Le cours - mathscassini

BTS CGO Variables aléatoires discrètes 2013/2014
Variables aléatoires discrètes
Table des matières
I Variable aléatoire 2
I.1 Notion de variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.2 Loi d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.3 Espérance d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.4 Variance et écart-type d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.5 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I.6 loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I.7 Exercices ............................................... 5
-1-

BTS CGO Variables aléatoires discrètes 2013/2014
I Variable aléatoire
I.1 Notion de variable aléatoire discrète
Définition 1
Une grandeur numérique Xprenant, lors d’une expérience aléatoire, des valeurs x1, x2, ..., xnavec des
probabilités p1, p2, ..., pnest une variable aléatoire discrète.
Exemple 1
Un jeu de hasard consiste à lancer un dé équilibré à 6faces. Le lanceur gagne la somme double de la valeur de la face
obtenue si celle-ci est paire, sinon, il perd le double de la valeur indiquée par le dé.
On appelle Xle gain, positif ou négatif, du joueur après un lancer.
➔Ici, l’ensemble des issues possibles est Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6},
➔on a défini avec Xune variable aléatoire réelle telle que :
X(1) = −2,X(2) = 4,X(3) = −6,X(4) = 8,X(5) = −10 et X(6) = 12.
I.2 Loi d’une variable aléatoire
Définition 2
La loi de probabilité de la variable aléatoire Xest la fonction fqui a chaque valeur associe sa probabilité.
Remarque 1
En général, on présente la loi d’une variable aléatoire Xsous la forme d’un tableau, qui récapitule les valeurs
prises par Xainsi que les probabilités associées.
Dans tout le reste du chapitre, on considèrera la variable aléatoire discrète de loi :
Valeurs de X:xix1x2x3... xn
Probabilité : p(X=xi)p1p2p3... pn
Exemple 2
On reprend l’énoncé de l’exemple précédent. La loi de Xest donnée par :
xi−10 −6−2 4 8 12
p(X=xi)1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Exemple 3
On dispose d’un jeu de 32 cartes. On tire une carte dans ce jeu, et on attribue à ce tirage la valeur Xcalculée suivant la
règle suivante :
➔si la carte est un Roi, Xvaut 4points,
➔si la carte est une Dame, Xvaut 3points,
➔si la carte est un Valet, Xvaut 1point,
➔toutes les autres cartes valent 0point.
-2-

BTS CGO Variables aléatoires discrètes 2013/2014
La loi de Xest donnée par :
xi0 1 3 4
p(X=xi)5
8
1
8
1
8
1
8
Remarque 2
On note que pour chacun de ces tableaux, la somme des probabilités élémentaires fait 1, en accord avec l’un
des axiomes des probabilités !
I.3 Espérance d’une variable aléatoire
Définition 3
Soit Xune variable aléatoire discrète, on appelle espérance de la variable aléatoire Xle réel noté E(X)
qui vaut :
E(X) = p1x1+p2x2+... +pnxn=
n
X
i=1
pixi.
Remarque 3
Ce nombre important en probabilités représente la valeur moyenne de la variable aléatoire X.
Exemple 4
On reprend le jeu de cartes étudié précédemment.
On rappelle que la loi de Xest donnée par :
xi0 1 3 4
p(X=xi)5
8
1
8
1
8
1
8
D’où le calcul de l’espérance :
➔E(X) = 0 ×5
8+ 1 ×1 8+ 3 ×1 8+ 4 ×1 8
➔E(X) = 8
8= 1.
➔Concrètement, cela signifie "qu’en moyenne", le joueur gagne 1point.
I.4 Variance et écart-type d’une variable aléatoire
Définition 4
Soit Xune variable aléatoire aléatoire discrète d’espérance E(X).
➤On appelle variance de la variable aléatoire Xle réel noté V(X)qui vaut :
V(X) = p1[x1−E(X)]2+p2[x2−E(X)]2+... +pn[xn−E(X)]2=
n
X
i=1
pi[xi−E(X)]2.
➤On appelle écart-type de Xle réel noté σ(X)ou σXdéfini par :
σ(X) = qV(X).
-3-

