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BTS CGO
2013/2014
Variables aléatoires discrètes
Variables aléatoires discrètes
Table des matières
I
Variable aléatoire
I.1 Notion de variable aléatoire discrète
I.2 Loi d’une variable aléatoire . . . . .
I.3 Espérance d’une variable aléatoire .
I.4 Variance et écart-type d’une variable
I.5 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . .
I.6 loi binomiale . . . . . . . . . . . . .
I.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . .
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aléatoire
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2
2
3
3
4
4
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I
I.1
2013/2014
Variables aléatoires discrètes
Variable aléatoire
Notion de variable aléatoire discrète
Définition 1
Une grandeur numérique X prenant, lors d’une expérience aléatoire, des valeurs x1 , x2 , ..., xn avec des
probabilités p1 , p2 , ..., pn est une variable aléatoire discrète.
Exemple 1
Un jeu de hasard consiste à lancer un dé équilibré à 6 faces. Le lanceur gagne la somme double de la valeur de la face
obtenue si celle-ci est paire, sinon, il perd le double de la valeur indiquée par le dé.
On appelle X le gain, positif ou négatif, du joueur après un lancer.
➔ Ici, l’ensemble des issues possibles est Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6},
➔ on a défini avec X une variable aléatoire réelle telle que :
X(1) = −2, X(2) = 4, X(3) = −6, X(4) = 8, X(5) = −10 et X(6) = 12.
I.2
Loi d’une variable aléatoire
Définition 2
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est la fonction f qui a chaque valeur associe sa probabilité.
Remarque 1
En général, on présente la loi d’une variable aléatoire X sous la forme d’un tableau, qui récapitule les valeurs
prises par X ainsi que les probabilités associées.
Dans tout le reste du chapitre, on considèrera la variable aléatoire discrète de loi :
Valeurs de X : xi
x1
x2
x3
...
xn
Probabilité : p(X = xi )
p1
p2
p3
...
pn
Exemple 2
On reprend l’énoncé de l’exemple précédent. La loi de X est donnée par :
xi
−10
−6
−2
4
8
12
p(X = xi )
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Exemple 3
On dispose d’un jeu de 32 cartes. On tire une carte dans ce jeu, et on attribue à ce tirage la valeur X calculée suivant la
règle suivante :
➔ si la carte est un Roi, X vaut 4 points,
➔ si la carte est une Dame, X vaut 3 points,
➔ si la carte est un Valet, X vaut 1 point,
➔ toutes les autres cartes valent 0 point.
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Variables aléatoires discrètes
La loi de X est donnée par :
xi
0
1
3
4
p(X = xi )
5
8
1
8
1
8
1
8
Remarque 2
On note que pour chacun de ces tableaux, la somme des probabilités élémentaires fait 1, en accord avec l’un
des axiomes des probabilités !
I.3
Espérance d’une variable aléatoire
Définition 3
Soit X une variable aléatoire discrète, on appelle espérance de la variable aléatoire X le réel noté E(X)
qui vaut :
E(X) = p1 x1 + p2 x2 + ... + pn xn =
n
X
pi xi .
i=1
Remarque 3
Ce nombre important en probabilités représente la valeur moyenne de la variable aléatoire X.
Exemple 4
On reprend le jeu de cartes étudié précédemment.
On rappelle que la loi de X est donnée par :
xi
0
1
3
4
p(X = xi )
5
8
1
8
1
8
1
8
D’où le calcul de l’espérance :
5
1
1
1
➔ E(X) = 0 × + 1 × + 3 × + 4 ×
8
8
8
8
8
➔ E(X) = = 1.
8
➔ Concrètement, cela signifie "qu’en moyenne", le joueur gagne 1 point.
I.4
Variance et écart-type d’une variable aléatoire
Définition 4
Soit X une variable aléatoire aléatoire discrète d’espérance E(X).
➤ On appelle variance de la variable aléatoire X le réel noté V (X) qui vaut :
V (X) = p1 [x1 − E(X)]2 + p2 [x2 − E(X)]2 + ... + pn [xn − E(X)]2 =
n
X
pi [xi − E(X)]2 .
i=1
➤ On appelle écart-type de X le réel noté σ(X) ou σX défini par :
σ(X) =
q
V (X).
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2013/2014
Exemple 5
Calcul de la variance pour le jeu de cartes :
5
1
1
1
➔ V (X) = [0 − 1]2 + [1 − 1]2 + [3 − 1]2 + [4 − 1]2
8
8
8
8
4 9
9
5
➔ V (X) = + 0 + + = = 2, 25.
8
8 8
4
D’où l’écart-type :
r
9
3
➔ σ(X) = σx =
= σx = = 1, 5.
