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VI. ANALYSE DIMENSIONNELLE ET SIMILITUDE
VI.1 Introduction
Jusqu’à maintenant nous avons traité les méthodes analytiques pour solutionner les
problèmes de mécanique de fluide. Pourtant dans la pratique, ces méthodes ne sont
pas toujours satisfaisantes pour les raisons suivantes :
(1) souvent des simplifications sont nécessaires pour résoudre les
problèmes;
(2) une analyse détaillée peut être chère.
La méthode alternative est d’utiliser la méthode expérimentale et de dériver des
corrélations applicables aux tous les cas rencontrés du même type de problème.
Pour mener à bien une telle étude et analyse, il faut planifier et organiser bien les
procédures expérimentales ; si non, on aura
(a) des difficultés techniques,
(b) de perte de temps,
(c) un coût élevé.
Ce-ci sera surtout le cas puisqu’on utilise souvent des modèles dans les conditions
expérimentales et certaine fois des fluides différents. L’analyse dimensionnelle
nous offre une procédure pour éviter les problèmes éventuels et assurer d’obtenir
des corrélations sans dimension qu’on peut utiliser dans les conditions pratiques et
d’une façon quasi universelle, i.e. dans les conditions dynamiques similaires
incluant avec d’autre fluide qu’on a obtenu ces corrélations.
La procédure principale de l’analyse dimensionnelle peut être résumée comme
suit :
(1) compiler une liste de variables pertinentes soit dépendante ou indépendante
pour le problème considéré,
(2) en utilisant une technique appropriée, identifier le nombre et la forme des
paramètres adimensionnels.
Une de ces techniques utilisée est du théorème Pi de Buckingham, que nous allons
étudier la suite.
VI-1
VI.2 Théorème Π de Buckingham
Nous allons faire les définitions suivantes:
n = le nombre de paramètres indépendants du problème ;
j’ = le nombre de dimensions de base trouvées dans les n paramètres ;
j = le nombre de dimensions de base nécessaires à considérer simultanément ;
k = le nombre de termes Π indépendants qui peut être identifié pour décrire le
problème, k = n – j
Les étapes à suivre pour l’analyse dimensionnelle sont :
1. Lister les n paramètres du problème
2. Exprimer les dimensions de chaque paramètre en utilisant les dimensions
3.
4.
5.
6.
de base, (M, L, t, θ). Compter le nombre des dimensions de base utilisé,
j’, dans l’ensemble des paramètres considérés
Ttrouver le nombre j en supposant initialement j = j’ et chercher les
paramètres répétés qui ne forment pas un produit Π. Si ce n’est pas
possible, réduire j par un et répéter la procédure
Choisir j paramètres répétés qui ne forment pas le produit Π
En choisissant les paramètres non répétés, un par un, et mettant ensemble
avec les paramètres répétés, former les Π ; trouver algébriquement les
puissances de chaque paramètre répété pour faire les Π sans dimension
Écrire la combinaison de Π ainsi trouvé dans une forme de fonction :
Πk = f( Π1, Π2, …Πi)
Exemple 1
Nous considérons le problème de l’écoulement visqueux dans un conduit rond.
Nous cherchons à trouver la chute de pression sans dimension en fonction des
autres paramètres sans dimension. Les paramètres de ce problème sont : ∆P = chute
de pression, V = vitesse moyenne, D = diamètre, L = longueur, ρ = densité, µ =
viscosité, ε = rugosité. Donc, nous avons ∆P = paramètre dépendant et (V, D, L,
ρ, µ, ε) = paramètres indépendants. Suivant la procédure discutée ci haut, nous
aurons :
Solution :
1. Le nombre de paramètres indépendants : n = 7
VI-2
2. La liste des paramètres et leurs dimension en utilisant (M,L,t,θ) :
Paramètre ∆P
V
D
L
ρ
µ
ε
Dimension ML-1t-2 Lt-1
L
L
ML-3
ML-1t-1
L
Nous avons le nombre de dimensions de base (M,L,t), i.e. j’ = 3.
3. Choisir j = j’ =3 et les paramètres répétés comme V, D, ρ. Ces paramètres ne
peuvent pas former un produit Π sans dimension. En effet, aucune
combinaison de ces trois paramètres peut éliminer la masse M de la densité
et le temps t de la vitesse.
