managed to show me the way during these researches and
answered all my questions.
3

1 Analyse complexe `a plusieurs variables
1.1 La formule de Cauchy
Th´eor`eme 1.1.1 (formule de Cauchy g´en´eralis´ee)
Soit fune fonction C∞`a valeurs complexes sur un ouvert Udu plan complexe. Si Dest un
domaine compact de Udont la fronti`ere γest une r´eunion de courbes C1, alors pour tout z∈˚ D
on a :
f(z) = 1
2iπ ·Zγ
f(ζ)dζ
ζ−z+ZD
∂f (ζ)
∂¯ ζ
dζ ∧d¯ ζ
ζ−z¸
=1
2iπ ·−Zγ
f(ζ)d¯
ζ
¯
ζ−¯z+ZD
∂f (ζ)
∂ζ
dζ ∧d¯ ζ
¯
ζ−¯z¸
D´emonstration : Soit z∈˚ D. On consid`ere un disque D(z, r) dont l’adh´erence est incluse dans
D. On note γrle cercle C(z, r) (i.e. t∈[0,1] 7→ z+re2iπt). Alors la fronti`ere de D\D(z, r) est
γ−γr.
Par ailleurs, dans ce domaine on a :
dµf(ζ)dζ
ζ−z¶=∂
∂¯ ζµf(ζ)
ζ−z¶d¯
ζ∧dζ =∂f
∂¯ ζ
d¯ ζ∧dζ
ζ−z
donc d’apr`es la formule de Stokes, on a :
ZD\D(z,r)
∂f
∂¯ ζ
d¯ ζ∧dζ
ζ−z=Zγ−γr
f(ζ)dζ
ζ−z
et en passant `a la limite (en utilisant les th´eor`emes de convergence de Lebesgue), on obtient :
ZD
∂f
∂¯ ζ
d¯ ζ∧dζ
ζ−z=Zγ
f(ζ)dζ
ζ−z−2iπf(z)
qui est exactement la premi`ere formule. On obtient la seconde formule de la mˆeme mani`ere, en
remarquant que
dµf(ζ)d¯
ζ
¯
ζ−¯z¶=∂f
∂ζ
dζ ∧d¯ ζ
¯
ζ−¯z
Remarque 1.1.2 On peut en fait d´emontrer ce r´esultat pour une fonction fsimplement C1en
utilisant la formule de Stokes pour les distributions et l’´egalit´e au sens des distributions :
∂
∂¯zµf z¶=¯
∂f
z+πf(0)δ0
Th´eor`eme 1.1.3 Soit fune fonction C∞`a valeurs complexes sur un ouvert Udu plan com-
plexe. Si Dest un domaine compact de Udont la fronti`ere γest une r´eunion de courbes C1,
alors il existe une fonction gd´efinie sur ˚ Det de classe C∞telle que :
∂g(z)
∂¯z=f(z)
Si de plus fest une fonction holomorphe (resp. C∞) pour d’autres param`etres, alors gsera
´egalement holomorphe (resp. C∞) pour ces param`etres.
4