1M002 - Quatrième partie: Algèbre linéaire Chapitre 10 : Espaces
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1M002 - Quatrième partie: Algèbre linéaire Chapitre 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Antonin Guilloux 16 mars 2017 Antonin Guilloux Espaces vectoriels 16 mars 2017 1 / 12 Introduction Qu’est ce qu’un espace vectoriel ? C’est une structure qui regroupe beaucoup d’exemples. C’est un ensemble E dans lequel on sait : additionner les éléments entre eux, les multiplier par un scalaire (un nombre réel ou complexe) et ces opérations se comportent comme pour les vecteurs du plan : il y a un vecteur nul, noté 0E , on peut distribuer la multiplication sur l’addition... On ne donnera pas la définition, mais une liste d’exemple. Antonin Guilloux Espaces vectoriels 16 mars 2017 2 / 12 Introduction Les espaces vectoriels, exemples fondamentaux Sur R Sur C R,R2 , R3 , Rn (n entier) C, C2 , C3 , Cn (n entier) Les suites réelles SR Les suites complexes SC Les fonctions réelles F(R, R) Les fonctions complexes F(R, C) Les polynômes R[X ] Les polynômes C[X ] Les espaces de matrices Mp,q (R) Les espaces de matrices Mp,q (C) Antonin Guilloux Espaces vectoriels 16 mars 2017 3 / 12 Combinaison linéaire et sous-espace vectoriel Combinaison linéaire K, dans tout ce cours, veut dire R ou C. Soit E un K-espace vectoriel. Définition Si on a des vecteurs v1 , . . . vn dans E et des scalaires λ1 , . . . λn dans K, la combinaison linéaire des vi de coefficients λi est la somme : n X λi · vi . i=1 Antonin Guilloux Espaces vectoriels 16 mars 2017 4 / 12 Combinaison linéaire et sous-espace vectoriel Combinaison linéaire, exemples Dans Rn , l’ensemble des combinaisons linéaires d’un vecteur v non nul est la droite des vecteurs qui lui sont proportionnels. Dans R2 , tout vecteur v = x y ! est une combinaison linéaire des ! deux vecteurs « de base » v1 = 1 0 et v2 = 0 1 ! : v = x · v1 + y · v2 . Antonin Guilloux Espaces vectoriels 16 mars 2017 5 / 12 Combinaison linéaire et sous-espace vectoriel Combinaison linéaire et systèmes linéaires Soit AX = b un système linéaire, et notons x1 . . A = (C1 |C2 | . . . |Cn ) et X = . une solution. xn Alors : b = x1 C1 + . . . + xn Cn . Autrement dit, b est combinaison linéaire des colonnes de A, et les coefficients sont donnés par le vecteur solution X . Antonin Guilloux Espaces vectoriels 16 mars 2017 6 / 12 Combinaison linéaire et sous-espace vectoriel Sous-espaces vectoriels Question de cours : Définition des sous-espaces vectoriels On appelle sous-espace vectoriel un sous-ensemble F non-vide de E qui est stable par combinaison linéaire. Si des vecteurs v1 , . . . , vn sont dans F et si λ1 , . . . , λn sont dans K, alors n X λi · vi ∈ F . i=1 Remarque : notamment, 0E est dans tous les sous-espaces vectoriels. Proposition Soit F un sous-ensemble non-vide de E . Alors : F est un sous-espace vectoriel ⇔ pour tous u, v dans F et λ dans K, u+λ·v ∈F Remarque : un sous-espace vectoriel est un espace vectoriel ! Antonin Guilloux Espaces vectoriels 16 mars 2017 7 / 12 Combinaison linéaire et sous-espace vectoriel Exemples ~0 et E sont des sous-espaces vectoriels de E . L’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène AX = 0 est un sous-espace vectoriel de Rn . Dans R2 la droite horizontale y = 0 est un sous-espace vectoriel. Dans SR , l’ensemble des suites bornées est un sous-espace vectoriel. Dans SR , l’ensemble des suites convergentes est un sous-espace vectoriel. Dans F(R, R), l’ensemble des fonctions continues est un sous-espace vectoriel. ... Antonin Guilloux Espaces vectoriels 16 mars 2017 8 / 12 Combinaison linéaire et sous-espace vectoriel Espace vectoriel engendré Soit v1 , . . . , vn une famille de vecteurs de E . On note : Vect(v1 , . . . , vn ) l’ensemble des combinaisons linéaires de ces vecteurs. Question de cours : Espace vectoriel engendré L’ensemble Vect(v1 , . . . vn ) est un sous-espace vectoriel de E ; c’est le plus petit sous-espace vectoriel contenant tous les vecteurs v1 , . . ., vn . Systèmes linéaires L’ensemble des vecteurs b tels que AX = b a une solution est l’espace vectoriel engendré par les colonnes de A. Antonin Guilloux Espaces vectoriels 16 mars 2017 9 / 12 Combinaison linéaire et sous-espace vectoriel Intersection de sous-espaces vectoriels [email protected] Proposition Si F et F 0 sont deux sous-espaces vectoriels de E , alors F ∩ F 0 l’est aussi. Attention ! C’est faux pour l’union. Antonin Guilloux Espaces vectoriels 16 mars 2017 10 / 12 Applications linéaires Applications linéaires On se fixe deux espaces vectoriels E et E 0 . Question de cours : Définition d’application linéaire f : E → E 0 est une application linéaire si elle préserve la somme et la multiplication par un scalaire : ∀u, v ∈ E , λ ∈ K, f (u + λ · v ) = f (u) + λ · f (v ). Exemples Les rotations et homothéties du plan de centre 0 sont des applications linéaires. x L’application y 7→ x − y + z est linéaire de C3 dans C. z Sur l’espace des suites réelles convergentes, l’application (un )n∈N 7→ lim(un ) est linéaire. Antonin Guilloux Espaces vectoriels 16 mars 2017 11 / 12 Applications linéaires Quelques propriétés Application linéaire et combinaison linéaire f : E → E 0 est linéaire si et seulement si : P pour toute combinaison linéaire n1 λi · vi d’éléments de E , on a n X f 1 λi · vi = n X λi · f (vi ). 1 0 est envoyé sur 0 Soit f : E → E 0 une application linéaire. Alors f (0E ) = 0E 0 et f (−u) = −f (u). Antonin Guilloux Espaces vectoriels 16 mars 2017 12 / 12