4. Cette étape est la même que l’étape 3 ; les paramètres répétés sont V, D, ρ et
j = 3. Donc, k = n – j = 7 – 3 = 4. Nous allons trouver 4 Π indépendants.
5. Obtenir les Π
Π1 = VaDbρcµ1 = ( Lt-1)a Lb (ML-3)c ( ML-1t-1 )1
Pour que la dimension de Π1 soit sans dimension il faut que la puissance de
chaque dimension de base soit zéro. Donc, en prenant la somme des
puissances de chaque dimension de base, nous pouvons écrire :
M:
t:
L:
c + 1 = 0, c = -1
-a - 1 = 0, a = -1
a + b – 3c -1 = 0, b = -1
Nous avons donc,
Π1 = µ/ρVD
Nous pouvons l’écrire sans perdre la généralité comme :
Π1 = ρVD/µ = Re
(le nombre de Reynolds)
Nous pouvons répéter la même opération pour le paramètre L :
Π2 = VaDbρcL1 = ( Lt-1)a Lb (ML-3)c L1
Nous aurons :
M:
c=0
VI-3
t:
L:
-a = 0
a + b -3c + 1 = 0, b = -1
Donc :
Π2 = L/D
(le rapport de longueur à diamètre)
Maintenant, nous faisons pour ε :
Π3 = VaDbρcε1 = ( Lt-1)a Lb (ML-3)c L1
Nous aurons :
M:
t:
L:
c=0
-2a = 0, a = 0
a + b – 3c + 1 = 0, b = -1
Π3 = ε/D
(la rugosité relative)
Finalement, pour le paramètre principal, ∆P :
Π3 = VaDbρc∆P 1 = ( Lt-1)a Lb (ML-3)c (ML-1t-2)1
M:
t:
L:
c=0
-a – 2 = 0, a = -2
a + b -3c -1 = 0, b = -1
Π4 = ∆P/ρ V2
(le coefficient de pression)
6. On obtient pour la combinaison de ces paramètres :
⎧ ρVD L ε ⎫
∆P
, , ⎬
= f⎨
2
ρV
⎩ µ D D⎭
ou
{
CP = f Re, L, ε
}
Nous voyons que le coefficient de chute de pression dans un
écoulement visqueux dans un conduit avec rugosité est une fonction de
(1) nombre de Reynolds, (2) la longueur sans dimension du conduit, (3)
la rugosité sans dimension du conduit.
VI-4
Problème 1 : Un fluide s’écoule dans un conduit rond horizontal avec une
vitesse moyenne V. Une plaque avec orifice de diamètre de d est placée dans le
conduit. On désire étudier la chute de pression à travers de l’orifice, ∆P. En
supposant ∆P = f(D,d,ρ,V) , déterminez la chute de pression sans dimension en
fonction des autres Π. Rép. : ∆P/ρV2 = f(d/D)
Problème 2 : Soit donnée une hélice de diamètre D en rotation avec une vitesse
angulaire, ω dans un fluide (avec ρ, µ) qui est en mouvement avec une vitesse
V. Développez une expression sans dimension pour la poussée développée par
cette hélice. Rép. : τ/ρV2D2 = f(ρVD/µ, ωD/V)
Problème 3 : Un conduit horizontal avec diamètre D a une contraction brusque
à un diamètre d. Le fluide avec (ρ,µ) est en mouvement avec une vitesse V dans
le conduit. On désire établir la chute de pression sans dimension en fonction des
autres paramètres du problème. En supposant ∆P = f(D,d,ρ,µ,V), déterminez la
chute de pression sans dimension. Rép. : ∆P/ρV2 = f(ρVD/µ,d/D)
Problème 4 : On a un tube capillaire ayant un diamètre D. Le fluide monte à
une hauteur h. En supposant h = f(D,γ,Y) et en prenant les paramètres répétés
comme D, γ trouvez une expression sans dimension pour h. Rép. : h/D =
f(Y/D2γ)
Problème 5 : Une plaque plane de dimension w(longueur) et h(largeur) est en
mouvement linéaire dans un fluide avec une vitesse V dans sa direction de sa
longueur. En supposant le frottement F = f(w,h,ρ,µ,V), déterminez un Π
convenable pour étudier ce problème expérimentalement. Rép. :
F/w2V2ρ=f(w/h,ρVw/µ)
La table 1 montre quelque nombre adimensionnel rencontré dans le domaine de
mécanique de fluide.
