Objectifs du Chapitre I Initiatiaon à l’Analyse Dimensionnelle. I Introduction à la Théorie de Maquettes et Similitude. Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 1 / 31 Introduction et remarques Difficultés théoriques .... I Coût d’études expérimentales Les équations de mouvement (Eqs N.S. + Continuité + énergie + Conditions aux limites et initiales) sont difficiles à résoudre. I Les solution sont encore plus difficile pour les écoulements turbulents. I Les solutions numériques sont parfois lourdes de mise en oeuvre et coéteuses en temps de calcul. Adil Ridha (Université de Caen) I Difficultés théoriques =⇒ études expérimentales. I Côuts exubérants d’études expérimentales sur prototypes en vrai grandeur. I Recours aux études sur maquettes aux échelles réduites des prototypes. I Avantage : moins coûteux et plus simple à metter en oeuvre expérimentalement. Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 2 / 31 Analyse Dimensionnelle Grandeurs fondamentales Unités fondamentales I I Toute relation entre des grandeurs physiques est indépendante du système d’unités de mesure I Longueur L, dimension de [distance] = L I Masse M, dimension de [masse] = M Toute relation entre des grandeurs physiques est dimensionnellement homogène. I Temps T , dimension de [temps] = T I Température Θ, dimension [température] = [Θ] Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 3 / 31 Analyse Dimensionnelle Remarques .......... I L, M, T et Θ constituent les unités fondamentales en mécanique. I En fonction de L, M, T et Θ on constitue des unités dérivées. I Les grandeurs fondamentales de tout système sont indépendantes l’une de l’autre. I Le passage d’un système d’unités à un autre n’entraı̂ne que des multiplicateurs de conversion. Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 4 / 31 Analyse Dimensionnelle Grandeur physique Longueur Temps Masse Température symbole Dimension Unité, Système International S.I. ` t m T Unités fondamentales L T M Θ m s kg ◦ K, dégrée Kelvin Unités dérivées Vitesse [U] = L T −1 U dv Accélération a = Force Masse volumique Débit Pression Contrainte Travail Énergie Quantité de chaleur Puissance Viscosité dynamique Viscosité cinématique Tension superficielle dt F ρ Q p σ ou τ W E ∆Q P µ ν σs Adil Ridha (Université de Caen) m s−1 [a] = L T −2 m s−2 [F ] = M L T −2 [ρ] = M L−3 [Q] = L3 T −1 [p] = M L−1 T −2 [σ] = M L−1 T −2 [W ] = M L2 T −2 [E ] = M L2 T −2 [∆Q] = M L2 T −2 [P] = M L2 T −3 [µ] = M L−1 T −1 [ν] = L2 T −1 [σs ] = M T −2 kg m s−2 = N, Newton kg m−3 m3 s−1 −2 Nm = Pa, Pascal N m−2 Analyse Dimensionnelle et Similitude N m = J, joule N m = J, joule N m = J, joule N m s−1 = W, Watt kg m −1 s−1 m2 s−1 N m−1 = kg s−2 2009-2010 5 / 31 Analyse Dimensionnelle Encore des remarques !!! ..... I La dimension de toute grandeur physique se dérive de sa définition, exemple : Force = masse × accélération =⇒ [F ] = [m] × [a] = M × L T I −2 =M LT −2 La dimension de toute grandeur physique peut aussi se dériver d’autres grandeurs physiques : [`] [m] [t] Adil Ridha (Université de Caen) = = = [U]−1 [U] [U]−2 ×[ρ]−1/2 ×[ρ]−1/2 ×[ρ]−1/2 Analyse Dimensionnelle et Similitude ×[F ]1/2 , ×(F ]3/2 , ×[F ]1/2 . 