BTS CGO Variables aléatoires discrètes 2013/2014
Exemple 5
Calcul de la variance pour le jeu de cartes :
➔V(X) = 5
8[0 −1]2+1 8[1 −1]2+1 8[3 −1]2+1 8[4 −1]2
➔V(X) = 5
8+ 0 + 4 8+9 8=9 4= 2,25.
D’où l’écart-type :
➔σ(X) = σx=r9
4=σx=3 2= 1,5.
I.5 Loi de Bernoulli
Définition 5
Une expérience de Bernoulli est une expérience qui n’a que deux issues possibles, l’une appelée « succès »
qui a pour probabilité p, l’autre appelée « échec » qui a pour probabilité q= 1 −p.
Définir une loi de Bernoulli de paramètre p, c’est associer une loi de probabilité discrète à cette
expérience aléatoire en faisant correspondre la valeur 1à l’apparition d’un succès et 0à celle d’un échec.
xi1 0
p(X=xi)p1−p
Exemple 6
Si on lance un dé et qu’on nomme « succès » l’apparition de la face 6, on obtient la loi de Bernoulli suivante :
xi1 0
p(X=xi)1
6
5
6
Propriété 1
Soit Xune variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli B(p), alors :
♦L’espérance de Xvaut E(X) = p.
♦La variance de Xvaut V(X) = pq.
Exemple 7
Dans l’exemple précédent, on obtient E(X) = 1
6et V(X) = 5 36.
I.6 loi binomiale
Définition 6
La loi binomiale de paramètres net p, notée B(n;p)est la loi de probabilité du nombre de succès
dans la répétition de nexpériences de Bernoulli de paramètre pidentiques et indépendantes.
Elle est définie par :
P(X=k) = 
n
k
×pk×qn−k,∀0≤k≤n.
-4-

BTS CGO Variables aléatoires discrètes 2013/2014
Exemple 8
On lance 2fois un dé bien équilibré. On s’intéresse à l’apparition de la face 6. Chaque lancer est une expérience de Bernoulli
de paramètre 1
6. On obtient donc une loi binomiale B2; 1
6.
nombre de succès 0 1 2
probabilité 25
36
10
36
1
36
Propriété 2
Soit Xune variable aléatoire suivant une loi Binomiale B(n, p), alors :
♦L’espérance de Xvaut E(X) = np.
♦La variance de Xvaut V(X) = npq.
Exemple 9
Dans l’exemple précédent, on obtient E(X) = 1
3et V(X) = 5 18.
I.7 Exercices
EXERCICE
Une urne contient sept boules : une rouge, deux jaunes et quatre vertes. Un joueur tire au hasard une boule
Si elle est rouge, il gagne 10 euros , si elle est jaune, il perd 5 euros, si elle est verte, il tire une deuxième
boule de l’urne sans avoir replacé la première boule tirée. Si cette deuxième boule est rouge, il gagne 8 ?,
sinon il perd 4 euros.
1. Construire un arbre pondéré représentant l’ensemble des éventualités de ce jeu.
2. Soit X la variable aléatoire associant à chaque tirage le gain algébrique du joueur (une perte est
comptée négativement).
(a) Établir la loi de probabilité de la variable X
(b) Calculer l’espérance de X
3. Les conditions de jeu restent identiques. Indiquer le montant du gain algébrique qu’il faut attribuer à
un joueur lorsque la boule tirée au deuxième tirage est rouge, pour que l’espérance de X soit nulle.
EXERCICE
On considère un dé rouge et un dé vert, cubiques, équilibrés. Le dé rouge comporte : deux faces numérotées
-1 ; deux faces numérotées 0 ; deux faces numérotées 1. Le dé vert comporte : une face numérotée 0 ;trois
faces numérotées 1 ;deux faces numérotées 2. On lance simultanément les deux dés. On note X la somme des
points obtenus.
Déterminer la loi de probabilité de X.
EXERCICE
Un comité hippique organise une course de chevaux. Six chevaux, numérotés de 1 à 6, sont au départ de
la course. On appelle "arrivée" un couple (a ; b) où a désigne le numéro du cheval qui arrive premier de la
course et b le numéro du cheval qui arrive deuxième. par exemple, l’arrivée (5 ; 3) signifie que le cheval arrivé
premier porte le numéro 5 et que le cheval arrivé deuxième porte le numéro 3. On suppose qu’il n’y a pas
d’ex-æquo et que les différentes arrivées possibles sont équiprobables.
1. Quel est le nombre d’arrivées possibles ? Justifier.
-5-