Propriétés des matrices

ALGÈBRE LINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE VECTORIELLE
PROPRIÉTÉS DE L’ADDITION DE MATRICES
ET DE LA MULTIPLICATION D’UNE MATRICE PAR UN SCALAIRE
Démontrons les propriétés de la page 18 (Charron, Parent). Les opérateurs utilisés sont les suivants :
→ Le + sera utilisé pour désigner l’addition entre deux nombres réels;
→ Le ⊕ sera utilisé pour désigner l’addition entre deux matrices;
→ Le · sera utilisé pour désigner la multiplication entre deux nombres réels;
→ Le ⊗ sera utilisé pour désigner la multiplication d’une matrice par un nombre réel.
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
Propriétés des nombres réels
Commutativité de l’addition
a+b=b+a
Associativité de l’addition
a + (b + c) = (a + b) + c
Distributivité de la multiplication sur l’addition
a · (b + c) = a · b + a · c
Neutre de l’addition
a+0=0+a=a
Inverse de l’addition
a + (−a) = (−a) + a = 0
Commutativité de la multiplication
a·b=b·a
Associativité de la multiplication
a · (b · c) = (a · b) · c
Neutre de la multiplication
a·1=1·a=a
Inverse de la multiplication a 6= 0
a · (1/a) = (1/a) · a = 1
Si M est l’ensemble des matrices de dimension m × n dont les éléments sont des nombres réels, alors
∀ A, B et C ∈ M et ∀ p et q ∈ R, nous avons les propriétés suivantes:
Propriété 1 : (A ⊕ B) ∈ M
Preuve :
A⊕B
=
=
=
[aij ]mn ⊕ [bij ]mn
[aij + bij ]mn
[cij ]mn
Déf. de l’addition de matrices
Fermeture de l’addition dans R
La matrice résultante est également une matrice de dimension m × n dont les éléments cij ∈ R.
Propriété 2 : A ⊕ B = B ⊕ A
Preuve :
A⊕B
=
=
=
=
=
[aij ]mn ⊕ [bij ]mn
[aij + bij ]mn
[bij + aij ]mn
[bij ]mn ⊕ [aij ]mn
B⊕A
Déf. de l’addition de matrices
P1 des nombres réels
Déf de l’addition de matrices
Propriété 3 : A ⊕ (B ⊕ C) = (A ⊕ B) ⊕ C
Preuve :
A ⊕ (B ⊕ C)
=
=
=
=
=
=
=
[aij ]mn ⊕ ([bij ]mn ⊕ [cij ]mn )
[aij ]mn ⊕ [bij + cij ]mn
[aij + (bij + cij )]mn
[(aij + bij ) + cij ]mn
[aij + bij ]mn ⊕ [cij ]mn
([aij ]mn ⊕ [bij ]mn ) ⊕ [cij ]mn
(A ⊕ B) ⊕ C
1
Déf. de l’addition de matrices
Déf. de l’addition de matrices
P2 des nombres réels
Déf. de l’addition de matrices
Déf. de l’addition de matrices
Propriété 4 : A ⊕ 0 = 0 ⊕ A = A
Preuve (première égalité) :
A⊕0
=
=
=
=
=
[aij ]mn ⊕ [0ij ]mn
[aij + 0ij ]mn
[0ij + aij ]mn
[0ij ]mn ⊕ [aij ]mn
0⊕A
Déf. de l’addition de matrices
P1 des nombres réels
Déf. de l’addition de matrices
=
=
=
=
[aij ]mn ⊕ [0ij ]mn
[aij + 0ij ]mn
[aij ]mn
A
Déf. de l’addition de matrices
P4 des nombres réels
Preuve (deuxième égalité) :
A⊕0
Propriété 5 : A ⊕ (−A) = (−A) ⊕ A = 0
Preuve (première égalité) :
A ⊕ (−A)
=
=
=
=
=
[aij ]mn ⊕ [−aij ]mn
[aij + (−a)ij ]mn
[(−a)ij + aij ]mn
[−aij ]mn ⊕ [aij ]mn
(−A) ⊕ A
Déf. de l’addition de matrices
P1 des nombres réels
Déf. de l’addition de matrices
=
=
=
=
[aij ]mn ⊕ [−aij ]mn
[aij + (−a)ij ]mn
[0ij ]mn
0
Déf. de l’addition de matrices
P5 des nombres réels
Preuve (deuxième égalité) :
A ⊕ (−A)
Propriété 6 : p A ∈ M
Preuve :
p A = p [aij ]mn
= [p · aij ]mn
= [dij ]mn
Déf. de multiplication d’une matrice par un scalaire
Fermeture de la multiplication dans R
La matrice résultante est également une matrice de dimension m × n dont les éléments dij ∈ R.
Propriété 7 : p (A ⊕ B) = p A ⊕ p B
Preuve :
p (A ⊕ B) = p ([aij ]mn ⊕ [bij ]mn )
= p [aij + bij ]mn
= [p · (aij + bij )]mn
= [p · aij + p · bij ]mn
= [p · aij ]mn ⊕ [p · bij ]mn
= p [aij ]mn ⊕ p [bij ]mn
= pA⊕pB
Propriété 8 : (p + q) A = p A ⊕ q A
Preuve :
(p + q) A = (p + q) [aij ]mn
= [(p + q) · aij ]mn
= [p · aij + q · aij ]mn
= [p · aij ]mn ⊕ [q · aij ]mn
= p [aij ]mn ⊕ q [aij ]mn
= pA⊕qA
Déf. de l’addition de matrices
Déf. de multiplication d’une matrice par un scalaire
P3 des nombres réels
Déf. de l’addition de matrices
Déf. de multiplication d’une matrice par un scalaire
Déf. de multiplication d’une matrice par un scalaire
P3 des nombres réels
Déf. de l’addition de matrices
Déf. de multiplication d’une matrice par un scalaire
2
Propriété 9 : p (q A) = (p · q) A
Preuve :
p (q A)
=
=
=
=
=
=
p (q [aij ]mn )
p [q · aij ]mn
[p · (q · aij )]mn
[(p · q) · aij ]mn
(p · q) [aij ]mn
(p · q) A
Déf. de multiplication d’une matrice par un scalaire
Déf. de multiplication d’une matrice par un scalaire
P7 des nombres réels
Déf. de multiplication d’une matrice par un scalaire
Propriété 10 : 1 A = A
Preuve :
1A
=
=
=
=
1 [aij ]mn
[1 · aij ]mn
[aij ]mn
A
Déf. de multiplication d’une matrice par un scalaire
P8 est nombres réels
3