201-105-RE Algèbre linéaire et géométrie vectoriel André Ross

201-105-RE
André Ross
Algèbre linéaire et géométrie vectoriel
Chapitre 1: Matrices
Mise en situation 1
Alice et Benoît vont au magasin
Ils achètent 2 types d’articles: Le premier article coûte x dollars et le second article coûte y dollars.
Alice achète 2 fois le premier article et une fois le deuxième article au prix de 12 dollars.
Benoît achète une fois le premier article et quatre fois le deuxième article au prix de 13 dollars.
Nous pouvons représenter cette situation par le système d’équations suivant:
1er article
2e article
Total
Alice
2x
+
y
=
12
Benoît
x
+
4y
=
13
Pour résoudre le système d’équations (trouver les valeurs de x et de y), nous verrons qu’il n’est pas
nécessaire de « traîner » les variables x et y ni les étiquettes de lignes et de colonnes. Il suffira alors
d’organiser l’information pertinentes dans un tableau (une matrice!) où les étiquettes de lignes et de
colonnes sont définies de façon implicite.
 2 1 12 
P=

1 4 13
On emploie généralement une lettre majuscule pour désigner une matrice.
Mise en situation 1 (Suite)
Alice et Benoît reviennent au magasin.
Alice retourne son article au prix y , rachète un article au prix x et paye 3 dollars.
Benoît retourne son article au prix x , rachète deux articles au prix y et reçoit 1 dollar.
Le détail de cette transaction est contenu dans la matrice suivante :
 1 −1 3 
Q=

 −1 2 −1
Au total, ils acheté et payé
 2 1 12   1 −1 3   2 + 1 1 − 1 12 + 3  3 0 15 
P+Q = 
+
=
=

1 4 13  −1 2 −1  1 − 1 4 + 2 13 − 1  0 6 12 
On peut donc additionner deux matrices en additionnant les élément correspondants entre eux.
Alice aura donc acheté 3 fois le premier article pour 15$. Benoît lui, aura acheté 6 fois le deuxième
article pour 12$. On peut aussi en déduire aisément le prix des deux articles ( x = 5 et y = 2 ).
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Chapitre 1: Matrices
Définition: Une matrice est un tableau rectangulaire constitué de m lignes et de n colonnes. On dit
alors que la matrice est de dimension m × n . Lire « m par n » et ne pas effectuer la multiplication.
Exemples:
Les matrices P , Q et P + Q de la mise en situation précédente sont tous de format 2 × 3 .
 2 1/ 2 
La matrice A =  5 −4  en est une de format 3 × 2 .
1 0 
Notation:
 a11
a
On note A =  21
 
 am1
a12
a22
am 2
a1n 
a2 n 
ou encore Am×n =  aij  .


amn 
aij est l’élément qui se trouve à l’intersection de la ligne i et de la colonne j .
 2 1/ 2 
Par exemple, si A =  5 −4  , alors a21 = 5 ; si B = [3 5] , alors b12 = 5 .
1 0 
On convient de noter une matrice par une lettre majuscule; s’il est nécessaire de préciser ses
dimensions, on les indique en indices; les lettres minuscules désignent les éléments (les entrées).
Définition: Deux matrices Am×n et B p×q sont égales ( A = B ) si et seulement si:
1) Les matrices ont la même dimension ( m = p et n = q );
2) Les éléments correspondants sont égaux ( aij = bij pour tout i et pour tout j ).
Notation: On dénote par M m×n l’ensemble des matrices de dimension m × n .
OPÉRATIONS SUR LES MATRICES ET MATRICES PARTICULIÈRES
Définition (Addition de matrices): Soit A =  aij  et B = bij  , deux matrices de même dimension
m × n . La somme de ces matrices, notée A + B , est une matrice de dimension m × n définie par
A + B =  aij  + bij  =  aij + bij  . Lorsque les matrices n’ont pas le même format, on dit de ces matrices
qu’elles sont incompatibles pour l’addition.
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Chapitre 1: Matrices
Exemples:
1 3
6 4
7 7 




Sachant que A =  2 5  et B = 5 2 . La somme des matrices A et B donne A + B = 7 7  .
 4 6 
 3 1 
7 7 
1 4 6
1 3
. La somme des matrices C et D est incompatible.
Sachant que C =  5 2 8  et D = 
4 2

7 9 3
Définition (Multiplication par un scalaire): Soit A =  aij  et k un scalaire (un nombre). La
multiplication de la matrice A par le scalaire k donne une matrice notée kA et définie par
kA = k  aij  =  kaij  (chaque élément est multiplié par le scalaire k ).
Exemples:
 −2 3 −3 
 2 −3 3 
Sachant que A = 
,
alors
(
−
1)
A
=
−
A
=
.