2009-2010 6 / 31 Analyse Dimensionnelle Procédure à suivre dans un problème d’analyse dimensionnelle I identifier toutes les variables indépendantes intervenant dans le problème étudié, soit au nombre N, I spécifier les dimensions de ces variables en utilisant les dimensions de base (L, T , M, Θ), I choisir les grandeurs fondamentale convenables, disons au nombre r , I utiliser une méthode appropriée pour identifier le nombre et la forme des paramètres sans dimensions (paramètres adimensionnels) ∃ 2 méthodes d’analyse dimensionnelle : i- le théorème des π, ou théorème de Vaschy–Buckingham. ii- la méthode de Rayleigh. Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 7 / 31 Analyse Dimensionnelle Theorème de Vaschy–Buckingham Énoncé de Théorème de Vaschy–Buckingham ou théorème des π Toute grandeur B d’un phénomène physique et fonction de N variables (ou causes) indépendantes B1 , · · · , BN , mesurée par r unités fondamentales, r < N, s’écrit comme B = F (B1 , B2 , · · · , BN ) a1 ,a2 ,··· ,ar exposantes à déterminer B soit z }| { a a a B11 B22 · · · Br r F (π1 , π2 , · · · , πN−r ) | {z } = paramètres de similitude π1 = π2 = Br +1 a a a a a a B1r +1,1 B2r +1,2 · · · Br r +1,r Br +2 B1r +2,1 B2r +2,2 · · · Br r +2,r . . . πN−r = Adil Ridha (Université de Caen) BN a a a B1N,1 B2N,2 · · · Br N,r 9 > > > > > > > > > > {B1 , · · · , Br } > = un sous-ensemble > > > > > > > > > > > ; de grandeurs physiques aux dimensions indépendantes Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 8 / 31 Analyse Dimensionnelle En général, on pose π= Theorème de Vaschy–Buckingham B B1a1 B2a2 · · · Brar et par conséquent π = F (π1 , π2 , · · · , πN−r ) Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 9 / 31 Analyse Dimensionnelle Theorème de Vaschy–Buckingham Tableau des exposants aux dimensions de [B, B1 , · · · , BN ] Adil Ridha (Université de Caen) [Grandeur] L T M Θ [B ] [B1 ] [B2 ] .. . [BN−4 ] α α1 α2 β β1 β2 γ γ1 γ2 δ δ1 δ2 ··· αN−4 ··· βN−4 ··· γN−4 ··· δN−4 Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 10 / 31 Analyse Dimensionnelle Exemple Exemple Un navire, de taille caractérisée par une longueur `, est en mouvement à la vitesse U. L’eau dans laquelle la navire avance exerce une force de résistance (force de traı̂née), Ftraı̂née , au mouvement que l’on peut penser dépendre, à part de ` et U, de la masse volumique ρ, de la viscosité dynamique µ et de la tension superficielle σs de l’eau ainsi que de l’accélération de la pesanteur g Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 11 / 31 Analyse Dimensionnelle Exemple Solution par la méthode de Rayleigh Forme de relation recherché : F = ρα1 U α2 `α3 µα4 g α5 σsα6 , Tableau des exposants : [Grandeur] L T M Θ exposante [Ftraı̂née ] [ρ ] [U ] [` ] [µ ] [g ] [σs ] 1 -3 1 1 -1 1 0 -2 0 -1 0 -1 -2 -2 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 α1 α2 α3 α4 α5 α6 Choix des variables fondamentales : `, U et ρ. Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 12 / 31 Analyse Dimensionnelle Exemple Relation recherchée doit être dimensionellement homogène : Ftraı̂née ρ U ` µ g +1 = − 3α1 + α2 + α3 − α4 + α5 somme d’exposants en T : −2 =+0 − α2 +0 − α4 − 2α5 − 2α6 somme d’exposants en M : +1 = + α1 +0 +0 + α4 +0 + α6 somme d’exposants en L : σs +0 Solution par rapport aux variables fondamentales `, U et ρ : Adil Ridha (Université de Caen) α1 = 1 − α4 − α6 α2 = +2 − α4 − 2α5 − 2α6 α3 = +2 − α4 + α5 − α6 Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 13 / 31 Analyse Dimensionnelle Exemple Résultats Ftraı̂née = = ρ1−α4 −α6 U 2−α4 −2α5 −2α6 `2−α4 +α5 −α6 µα4 g α5 σsα6 „ «α4 „ « « α6 „ µ g ` α5 σs ρU 2 `2 . ρU` U2 ρU 2 ` Soit Ftraı̂née = 1 ρU 2 S F (Re, Fr , We) 2 avec S = `2 Nombres sans dimensions de Reynolds, de Froude et de Weber Re = Adil Ridha (Université de Caen) ρ`U `U = , µ ν Fr = U2 , g` We = Analyse Dimensionnelle et Similitude ρU 2 L σs 2009-2010 14 / 31 Analyse Dimensionnelle Exemple Solution par la méthode de π I Choix des variables fondamentales : ρ, U et L t.q. les variables restant µ, g et σs soit de dimensions indépendantes. I Conséquence : r = 3, N − r = 3 paramètres sans dimensions. I π1 = π2 = π3 = µ , ρα1 U β1 `γ1 g ρα2 U β2 `γ2 , σs , ρα3 U β3 `γ3 Adil Ridha (Université de Caen) 8 < −1 −1 : 1 8 1 < −2 : 0 8 0 < −2 : 1 = = = −3α1 + β1 + γ1 −β1 α1 = = = −3α2 + β2 + γ2 −β2 α2 = = = −3α3 + β3 + γ3 −β3 α3 Analyse Dimensionnelle et Similitude 8 < α1 β1 : γ 1 8 < α2 β2 =⇒ : γ 2 8 < α3 β3 =⇒ : γ 3 =⇒ = = = 1, 1, 1, = = = 0, 2, −1 =1 = = , 2, 1 2009-2010 15 / 31 Analyse Dimensionnelle Exemple Résultats ... π = Ftraı̂née , ρα U β `γ D’où π= 8 < 1 −2 : 1 Ftraı̂née , ρU 2 `2 π1 = = = = −3α + β + γ −β α µ , ρU` π2 = g` , U2 8 < α β =⇒ : γ π3 = = = = 1, 2, 2. σs ρU 2 ` Finalement : Ftraı̂née = ρU 2 `2 F (π1 , π2 , π3 ) = ρU 2 `2 F (Re, Fr , We). Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 16 / 31 Analyse Dimensionnelle Exemple Conclusions particulières I L’analyse dimensionnelle permet d’indentifier les différents paramètres, mais sans préciser la relation. I L’étude expérimentale de la résistance au mouvement d’un navire se revient à étudier la fonction Ftraı̂née = ρU 2 `2 F (Re, Fr , We), I Re ⇐⇒ effet de viscosité ou l’influence des forces de traı̂née de l’eau sur la coque de navire. I Fr ⇐⇒ effet de la pesanteur ou l’influence de sillage, c-à-d l’influence de système de vagues produit derrière le navire. I We ⇐⇒ effet des forces de tension superficielle qui sont négligeables pour cet exemple. Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 17 / 31 Similitude et théorie des maquettes Paramètre Définition Nombre de Reynolds ρUL force d’inertie Re = Nombre de Froude µ U2 force visqueuse force d’inertie Fr = Nombre de Mach Lg U force de la pesanteur vitesse d’écoulement Ma = Rapport de capacités thermique vitesse de son enthalpie γ = c cp cv énergie interne temps d’advection Nombre de Strouhal (L/U) St = Nombre de Péclet κ temps de variation locale diffusivité thermique ν (L/U) diffusivité visqueuse temps d’advection λ/(ρ cp U 2 ) temps de diffusion thermique variation d’énergie cinétique τ Nombre de Prandtl Pr = Pe = U2 Nombre d’Eckert Ec = Nombre de Weber We = Coefficient de frottement Rugosité adimensionnelle Adil Ridha (Université de Caen) Explication cv ∆T ρU 2 L σs variation d’énergie interne force d’inertie force de tension superficielle force