4
2
I.5
Loi de Bernoulli
Définition 5
Une expérience de Bernoulli est une expérience qui n’a que deux issues possibles, l’une appelée « succès »
qui a pour probabilité p, l’autre appelée « échec » qui a pour probabilité q = 1 − p.
Définir une loi de Bernoulli de paramètre p, c’est associer une loi de probabilité discrète à cette
expérience aléatoire en faisant correspondre la valeur 1 à l’apparition d’un succès et 0 à celle d’un échec.
xi
1
0
p(X = xi )
p
1−p
Exemple 6
Si on lance un dé et qu’on nomme « succès » l’apparition de la face 6, on obtient la loi de Bernoulli suivante :
xi
1
0
p(X = xi )
1
6
5
6
Propriété 1
Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli B(p), alors :
♦ L’espérance de X vaut E(X) = p.
♦ La variance de X vaut V (X) = pq.
Exemple 7
1
5
Dans l’exemple précédent, on obtient E(X) = et V (X) =
.
6
36
I.6
loi binomiale
Définition 6
La loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n; p) est la loi de probabilité du nombre de succès
dans la répétition de n expériences de Bernoulli de paramètre p identiques et indépendantes.
Elle est définie par :
 
n
P (X = k) =   × pk × q n−k , ∀ 0 ≤ k ≤ n.
k
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Variables aléatoires discrètes
Exemple 8
On lance 2 fois un dé bien équilibré. On s’intéresse à l’apparition de la face 6. Chaque lancer est une expérience de Bernoulli
1
1
de paramètre 6 . On obtient donc une loi binomiale B 2;
.
6
nombre de succès
0
1
2
probabilité
25
36
10
36
1
36
Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant une loi Binomiale B(n, p), alors :
♦ L’espérance de X vaut E(X) = np.
♦ La variance de X vaut V (X) = npq.
Exemple 9
1
5
.
Dans l’exemple précédent, on obtient E(X) = et V (X) =
3
18
I.7
Exercices
EXERCICE
Une urne contient sept boules : une rouge, deux jaunes et quatre vertes. Un joueur tire au hasard une boule
Si elle est rouge, il gagne 10 euros , si elle est jaune, il perd 5 euros, si elle est verte, il tire une deuxième
boule de l’urne sans avoir replacé la première boule tirée. Si cette deuxième boule est rouge, il gagne 8 ?,
sinon il perd 4 euros.
1. Construire un arbre pondéré représentant l’ensemble des éventualités de ce jeu.
2. Soit X la variable aléatoire associant à chaque tirage le gain algébrique du joueur (une perte est
comptée négativement).
(a) Établir la loi de probabilité de la variable X
(b) Calculer l’espérance de X
3. Les conditions de jeu restent identiques. Indiquer le montant du gain algébrique qu’il faut attribuer à
un joueur lorsque la boule tirée au deuxième tirage est rouge, pour que l’espérance de X soit nulle.
EXERCICE
On considère un dé rouge et un dé vert, cubiques, équilibrés. Le dé rouge comporte : deux faces numérotées
-1 ; deux faces numérotées 0 ; deux faces numérotées 1. Le dé vert comporte : une face numérotée 0 ;trois
faces numérotées 1 ;deux faces numérotées 2. On lance simultanément les deux dés. On note X la somme des
points obtenus.
Déterminer la loi de probabilité de X.
EXERCICE
Un comité hippique organise une course de chevaux. Six chevaux, numérotés de 1 à 6, sont au départ de
la course. On appelle "arrivée" un couple (a ; b) où a désigne le numéro du cheval qui arrive premier de la
course et b le numéro du cheval qui arrive deuxième. par exemple, l’arrivée (5 ; 3) signifie que le cheval arrivé
premier porte le numéro 5 et que le cheval arrivé deuxième porte le numéro 3. On suppose qu’il n’y a pas
d’ex-æquo et que les différentes arrivées possibles sont équiprobables.
1. Quel est le nombre d’arrivées possibles ? Justifier.
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2. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : A : " l’arrivée est (5 ; 3)" ; B : " le cheval
portant le numéro 5 est arrivé premier " ; C : " le cheval portant le numéro 6 est arrivé premier ou
deuxième ".
3. Le cheval arrivée premier rapporte 15 245 euros à son propriétaire. Le cheval arrivé deuxième rapporte
7622,5 euros à son propriétaire. Chacun des autres chevaux ne rapporte rien à son propriétaire. Monsieur Gold est propriétaire des chevaux portant les numéros 2 et 6 ; les autres chevaux participant à
la course ne lui appartiennent pas. On appelle X la variable aléatoire qui à chaque arrivée possible,
associe la somme , exprimée en euros, reçue par monsieur Gold à l’issue de la course.
