DM 3 DEUX LIMITES UTILES TS PARTIE A Un calcul d'aires pé ù Soit x un réel de l'intervalle ú 0 ; ê et M le point du cercle trigonométrique C tel qu'une mesure, en radians, de 2ë û ® ® l'angle ( OI , OM ) soit x. Les éléments géométriques utilisés par la suite sont décrits dans la figure ci-dessous : J C T M S x O C I 1. Exprimer, en fonction de x, les distances OC, OS et IT. 2. Exprimer, en fonction de x, les aires des triangles OIM et OIT. 3. Exprimer, en fonction de x, l'aire du secteur angulaire IOM. pé ù 4. Déduire des questions précédentes que pour tout x de ú 0 ; ê : 2ë û sin x < x < tan x PARTIE B Calculs de limites pé ù 1. Déduire de la relation de la question A. 4. que pour tout réel x de ú 0 ; ê on a : 2ë û sin x cos x < <1 x sin x lorsque x tend vers 0 par valeur supérieure. En déduire la limite de x 2. Démontrer que la fonction ¦ : x Î * a En déduire la limite de sin x est paire. x sin x quand x tend vers 0. x ù p pé 3. Vérifier que pour tout réel x de ú - ; ê \ {0}, on a : û 2 2ë 2 1 - cos x 1 æ sin x ö ç ÷ = 1 + cos x è x ø x2 4. En déduire la limite de 1 - cos x cos x - 1 puis de lorsque x tend vers 0. x x2 Les deux résultats ci-dessous, démontrés dans la PARTIE B, ont leur importance et pourront être utilisés, à plusieurs reprises, au cours de l'année : lim x ®0 TS DM 3 : deux limites utiles sin x =1 x et Page 1 lim x ®0 cos x - 1 =0 x G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ FICHE D'AIDE À LA RÉALISATION DU DEVOIR MAISON n°3 AIDE 1 Aire d'un secteur angulaire R a Un secteur angulaire est caractérisé par son angle a et son rayon R : R L'aire S d'un secteur angulaire est proportionnelle à l'angle a. Par exemple si l'angle a double, alors l'aire du secteur angulaire double également. Nous connaissons l'aire (pR2) du disque de rayon R qui est en fait un secteur angulaire d'angle 2p. Établissons un tableau de proportionnalité : Angle du secteur angulaire 2p a Aire du secteur angulaire pR2 S=? L'égalité des produits en croix donne 2p S = apR2, ce qui donne le résultat suivant : S= 1 aR2 2 AIDE 2 Manipulations d'encadrements Étant donné un encadrement a < b < c entre quantités DE MÊME SIGNE, les manipulations suivantes sont possibles : · Passage à l'inverse (si a, b et c sont non nuls) : a < b < c devient 1 1 1 > > a b c (C'est une conséquence de la décroissance de l'application t a 1 sur ]0 ; +¥[) t · Multiplication par une quantité d strictement positive : a < b < c devient ad < bd < cd (C'est une conséquence de la croissance de l'application linéaire t a dt sur lorsque d > 0) · Multiplication par une quantité d strictement négative : a < b < c devient ad > bd > cd (C'est une conséquence de la décroissance de l'application linéaire t a dt sur lorsque d < 0) AIDE 3 Théorème des gendarmes Soient ¦, u et v des fonctions admettant des limites en un réel a. Si pour x assez proche de a, on a : u(x) ¦(x) v(x) et lim u(x) = lim v(x) = l x ®a alors : x ®a lim ¦(x) = l x ®a Ce théorème s'étend aux limites en –¥ et en +¥. TS DM 3 : deux limites utiles Page 2 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ DM 3 DEUX LIMITES UTILES : CORRIGÉ TS PARTIE A Un calcul d'aires 1. Le cercle C est trigonométrique, son rayon est donc égal à 1 : OM = OI = 1. Par définition du cosinus et du sinus, on a : OC = cos x et OS = sin x. D'après les relations métriques dans le triangle OIT rectangle en I, on a : tan x = IT = IT. OI base ´ hauteur ce qui donne : 2 OI ´ MC OI ´ OS sin x OI ´ IT tan x A (OIM) = = = et A (OIT) = = 2 2 2 2 2 1 3. D'après L'AIDE 1, l'aire du secteur angulaire S de rayon R = 1 et d'angle a = x est : S = x. 2 sin x 1 tan x 4. Il est clair (voir figure) que A (OIM) < S < A (OIT), donc < x< . En multipliant tous les 2 2 2 pé ù membres de l'encadrement par 2, il vient : sin x < x < tan x, pour tout réel x de ú 0 ; ê . 2ë û 2. L'aire A d'un triangle est donnée par A = PARTIE B Calculs de limites 1. Par passage à l'inverse (voir AIDE 2) dans l'encadrement de la question A.4., il vient : 1 1 cos x > > pour tout réel x de sin x x sin x pé ù úû 0 ; 2 êë pé ù En multipliant les membres de l'encadrement par la quantité positive sin x (puisque x Î ú 0 ; ê ), il vient : 2ë û sin x pé ù > cos x pour tout réel x de ú 0 ; ê 1> x 2ë û Nous savons que lim cos x = 1 et lim 1 = 1. D'après le théorème des gendarmes (AIDE 3) on en déduit : x ®0 x ®0 sin x =1 x 2. * est ensemble symétrique par rapport à 0 et pour tout x Î *, on a : sin(- x ) - sin x sin x ¦(-x) = = = = ¦(x) (- x ) x -x Ce qui prouve bien que la fonction ¦ est paire. lim x ®0+ En conséquence, elle admet une limite à gauche de 0 égale à sa limite à droite de 0, d'où : lim x ®0 sin x =1 x Remarque : cette limite n'est plus valable si x est exprimé dans une autre mesure que le radian. ù p pé 3. Pour tout réel x Î ú - ; ê \ {0}, on a : û 2 2ë 2 1 - cos x 1 sin 2 x 1 - cos2 x æ sin x ö = 2 = ç ÷ = 2 1 + cos x è x ø x (1 + cos x ) x (1 + cos x ) x2 2 4. Nous savons que lim x ®0 sin x æ sin x ö = 1, donc par produit : lim ç ÷ = 1. x ®0 è x ø x Nous savons également que lim (1 + cos x) = 2, donc par inverse : lim x ®0 x ®0 1 1 = . 1+ cos x 2 2 1 - cos x 1 1 1 æ sin x ö = lim ´1= ç ÷ = 2 x ®0 x ®0 1 + cos x è x ø 2 2 x 1 - cos x cos x - 1 En outre lim (-x) = 0, donc : lim (-x) ´ = lim =0 x ®0 x ®0 x ®0 x x2 cos x - 1 Conclusion : =0 lim x ®0 x D'où, par produit : TS DM 3 : deux limites utiles lim Page 3 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/