de traı̂née τ0 CD = 1 ρU 2 2 ε force dynamique L longueur caractéristique rugosité Analyse Dimensionnelle et Similitude Domaine d’application Écoulements visqueux Écoulement à surface libre Écoulement compressible Transfert thermique Écoulement instationnaire Transfert thermique Transfert thermique Transfert thermique Écoulement à surface libre Aérodynamique, Hydrodynamique Écoulement turbulent, surface rugueuse 2009-2010 18 / 31 Similitude et théorie des maquettes Pourquoi des maquettes I Les essais en vraie grandeur : rares et très coûteux. I Recours aux modèles aux échelles réduites. Échelles .... I Échelles géométriques : longueur caractéristique D I Échelle cinématique : vitesse U et temps D/U I Échelle dynamique : forces surfaciques t.q. les forces de pression, contraintes de cisaillement ou tension superficielle. Forces volumiques t.q. la force de pesanteur ou des forces d’origine électromagnétique. Toutes exprimées en fonction des grandeurs caractéristiques. Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 19 / 31 Similitude et théorie des maquettes Comment exprimer les différentes grandeurs en fonction des grandeurs caractéristiques Un astérisque ∗ sera effectué aux grandeurs physiques : t, ~x , ~v , p, I I ~f = ~ g = −g~z D → → → → t, − x∗=D − x ,− v∗ = U − v , p ∗ = ρU 2 p. U Les symboles désignant t, ~x , ~v , et p sont sans dimensions. t∗ = Les équations .... I Équations avec dimensions ... → ∇∗ · − v∗ − → ∂v∗ → → +− v ∗ · ∇∗ − v∗ ∂t ∗ Adil Ridha (Université de Caen) = 0, = 1 − → → g ∗ − ∇∗ p ∗ + ν∆∗ − v ∗. ρ Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 20 / 31 Similitude et théorie des maquettes Équations sans dimensions obtenues après le changement des variables → ∇·− v → ∂− v → → + − v · ∇− v | {z } ∂t | {z } accélération accélération locale = = par convection 0, 1 ~z Fr | {z } Forces volumiques Forces d’inertie Fr = − ∇p |{z} Forces de pression Forces d’inertie + 1 → ∆− v Re | {z } Forces visqueuses Forces d’inertie DU U2 , Re = Dg ν Conclusions I Équations, sans dimensions, ne faisant intervenir que deux nombres sans dimensions dépendant de l’écoulement. I Tout écoulement n’étant défini que par les valeurs de nombres sans dimensions lui caractérisant Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 21 / 31 Similitude et théorie des maquettes Remarques sur l’application des contions aux limites et initiales I Conditions aux limites aux frontières du système ⇐⇒ géométrie du système I Conditions initiales ⇐⇒ l’état du système à l’instant initial I correspondance géométrique des frontières entre le prototype et le maquette Comment ? I Prototype désigné par l’indice 1 (respectivement premier écoulement) I Maquette désigné par l’indice 2 (resp. deuxième écoulement) I Distances d1 et d2 reliant des points homologues (AB)prototype et (AB)maquette : similitude géométrique Adil Ridha (Université de Caen) ⇐⇒ kg = Analyse Dimensionnelle et Similitude d1 = Cte d2 2009-2010 22 / 31 Similitude et théorie des maquettes Principes de Similitude Similitude géométrique 1. Correspondance entre tous les points géométriques des solides ainsi que des écoulements. 