(a) A l’aide d’un tableau donner la somme reçue par monsieur Gold pour chacune des arrivées
possibles.
(b) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
(c) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.
EXERCICE
Les résultats de cet exercice seront donnés sous forme décimale arrondie au centième.
Un camp d’adolescents propose des stages d’activités nautiques pour débutants avec au choix : Planche à
voile , plongée ou ski nautique. Lors d’un stage donné, ce camp accueille vingt jeunes don sept seront initiés
à la planche à voile, huit à la plongée et cinq au ski nautique. Chaque stagiaire ne pratique qu’une seule des
trois activités.
1. On forme un groupe de 3 stagiaires choisis au hasard parmi les vingt.
(a) Combien de groupes est-il possible de former ?
(b) Déterminez la probabilité de chacun des événements suivants : A : " les trois stagiaires pratiquent
des activités différentes " B : " Les trois stagiaires pratiquent la même activité " C : " Au moins
l’un des trois stagiaires pratique le ski nautique ".
2. Parmi les trois stagiaires, un seul se prénomme Christian. Chaque jour, on choisit un groupe de trois
stagiaires chargé du service au repas de midi.
(a) Montrez que la probabilité que Christian soit choisi un jour donné pour le service de midi est
égale à 0,15.
(b) La durée du stage est de cinq jours. Quelle est la probabilité de ne jamais choisir Christian pour
le service de midi pendant le séjour ?
(c) Quelle est la probabilité de le choisir exactement une fois ?
(d) Montrez que la probabilité de choisir Christian au moins deux fois est inférieur à 0,2 .
EXERCICE
Un entraîneur d’une équipe de football a étudié les statistiques de tir au but (penalty) de ses joueurs. Il a
alors remarquer que sur une série de cinq tirs au but, un joueur pris au hasard dans son équipe marque - 5
buts avec une probabilité de 0,2 - 4 buts avec une probabilité de 0,5 - 3 buts avec une probabilité de 0,3.
Chaque joueur, à l’entraînement, tire 2 séries de 5 ballons. On admet que les résultats d’un joueur à chacune
des 2 séries sont indépendants. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de tirs aux buts réussis par un
joueur au cours d’un entraînement
1. (a) Calculez la probabilité, pour un joueur pris au hasard, de réussir tous ses tirs au but lors d’un
entraînement
(b) Précisez les valeurs possibles pour X et établir sa loi de probabilité. (on pourra s’aider d’un arbre).
(c) Calculez l’espérance de X .
2. L’entraîneur considère que le joueur a réussi l’épreuve des tirs au but lorsque X > 8. Montrez que la
probabilité pour un joueur de réussir cette épreuve lors d’un entraînement est égale à 0,61 ;
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3. Chaque joueur participe à 10 séances d’entraînement. On admet que les épreuves de tirs au but sont
indépendantes les unes des autres. On appelle Y la variable aléatoire égale au nombre de succès d’un
joueur à l’épreuve des tirs au but au cours des ces 10 entraînements, c’est à dire le nombre de fois où
il a marqué au moins 8 buts. Si au cours d’une séance d’entraînement, il ne marque pas au moins 8
buts, on dit qu’il a eu un échec. Les résultats seront donnés par défaut, avec 3 chiffres après la virgule.
Calculez pour un joueur :
(a) la probabilité de n’avoir aucun échec lors des 10 séances.
(b) la probabilité d’avoir exactement 6 succès .
(c) la probabilité d’avoir au moins 1 succès.
(d) Calculez le nombre minimale d’entraînement auxquels doit participer un joueur pour que la
probabilité d’avoir au moins un succès soit supérieure à 0,99.
EXERCICE
Partie 1 :
Lors de la préparation d’un concours, un élève n’a étudié que 50 des 100 leçons. On a mis 100 papiers contenant chacun une question dans une urne, ces questions portant sur des leçons indépendantes. Le candidat
tire simultanément au hasard 2 papiers. On donnera les réponses sous forme de fractions irréductibles.
1. Quelle est la probabilité qu’il ne connaisse aucun de ces sujets ?
2. Quelle est la probabilité qu’il connaisse les deux sujets ?
3. Quelle est la probabilité qu’il connaisse un et un seul de ces sujets ?
4. Quelle est la probabilité qu’il connaisse au moins un de ces sujets ?
Partie 2 :
On considère maintenant que l’élève a étudié n des 100 leçons ( n étant un entier naturel inférieur ou égal
à 100).
1. Quelle est la probabilité Pn qu’il connaisse au moins un de ces sujets ?
2. Déterminez les entiers n tels Pn soit supérieur ou égal à 0,95.
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