 −1 −7 π 
 1 7 −π 
notation
La matrice obtenue en changeant le signe de chacun des éléments de la matrice A est appelée la
matrice opposée de A . On note − A la matrice opposée à la matrice A .
0 0 0 
A + (− A) = 
= 0 2×3
0 0 0 

notation
De façon générale, le résultat de l’addition d’une matrice Am×n et de sont opposée − Am×n donne
la matrice nulle de dimension m × n , notée 0m×n , dont tous les éléments sont nuls.
Définition (Transposition): Soit A =  aij  . On appelle matrice transposée de A , notée At , la
m× n
e
matrice de dimension n × m dont la i colonne est la i e ligne de la matrice A pour i = 1, 2,..., m .
En d’autres mots, si A =  aij  ∈ M m×n , alors At = B = bij  ∈ M n×m où bij = a ji .
Exemple:
 −2 1 
 −2 3 −3 

t
Sachant que A = 
7  .
 alors A =  3
1
7
−
π


 −3 −π 
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Chapitre 1: Matrices
Petit lexique matriciel:
Définition 0.1: On appelle matrice CARRÉE d’ordre n toute matrice A de format n × n .
Définition 0.2: L’ORDRE d’une matrice carrée est le nombre de ses lignes (ou de ses colonnes).
Définition 0.3: On appelle DIAGONALE PRINCIPALE d’une matrice carrée tout les éléments de la forme
aii d’une matrice carrée. L’autre diagonale est appelée DIAGONALE SECONDAIRE.
TYPE
LIGNE
SPÉCIFICITÉ(S)
1) Format 1× m .
EXEMPLE(S)
[1 −2 −5]
COLONNE
1) Format n × 1 .
5 
3
 
NULLE
1) Format m × n ;
2) aij = 0 pour toutes les valeurs de i et de j .
0
02×3 = 
0
 1 −2
0 3

0 0
Notation: 0m×n
TRIANGULAIRE
SUPÉRIEURE
1) Format n × n ;
2) aij = 0 pour toutes les valeurs de i > j .
(zéros en dessous de la diagonale principale)
TRIANGULAIRE
INFÉRIEURE
1) Format n × n ;
2) aij = 0 pour toutes les valeurs de i < j .
(zéros au dessus de la diagonale principale)
DIAGONALE
1) Format n × n ;
2) aij = 0 pour toutes les valeurs i ≠ j .
IDENTITÉ
1) Format n × n ;
1 si i = j
2) aij = 
0 si i ≠ j
1) Format n × n ;
k si i = j
2) aij = 
(k ∈R )
 0 si i ≠ j
1) Format n × n ;
2) aij = a ji pour toutes les valeurs de i et de j .
Notation: I n
SCALAIRE
SYMÉTRIQUE
ANTISYMÉTRIQUE
1) Format n × n ;
2) aij = − a ji pour toutes les valeurs de i et de j .
0 0
0 0
2
1 1 
4  , 
0 0
−1 
3 0 0
1 2 0  , 1 0  , 0 = 0

 0 0 1 [ ]

0 0 3 
 0 0  1 0 
02 = 
, 

0 0  0 −1
1 0 
I1 = [1] , I 2 = 
 , I3 , …
0 1 
1 0   3 0 
I2 = 
, 

 0 1   0 3
 1 −3 4 
 −3 2 −1 , 0 , I

 m× n n
 4 −1 0 
 0 8 −2 
 −8 0 8  , 0 −1 , 0

  1 0  m× n

 2 −8 0  
Remarques:
1) Une matrice diagonale est à la fois triangulaire supérieure et triangulaire inférieure.
2) Une matrice scalaire peut s’exprimer comme kI n où k est un scalaire réel.
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Chapitre 1: Matrices
À faire cette semaine:
1)
2)
3)
4)
Acheter le livre d’André Ross (Alg. lin. et géométrie vectorielle, Applications en sc. hum.)
Relire vos notes de cours et\ou le chapitre 1 (p.3-9 + p.11-16).
Faire les exercices 1.2 # 1,6,7 (p.9) en classe et les autres à la maison.
Faire les exercices 1.4 # 1,2,3,7,8,12,17 (p.17) en classe et les autres à la maison.
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