2. Préservation des angles et orientations des solides et des deux écoulements Similitude géométrique 3. Correspondance entre toutes les dimensions linéaire par un facteur d’échelle constante kg . D’abord on pose x∗ y∗ y∗ = 2 , y = 1 = 2 , D1 D2 D1 D2 z∗ z∗ z = 1 = 2 , · · · etc. D1 D2 x = z∗ D1 = 1 = = Cte. y∗ z∗ D2 2 2 LP Dp D1 Hp 5. Exemple kg = = = = = ··· . Hm Lm Dm D2 4. D’où Adil Ridha (Université de Caen) x1∗ x1∗ x∗ 2 = y1∗ Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 23 / 31 Similitude et théorie des maquettes Principes de Similitude Similitude cinématique 1. Vitesses homologues liées aux points homologues par u = u1∗ = U1 u2∗ , v = U2 v1∗ U1 = v2∗ , w = U2 w1∗ U1 = w2∗ U2 D2 2. Avec Similitude cinématique t2 = t1 U2 = D1 D2 D1 ! U1 U2 ! = Cte = kt U1 3. On tire U1 D1 = kg kt = kc = Cte D2 ∗ ∗ ∗ u v w U1 4. Et 1 = 1 = 1 = = Cte = kc u∗ v∗ w∗ U2 2 2 2 5. Conclusion : les vitesses aux points homologues sont proportionnelles par un facteur d’échelle constant, kc . U2 Adil Ridha (Université de Caen) = kt Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 24 / 31 Similitude et théorie des maquettes Principes de Similitude Similitude dynamique 1. Fluides homogènes : similitude géométrique =⇒ similitude de masse. 2. Principe fondamental de la dynamique : force ∝ accélération − → − → 3. F1A1 ,prototype ∝ F2A2 ,maquette , A un point arbitrarire, − → − → =⇒ F1A1 ,prototype = kd F2A2 ,maquette 4. La similitude dynamique implique pour la pression : p1∗ ρ1 U12 masse de prototype = = km kg3 kc2 = Cte, km = ∗ p2 ρ2 U22 masse de maquette ρ1 U12 D12 F∗ = Cte = k 5. Pour les forces : 1∗ = d F2 ρ2 U22 D22 6. Nombres sans dimensions ont les mêmes valeurs : D1 U1 D2 U2 D1 kg U1 kc = = ν1 ν2 ν2 Adil Ridha (Université de Caen) =⇒ kg kc = 1 Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 25 / 31 Similitude et théorie des maquettes Principes de Similitude Conditions de la Similitude dynamique 1. Écoulement incompressible sans surfaces libres : Rep = Rem . 2. Écoulement incompressible avec surfaces libres : Rep = Rem , FrP = Frm . 3. Écoulement compressible : Rep = Rem , Map = Mam , γp = γm 4. Écoulement avec tension superficielle : Rep = Rem , Wep = Wem Résumé 1. La similitude géométrique exige que l’échelle linéaire de longueur kg soit la même. 2. La similitude cinématique exige que l’échelle linéaire et l’échelle de temps soient les mêmes, c-à-d, l’échelle de vitesse kc soit la même. 3. La similitude dynamique exige que les échelles linéaires, de temps et de force soient les mêmes. Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 26 / 31 Similitude et théorie des maquettes Exemple : énoncée Pour estimer la force de frottement, Fp , sur un prototype sonde, on utilise les données obtenues sur une maquette testée dans une soufflerie. Au tableau ci-dessous sont montrées les données de teste et les caractéristiques du prototype. Paramètre Géométrie Prototype Sphère Maquette Sphère D V F ρ 0.4 m 2.5 m/s à déterminer 1000 kg/m3 1.3 × 10−6 m2 /s 0.15 m à déterminer 25 N 1.2 kg/m3 1.5 × 10−5 m2 /s ν Déterminer la force de frottement exercée par l’écoulement sur le prototype. Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 27 / 31 Similitude et théorie des maquettes Solution : résultats Solution : définitions I F : force de frottement I V : vitesse de l’écoulement I D : diamètre de la sphère I ρ : dénsité du fluide I µ : viscosité dynamique I F = F (V , D, ρ, µ) I Théorème de π =⇒ N = 4 I D, V et ρ indépandantes ⇐⇒ grandeurs fondamentales : r = 3 µ I π = 1 ρα1 D β1 V γ1 F ρα D β V γ ν µ = 1 = F , π = D 2 ρV 2 “ ” I F = D 2 ρV 2 F (Re) =⇒ F /D 2 ρV 2 = F (Re) 0 1 2 Coefficient = C = F @ F /D A = F (Re) I D de traı̂née ρV 2 ρDV DV Re 2.5 m/s × 0.4 m = 7.69 × 106 , 1.3 × 10−6 m2 /s ! VD I Rem = Rep = ν m 0 1 7.69 × 106 × 1.5 × 10−5 m2 /s I Vm = @ A = 76.9 m/s 0.15 m I Rep = Solution : méthode I π = I π = 1 F (π1 ) Adil Ridha (Université de Caen) I La similitude exige C |p = C |m D 1 0 D ρp Vp2 Dp2 A = 156.58 N =⇒ Fp = Fm @ 2 D2 ρm Vm m Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 28 / 31 Similitude et théorie des maquettes Invariance et solutions auto-semblables Invariance et similitude – remarques I I Nous avons vu que l’Analyse Dimensionnelle ainsi que la mise sous forme sans dimensions des équations, conditions aux limites et initiales y associées mettent en évidence des règles de similitudes et auto-similtude. Nous proposons en ce qui suit d’exploiter cette propriété d’invariance du système d’équations dans un groupe continu de transformations pour regrouper les variables dépendantes et indépendantes en un nombre réduite de variables de similitude. Dans certain cas, cela conduit : I I à remplacer les équation EDP originelles par un système d’équations ordinaires, la découverte de solutions auto-semblable en s’appuyant sur l’analyse dimensionnelle. Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 29 / 31 Similitude et théorie des maquettes Invariance et solutions auto-semblables Introduction et application : l’exemple de premier problème de Stokes Analyse dimensionnelle I Tableau des exposants : [u ] [y ] [t ] [ν ] [U0 ] ∂u ∂t u(y , t) u(y = 0, t > 0) u(y → ∞, ∀t) u = = = = = Adil Ridha (Université de Caen) ∂2u ν 2 ∂y 0, t ≤ 0, U0 , 0, F (y , t; ν, U0 ) L T M Θ exposante 1 1 0 2 1 -1 0 1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 α1 α2 α3 α4 I N = 4, r = 2 I Grandeurs de dimensions indépendantes : ν et U0 U2 u U0 π= , π1 = y , π2 = 0 t. Up ν ν „ « 2 U0 U0 u = Up F¯ y, t . ν ν I I Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 30 / 31 Similitude et théorie des maquettes Transformations affines Invariance et solutions auto-semblables Transformations “invariantes” u = Eu 0 , y = (CD)1/2 y 0 , t = Ct 0 u = Au 0 , y = By 0 , t = Ct 0 ν = Dν 0 , U0 = EU00 ν = Dν 0 , U0 = EU00 B 2 ∂u 0 ∂ 2 u0 Équation : = ν0 CD ∂t ∂y 0 2 Conditions aux limites : I I I En éliminant E : y 02 y2 = ν0t0 νt „ « y Solution : u = U0 f √ 2νt En éliminant CD : A 0 0 u (y = 0, t 0 > 0) = U00 E 0 u (y 0 → ∞, ∀t 0 ) = 0 u 0 (y 0 , 0) = 0 I Conditions d’invariance I I B2 =1 CD A =1 E Adil Ridha (Université de Caen) u u0 = U00 U0 I Équation : f 00 (η) + 2ηf 0 (η) = 0 Conditions aux limites : I I I u(0, t > 0) = U0 =⇒ f (η = 0) = 1 u(y → ∞, ∀t) = 0 =⇒ f (η → ∞) = 0 Solution : f (η) 1 − erf(η), Z = η 2 2 e −η dη erf(η) = √ π 0 Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 31 / 31