Chapitre 1

Statistique Chapitre 1
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Introduction
Bibliographie:
- Lecoutre J.P. (2003) Statistiques et probabilités, Manuel et exercices corrigés, Dunod 2nd
édition
- Lombardot E. (2007) Probabilités, cours et exercices corrigés, archétype
4 thèmes:
 Calcul de probabilité
- Dénombrement
- Propriétés de la Théorie de Thomas
 Distribution de loi de probabilité
- Variable
- Série de Variable
 Lois classiques (probabilité discrètes et continues)
- Epreuve de Bernouilli
- Loi Binomiale 
- Loi de Poisson 
- Loi Géométrique 
- Loi Hyper-géométrique
 Loi Uniforme 
- Loi de Pareto 
- Loi exponentielle 
- Loi Normale 
- Loi log-Normale 
- Autres lois issues de la loi Normale
 Echantillonage
- Population
- Echantillon

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Chapitre 1 : Notions, Propriétés et règles
Le chapitre comporte 3 sections : Définitions de la notion de probabilité, Probabilité totales,
Fonction de probabilité conditionnelles et Notion d'indépendance.
I Définition de la notion de probabilité
1) Définition usuelle
La probabilité est usuellement visualisée comme le degré de confiance que l'on place dans la
réalisation d'un événement. Ainsi, si la probabilité d'un événement est nulle, cela signifie que la
réalisation de celui-ci est impossible et si elle est de 1 alors sa réalisation est certaine. La probabilité
est ce degré de certitude ou de doute de réalisation.
2) Définition statistique classique
Pascal définit la probabilité comme le rapport du nombre de cas favorable sur le nombre de cas
possible.
Exemple: Nombre de trèfle dans un jeu de 32 cartes:
Cette définition est limité au niveau du dominateur, car elle sous-entend le nombre de carte possible
équiprobable sans l'affirmer.
3) Définition classique amendé
La probabilité d'un événement est le nombre de cas favorable sur le nombre de cas équiprobable.
Cette définition perdure jusque dans les années 50 où Kolmogorov bouleverse la notion de
probabilité statistiques.
4) La loi des grands nombres
La loi des grands nombres est une définition fréquentiste de la probabilité.
On suppose ainsi, que la fréquence d'un événement mesuré sur une série répété d'expériences
indépendantes converge, lorsque la série s'accroît indéfiniment, vers la probabilité de cet
événement.
Eléments de combinatoire
C'est l'art de dénombrer les cas distant qui soient possible ou favorable. Une combinatoire permet
ainsi de résoudre un certain nombre concret de probabilité.
Le nombre de façons différentes de tirer "p" boules distinctes dans une urne contenant "n" boules
peut se calculer de 4 manières distinctes : 

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Avec (Répétition) Remise
Sans (Répétition) Remise
Avec Ordre (Arrangement)
Boules Distinctes
Sans Ordre (Combinaison)
Boules Identiques
Sans Exclusions
Avec Exclusions
Propriétés:
- 
- 
- 
- Formule du Binôme de Newton
II Axiomatique des probabilités totales
L'axiomatique de Kolmogorov définit la probabilité comme une fonction associant, a chacun des
événements résultant d'une expérience aléatoire, un nombre qui mesure le degrés de certitude de
sa réalisation.
A. Algèbre des événements
a) Expérience Aléatoire, Ensemble des résultats possible et Evénements
Expérience Aléatoire
Une expérience est dite aléatoire s'il existe une incertitude sur le résultat de l'expérience
Ensemble des possibles
L'ensemble des possible, l'univers des possibles ou encore ensemble fondamentale est l'ensemble
noté Ω de toutes les issues différentes possibles d'une expérience aléatoire.

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Exemple:
L'expérience "lancer une pièce de monnaie" a pour univers Ω l'ensemble des événements "Pile" et
"Face" tel que 
De même, l'expérience aléatoire "combien d'étudiant vont manger au restaurant universitaire" a
pour ensemble fondamentale Ω', l'ensemble des événements c'est à dire
Enfin, l'expérience "lancer une pièce autant de fois nécessaire pour obtenir face", a pour ensemble
des possibles
On constate ici uniquement des espaces dénombrables et finis, à l'exception du dernier qui est
infinis. Tous ces univers étant dénombrables, ils sont alors des univers discrets.
Notion d'événement
Une issue possible d'une expérience aléatoire est un événement E. Tout événement est inclus dans
ou égal à l'univers de l'expérience.
Remarque:
P (Ω) est l'ensemble de tous les sous-ensembles de l'univers Ω et le sous ensemble événement E de
Ω est alors une partie du sous ensemble P (Ω).
Ainsi P (Ω) contient l'ensemble des événements simples ou complexes pouvant être définis comme
une issue de l'expérience aléatoire.
Le sous ensemble vide noté ø est l'événement nul.
L'événement E tel que « E = Ω, » est un événement certain, car le débouché de l'expérience est
certain.
Tandis que l'événement E est tel que « E = ø », est un événement dit impossible, car il ne peut
exister.
Relations entre Evénements
Il existe deux notions relationnelles importantes: l'incompatibilité et l'implication.
Soit deux événements E1 et E2 incompatible, c'est à
dire que si l'un survient l'autre ne peut se réaliser, les
événements ne peuvent survenir simultanément.
Si la réalisation de l'événement E1 implique l'élément E2,
on parle d'implication. C'est à dire, la réalisation d'un
élément engendre la réalisation d'un autre.

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b) Opération sur les événements
Il existe trois opérateurs:
- La complémentation "non" est pour exemple complément de
- L'intersection "Et" noté 
- Et l'union "Ou" noté 
Exemples:
Soit trois événementtel que:
L'événement : "Il pleuvra et il fera froid" est l'intersection
(jaune) des cercles rouge et vert.
L'événement "il fera froid, mais ne pleuvra pas" : est
l'espace orange.
L'événement "Il pleuvra, ventera et fera froid":  est
l'intersection violette des trois cercles
L'événement "il pleuvra ou fera froid ou ventera" :  est
l'espace violet.
L'événement "il ne pleuvra pas et ne fera pas froid et ne ventera pas"
est l'espace violet, c'est à dire 
La règle de Morgan: 
Enfin, un dernier exemple: L'événement "un seul des événements se
produira":   est
l'espace violet présenté.