Propriétés des matrices

ALG` EBRE LIN´ EAIRE ET G´ EOM´ ETRIE VECTORIELLE
PROPRI´ ET´ ES DE L’ADDITION DE MATRICES
ET DE LA MULTIPLICATION D’UNE MATRICE PAR UN SCALAIRE
D´emontrons les propri´et´es de la page 18 (Charron, Parent). Les op´erateurs utilis´es sont les suivants :
→Le + sera utilis´e pour d´esigner l’addition entre deux nombres r´eels;
→Le ⊕sera utilis´e pour d´esigner l’addition entre deux matrices;
→Le ·sera utilis´e pour d´esigner la multiplication entre deux nombres r´eels;
→Le ⊗sera utilis´e pour d´esigner la multiplication d’une matrice par un nombre r´eel.
Propri´et´es des nombres r´eels
P1 Commutativit´e de l’addition a+b=b+a
P2 Associativit´e de l’addition a+ (b+c) = (a+b) + c
P3 Distributivit´e de la multiplication sur l’addition a·(b+c) = a·b+a·c
P4 Neutre de l’addition a+ 0 = 0 + a=a
P5 Inverse de l’addition a+ (−a) = (−a) + a= 0
P6 Commutativit´e de la multiplication a·b=b·a
P7 Associativit´e de la multiplication a·(b·c) = (a·b)·c
P8 Neutre de la multiplication a·1 = 1 ·a=a
P9 Inverse de la multiplication a6= 0 a·(1/a) = (1/a)·a= 1
Si Mest l’ensemble des matrices de dimension m×ndont les ´el´ements sont des nombres r´eels, alors
∀A,Bet C∈Met ∀pet q∈R, nous avons les propri´et´es suivantes:
Propri´et´e 1 : (A⊕B)∈M
Preuve :
A⊕B= [aij ]mn ⊕[bij ]mn
= [aij +bij ]mn D´ef. de l’addition de matrices
= [cij ]mn Fermeture de l’addition dans R
La matrice r´esultante est ´egalement une matrice de dimension m×ndont les ´el´ements cij ∈R.
Propri´et´e 2 : A⊕B=B⊕A
Preuve :
A⊕B= [aij ]mn ⊕[bij ]mn
= [aij +bij ]mn D´ef. de l’addition de matrices
= [bij +aij ]mn P1 des nombres r´eels
= [bij ]mn ⊕[aij ]mn D´ef de l’addition de matrices
=B⊕A
Propri´et´e 3 : A⊕(B⊕C) = (A⊕B)⊕C
Preuve :
A⊕(B⊕C) = [aij ]mn ⊕([bij ]mn ⊕[cij ]mn)
= [aij ]mn ⊕[bij +cij ]mn D´ef. de l’addition de matrices
= [aij + (bij +cij )]mn D´ef. de l’addition de matrices
= [(aij +bij ) + cij ]mn P2 des nombres r´eels
= [aij +bij ]mn ⊕[cij ]mn D´ef. de l’addition de matrices
= ([aij ]mn ⊕[bij ]mn)⊕[cij ]mn D´ef. de l’addition de matrices
= (A⊕B)⊕C
1

Propri´et´e 4 : A⊕0=0⊕A=A
Preuve (premi`ere ´egalit´e) :
A⊕0= [aij ]mn ⊕[0ij ]mn
= [aij + 0ij ]mn D´ef. de l’addition de matrices
= [0ij +aij ]mn P1 des nombres r´eels
= [0ij ]mn ⊕[aij ]mn D´ef. de l’addition de matrices
=0⊕A
Preuve (deuxi`eme ´egalit´e) :
A⊕0= [aij ]mn ⊕[0ij ]mn
= [aij + 0ij ]mn D´ef. de l’addition de matrices
= [aij ]mn P4 des nombres r´eels
=A
Propri´et´e 5 : A⊕(−A) = (−A)⊕A=0
Preuve (premi`ere ´egalit´e) :
A⊕(−A) = [aij ]mn ⊕[−aij ]mn
= [aij + (−a)ij ]mn D´ef. de l’addition de matrices
= [(−a)ij +aij ]mn P1 des nombres r´eels
= [−aij ]mn ⊕[aij ]mn D´ef. de l’addition de matrices
= (−A)⊕A
Preuve (deuxi`eme ´egalit´e) :
A⊕(−A) = [aij ]mn ⊕[−aij ]mn
= [aij + (−a)ij ]mn D´ef. de l’addition de matrices
= [0ij ]mn P5 des nombres r´eels
=0
Propri´et´e 6 : pA∈M
Preuve :
pA=p[aij ]mn
= [p·aij ]mn D´ef. de multiplication d’une matrice par un scalaire
= [dij ]mn Fermeture de la multiplication dans R
La matrice r´esultante est ´egalement une matrice de dimension m×ndont les ´el´ements dij ∈R.
Propri´et´e 7 : p(A⊕B) = pA⊕pB
Preuve :
p(A⊕B) = p([aij ]mn ⊕[bij ]mn)
=p[aij +bij ]mn D´ef. de l’addition de matrices
= [p·(aij +bij )]mn D´ef. de multiplication d’une matrice par un scalaire
= [p·aij +p·bij ]mn P3 des nombres r´eels
= [p·aij ]mn ⊕[p·bij ]mn D´ef. de l’addition de matrices
=p[aij ]mn ⊕p[bij ]mn D´ef. de multiplication d’une matrice par un scalaire
=pA⊕pB
Propri´et´e 8 : (p+q)A=pA⊕qA
Preuve :
(p+q)A= (p+q)[aij ]mn
= [(p+q)·aij ]mn D´ef. de multiplication d’une matrice par un scalaire
= [p·aij +q·aij ]mn P3 des nombres r´eels
= [p·aij ]mn ⊕[q·aij ]mn D´ef. de l’addition de matrices
=p[aij ]mn ⊕q[aij ]mn D´ef. de multiplication d’une matrice par un scalaire
=pA⊕qA2

Propri´et´e 9 : p(qA) = (p·q)A
Preuve :
p(qA) = p(q[aij ]mn)
=p[q·aij ]mn D´ef. de multiplication d’une matrice par un scalaire
= [p·(q·aij )]mn D´ef. de multiplication d’une matrice par un scalaire
= [(p·q)·aij ]mn P7 des nombres r´eels
= (p·q)[aij ]mn D´ef. de multiplication d’une matrice par un scalaire
= (p·q)A
Propri´et´e 10 : 1A=A
Preuve :
1A= 1 [aij ]mn
= [1 ·aij ]mn D´ef. de multiplication d’une matrice par un scalaire
= [aij ]mn P8 est nombres r´eels
=A
3