DM TS : deux limites utiles

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DM 3
DEUX LIMITES UTILES
TS
PARTIE A Un calcul d'aires
pé
ù
Soit x un réel de l'intervalle ú 0 ; ê et M le point du cercle trigonométrique C tel qu'une mesure, en radians, de
2ë
û
® ®
l'angle ( OI , OM ) soit x. Les éléments géométriques utilisés par la suite sont décrits dans la figure ci-dessous :
J
C
T
M
S
x
O
C
I
1. Exprimer, en fonction de x, les distances OC, OS et IT.
2. Exprimer, en fonction de x, les aires des triangles OIM et OIT.
3. Exprimer, en fonction de x, l'aire du secteur angulaire IOM.
pé
ù
4. Déduire des questions précédentes que pour tout x de ú 0 ; ê :
2ë
û
sin x < x < tan x
PARTIE B Calculs de limites
pé
ù
1. Déduire de la relation de la question A. 4. que pour tout réel x de ú 0 ; ê on a :
2ë
û
sin x
cos x <
<1
x
sin x
lorsque x tend vers 0 par valeur supérieure.
En déduire la limite de
x
2. Démontrer que la fonction ¦ : x Î * a
En déduire la limite de
sin x
est paire.
x
sin x
quand x tend vers 0.
x
ù p pé
3. Vérifier que pour tout réel x de ú - ; ê \ {0}, on a :
û 2 2ë
2
1 - cos x
1
æ sin x ö
ç
÷ =
1 + cos x è x ø
x2
4. En déduire la limite de
1 - cos x
cos x - 1
puis de
lorsque x tend vers 0.
x
x2
Les deux résultats ci-dessous, démontrés dans la PARTIE B, ont leur importance et pourront être utilisés, à
plusieurs reprises, au cours de l'année :
lim
x ®0
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sin x
=1
x
et
Page 1
lim
x ®0
cos x - 1
=0
x
G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
FICHE D'AIDE À LA RÉALISATION DU DEVOIR MAISON n°3
AIDE 1 Aire d'un secteur angulaire
R
a
Un secteur angulaire est caractérisé par son angle a et son rayon R :
R
L'aire S d'un secteur angulaire est proportionnelle à l'angle a. Par exemple si l'angle a double, alors l'aire du
secteur angulaire double également. Nous connaissons l'aire (pR2) du disque de rayon R qui est en fait un
secteur angulaire d'angle 2p. Établissons un tableau de proportionnalité :
Angle du secteur angulaire
2p
a
Aire du secteur angulaire
pR2
S=?
L'égalité des produits en croix donne 2p S = apR2, ce qui donne le résultat suivant :
S=
1
aR2
2
AIDE 2 Manipulations d'encadrements
Étant donné un encadrement a < b < c entre quantités DE MÊME SIGNE, les manipulations suivantes sont
possibles :
· Passage à l'inverse (si a, b et c sont non nuls) : a < b < c devient
1
1 1
> >
a
b c
(C'est une conséquence de la décroissance de l'application t a
1
sur ]0 ; +¥[)
t
· Multiplication par une quantité d strictement positive : a < b < c devient ad < bd < cd
(C'est une conséquence de la croissance de l'application linéaire t a dt sur  lorsque d > 0)
· Multiplication par une quantité d strictement négative : a < b < c devient ad > bd > cd
(C'est une conséquence de la décroissance de l'application linéaire t a dt sur  lorsque d < 0)
AIDE 3 Théorème des gendarmes
Soient ¦, u et v des fonctions admettant des limites en un réel a.
Si pour x assez proche de a, on a :
u(x)  ¦(x)  v(x)
et
lim u(x) = lim v(x) = l
x ®a
alors :
x ®a
lim ¦(x) = l
x ®a
Ce théorème s'étend aux limites en –¥ et en +¥.
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DM 3
DEUX LIMITES UTILES : CORRIGÉ
TS
PARTIE A Un calcul d'aires
1. Le cercle C est trigonométrique, son rayon est donc égal à 1 : OM = OI = 1.
Par définition du cosinus et du sinus, on a : OC = cos x et OS = sin x.
D'après les relations métriques dans le triangle OIT rectangle en I, on a : tan x =
IT
= IT.
OI
base ´ hauteur
ce qui donne :
2
OI ´ MC OI ´ OS sin x
OI ´ IT tan x
A (OIM) =
=
=
et
A (OIT) =
=
2
2
2
2
2
1
3. D'après L'AIDE 1, l'aire du secteur angulaire S de rayon R = 1 et d'angle a = x est : S = x.
2
sin x
1
tan x
4. Il est clair (voir figure) que A (OIM) < S < A (OIT), donc
< x<
. En multipliant tous les
2
2
2
pé
ù
membres de l'encadrement par 2, il vient : sin x < x < tan x, pour tout réel x de ú 0 ; ê .
2ë
û
2. L'aire A d'un triangle est donnée par A =
PARTIE B Calculs de limites
1. Par passage à l'inverse (voir AIDE 2) dans l'encadrement de la question A.4., il vient :
1
1
cos x
>
>
pour tout réel x de
sin x x
sin x
pé
ù
úû 0 ; 2 êë
pé
ù
En multipliant les membres de l'encadrement par la quantité positive sin x (puisque x Î ú 0 ; ê ), il vient :
2ë
û
sin x
pé
ù
> cos x pour tout réel x de ú 0 ; ê
1>
x
2ë
û
Nous savons que lim cos x = 1 et lim 1 = 1. D'après le théorème des gendarmes (AIDE 3) on en déduit :
x ®0
x ®0
sin x
=1
x
2. * est ensemble symétrique par rapport à 0 et pour tout x Î *, on a :
sin(- x ) - sin x sin x
¦(-x) =
=
=
= ¦(x)
(- x )
x
-x
Ce qui prouve bien que la fonction ¦ est paire.
lim
x ®0+
En conséquence, elle admet une limite à gauche de 0 égale à sa limite à droite de 0, d'où :
lim
x ®0
sin x
=1
x
Remarque : cette limite n'est plus valable si x est
exprimé dans une autre mesure que le radian.
ù p pé
3. Pour tout réel x Î ú - ; ê \ {0}, on a :
û 2 2ë
2
1 - cos x
1
sin 2 x
1 - cos2 x
æ sin x ö
= 2
=
ç
÷ = 2
1 + cos x è x ø
x (1 + cos x ) x (1 + cos x )
x2
2
4. Nous savons que lim
x ®0
sin x
æ sin x ö
= 1, donc par produit : lim ç
÷ = 1.
x ®0 è x ø
x
Nous savons également que lim (1 + cos x) = 2, donc par inverse : lim
x ®0
x ®0
1
1
= .
1+ cos x 2
2
1 - cos x
1
1
1
æ sin x ö
= lim
´1=
ç
÷ =
2
x ®0
x ®0 1 + cos x è x ø
2
2
x
1 - cos x
cos x - 1
En outre lim (-x) = 0, donc : lim (-x) ´
= lim
=0
x ®0
x ®0
x ®0
x
x2
cos x - 1
Conclusion :
=0
lim
x ®0
x
D'où, par produit :
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lim
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