ma thèse

Th`ese de Doctorat
Sp´ecialit´e Math´ematiques
Pr´esent´ee `a :
L’universit´e de Picardie Jules Verne
par
Baptiste Rognerud
Pour obtenir le grade de Docteur de l’universit´e de Picardie Jules Verne.
Equivalences de blocs d’alg`ebres
de Mackey.
Soutenue le 3 d´ecembre 2013, apr`es avis des rapporteurs, devant le jury d’examen :
Rapporteurs : Pr. Markus Linckelmann - City University (London).
Pr. Peter Symonds - University of Manchester.
Directeur : Pr. Serge Bouc - CNRS (Amiens).
Examinateurs : Pr. Michel Brou´ e- Paris Diderot.
M.C.F. Radu Stancu - U.P.J.V. (Amiens).
Pr. Jacques Th´ evenaz - EPFL (Lausanne).
Pr. Alexander Zimmermann - U.P.J.V. (Amiens).

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Remerciements.
Cette Th`ese est financ´ee par le CNRS et la r´egion Picardie sur fond FEDER.
Je remercie ces deux organismes. Je remercie ´egalement ECOS pour le
projet M10M01 qui m’a permis de me rendre au Mexique.
Je veux, dans un premier temps, remercier Serge Bouc qui a accept´e
d’encadrer mon stage de master ainsi que cette th`ese. Je le remercie pour ses
pr´ecieux conseils, sa rigueur math´ematique et sa disponibilit´e. Au cours des
trois ann´ees et epsilon de cette th`ese, nous avons eu, approximativement,
106 rendez-vous et j’ai pu appr´ecier sa bonne humeur, ses connaissances et
la qualit´e de sa vision math´ematique. Sa philosophie sur les foncteurs de
Mackey peut se paraphraser de la fa¸con suivante : ‘du bon usage du foncteur
de Burnside’. J’esp`ere que cette philosophie est visible dans cette th`ese.
Je remercie chaleureusement Markus Linckelmann et Peter Symonds pour
avoir accept´e de rapporter cette th`ese. Je les remercie pour la qualit´e de leur
travail.
Je suis tr`es honor´e d’avoir dans mon jury de th`ese des chercheurs aussi
´eminents et importants que Michel Brou´e, Radu Stacu, Jacques Th´evenaz
et Alexander Zimmermann.
Je souhaite ´egalement remercier Alexander Zimmermann pour sa disponi-
bilit´e et son aide pr´ecieuse sur les alg`ebres d’arbre de Brauer et les ordres
de Green. Je le remercie d’avoir accept´e de r´epondre `a mes nombreuses
questions pendant les cours sur les cat´egories d´eriv´ees et finalement de
m’avoir confi´e son livre en pr´eparation qui m’a ´et´e d’une grande aide.
Plus g´en´eralement je remercie les membres du LAMFA, qui ont rendu
possibles et agr´eables ces trois ann´ees de th`ese. Les nombreux s´eminaires et
groupes de travail auxquels j’ai assist´e m’ont permis de garder la motivation
et d’´elargir ma vision des math´ematiques au contact de chercheurs interna-
tionaux. Je remercie plus particuli`erement l’´equipe “ groupes ” du LAMFA.
Etre doctorant c’est aussi affronter le froid et le caf´e soluble dans la bonne
humeur. Je ne vais pas faire de liste qui serait probablement lacunaire,
simplement un grand merci `a tous ceux qui ont fr´equent´e les salles BC011-
BC013 entre 2010 et 2013 et plus particuli`erement ceux dont j’ai partag´e le
bureau. Merci `a Maxime Ducellier pour les discussions bi-ensemblistes et non
math´ematiques que nous avons eues cette ann´ee. Je remercie sp´ecialement
Thomas Gobet qui a import´e de Suisse sa m´ethode de rangement et sa
grande culture math´ematique qu’il a accept´e de partager lors des nombreuses
s´eances du groupe de travail des doctorants. L’environnement scientifique
dans lequel cette th`ese a eu lieu a ´et´e excellent et la pr´esence de Thomas
dans les bureaux n’y est pas ´etrang`ere.
Au cours de cette th`ese j’ai pass´e cinq mois `a Morelia au Mexique. Ces

quelques mois ont ´et´e tr`es instructifs et tr`es int´eressants autant d’un point
de vue math´ematiques que d’un point de vue humain.
A todos mis amigos de M´exico, les agradezco infinitamente por el re-
cibimiento que me dieron. Pasar cinco meses en Morelia fue muy bella
experiencia. Lo disfrut´e, realmente.
Gracias a Gerardo y a Tanja por las veces que comimos juntos y las
conversaciones que tuvimos, donde compartimos algunos gustos en com´un.
(With the very british pronunciation) I would like to thank Luis Valero for
his good mood and for helping me to start with GAP4.
Mr. Tacho, gracias por las incontables pl´aticas, m´as o menos matem´aticas,
que tuvimos en Francia o en Morelia, con cerveza o sin cerveza.
Nadia R. gracias por haber invitado a Serge a Morelia y haber contribuido
a la creaci´on del proyecto biset. Gracias por haberme ense˜nado el kit de
”sobrevive al espa˜nol”, antes de mi llegada a M´exico. Y, por supuesto,
gracias por algunas disputas, m´as o menos matem´aticas.
Je remercie mes parents, mon fr`ere et mes soeurs pour leur soutien de tous
les jours. Je suis sˆur que les discussions physico-math´ematiques du samedi
soir vont vous manquer.
Merci de tout mon coeur `a Nadia B. qui sait pourquoi.
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Table des mati`eres
1 Introduction. 7
2 Conjecture du d´efaut ab´elien de Brou´e. 13
2.1 Introduction. ........................... 13
2.2 Equivalences entre blocs d’alg`ebres de groupes. . . . . . . . . . 14
2.3 Conjecture du d´efaut ab´elien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Notations et conventions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Rappels sur les foncteurs de Mackey. 19
3.1 Introduction. ........................... 19
3.2 Foncteurs de Mackey, diff´erentes d´efinitions. . . . . . . . . . . 20
3.3 Quelques foncteurs entre cat´egories de Mackey. . . . . . . . . . 27
3.3.1 Induction, restriction et isomorphismes. . . . . . . . . . 28
3.3.2 Foncteur d’inflation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.3 Construction de Dress. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 D´ecomposition de la cat´egorie MackR(G) induite par l’anneau
deBurnside............................. 33
3.4.1 Le centre d’une cat´egorie. . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4.2 Morphisme de B(G) vers le centre de MackR(G). . . . 34
3.5 Foncteurs de Mackey simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.6 Foncteurs de Mackey projectifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7 Blocs d’alg`ebres de Mackey p-locales. .............. 39
3.7.1 Anneau de Burnside crois´e. . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.7.2 Idempotents primitifs centraux de µ1
R(G). ....... 41
3.8 Exemple d’´equivalence entre blocs d’alg`ebres de Mackey p-
locales................................ 44
4 Quelques cas particuliers. 47
4.1 Introduction. ........................... 47
4.2 Matrice de d´ecomposition des alg`ebres de Mackey p-locales. . . 48
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