1M002 - Quatrième partie: Algèbre linéaire Chapitre 10 : Espaces

1M002 - Quatri`eme partie: Alg`ebre lin´eaire
Chapitre 10 : Espaces vectoriels et applications lin´eaires
Antonin Guilloux
16 mars 2017
Antonin Guilloux Espaces vectoriels 16 mars 2017 1 / 12

Introduction
Qu’est ce qu’un espace vectoriel ?
C’est une structure qui regroupe beaucoup d’exemples.
C’est un ensemble Edans lequel on sait :
additionner les ´el´ements entre eux,
les multiplier par un scalaire (un nombre r´eel ou complexe)
et ces op´erations se comportent comme pour les vecteurs du plan :
il y a un vecteur nul, not´e 0E,
on peut distribuer la multiplication sur l’addition...
On ne donnera pas la d´efinition, mais une liste d’exemple.
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Introduction
Les espaces vectoriels, exemples fondamentaux
Sur RSur C
R,R2,R3,Rn(nentier) C,C2,C3,Cn(nentier)
Les suites r´eelles SRLes suites complexes SC
Les fonctions r´eelles F(R,R)Les fonctions complexes F(R,C)
Les polynˆomes R[X]Les polynˆomes C[X]
Les espaces de matrices Mp,q(R)Les espaces de matrices Mp,q(C)
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Combinaison lin´eaire et sous-espace vectoriel
Combinaison lin´eaire
K, dans tout ce cours, veut dire Rou C. Soit Eun K-espace vectoriel.
D´efinition
Si on a des vecteurs v1, . . . vndans Eet des scalaires λ1,...λndans K, la
combinaison lin´eaire des vide coefficients λiest la somme :
n
X
i=1
λi·vi.
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Combinaison lin´eaire et sous-espace vectoriel
Combinaison lin´eaire, exemples
Dans Rn, l’ensemble des combinaisons lin´eaires d’un vecteur vnon
nul est la droite des vecteurs qui lui sont proportionnels.
Dans R2, tout vecteur v= x
y!est une combinaison lin´eaire des
deux vecteurs «de base »v1= 1
0!et v2= 0 1!:
v=x·v1+y·v2.
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