VI-5
Table 1 : Analyse dimensionnelle et similitude
Paramètre
Définition
Explication
Nombre de
Reynolds
Nombre de
Mach
Re=ρVD/µ
Nombre de
Froude
Fr=V2/gL
Force d’inertie/force
visqueuse
Vitesse
d’écoulement/vitesse
sonique
Force d’inertie/force
gravitation
Nombre de
Weber
We=ρV2L/
Υ
Rapport de
capacité
thermique
Rugosité
adimensionnelle
γ=cp/cv
Coefficient de
pression
Coefficient de
portance
Coefficient de
frottement
Ma=V/a
Importance dans
mécanique de
fluide
toujours
Écoulement
compressible
Écoulement
surface libre
Force
d’inertie/tension
surfacique
Enthalpie/énergie
interne
Écoulement
surface libre
ε/L
Rugosité/longueur
caractéristique
p − p∞
1
ρV 2
2
L
CL =
1
ρV 2 A
2
Pression
statique/pression
dynamique
Portance/force
dynamique
Écoulement
turbulent/surface
rugueuse
Aérodynamique
hydrodynamique
Aérodynamique
Hydrodynamique
Portance/force
dynamique
Aérodynamique
hydrodynamique
Cp =
CD =
D
1
ρV 2 A
2
Deux éléments importants dans une étude expérimentale sont :
(a) Conception d’un modèle
(b) Spécification de conditions d’expérimentation.
Ce que nous étudierons dans la suite.
VI-6
Transfert
thermique
VI.3 Similitude
L’exigence est d’avoir similitude entre le modèle et ses conditions
expérimentales et le prototype et ses conditions d’opération. Dans ce contexte la
similitude est définit comme ‘tous les nombres sans dimension ont les mêmes
valeurs pour le modèle et le prototype.’ La similitude en mécanique de fluide
est classifiée en trois :
(1) Similitude géométrique,
(2) Similitude cinématique,
(3) Similitude dynamique.
Similitude géométrique : toutes les dimensions linéaires du modèle
correspondent à celles du prototype défini par un facteur d’échelle constante,
SFk. Considérons le profile montré à la figure 6.1 :
SFk = rm/rp = Lm/Lp = Wm//Wp = ..
Fig. 6.1 : Similitude géométrique dans l’expérimentation
Dans la similitude géométrique, on les mêmes angles, les mêmes directions
d’écoulement, la même orientation par rapport à l’environnement, i.e. l’angle
d’incidence est identique pour le modèle et le prototype.
VI-7
Similitude Cinématique
Elle est définie comme les vitesses aux points correspondants sur le modèle et
le prototype sont dans la même direction ; elle est différante seulement par un
facteur d’échelle constant SFk. En conséquence, les écoulements doivent avoir
le même motif de lignes de courant et le même régime d’écoulement.
Considérons deux écoulements autour des objets semblables géométriquement,
montrés à la figure 6.2 : les vitesses à chaque point sont proportionnelles par un
facteur d’échelle constant, β.
Fig. 6.2 : Deux écoulements avec similitude cinématique
Similitude Dynamique
La similitude dynamique est achevée si le rapport des forces aux points
semblables sur le modèle et le prototype est identique à un facteur d’échelle
constant. C’est illustré à la figure 3 pour le cas de l’écoulement à travers la
porte d’écluse.
VI-8
Fig. 3 : Similitude dynamique dans une porte d’écluse
Nous avons la similitude dynamique dans les conditions suivantes :
1.
2.
3.
4.
Écoulement incompressible sans surfaces libres : Rem = Rep
Écoulement incompressible avec surfaces libres : Rem = Rep, Frm = Frp
Écoulement compressible : Rem = Rep, Mam = Map, γm = γp
Écoulement avec tension surfacique : Rem = Rep, Wem = Wep
En résumé :
• Nous aurons la similitude géométrique si l’échelle linéaire est la même.
• Nous aurons la similitude cinématique si les échelles linéaires et de temps
sont les mêmes, i.e. l’échelle de vitesse est la même.
• Nous aurons la similitude dynamique si les échelles linéaires, de temps et
de force sont les mêmes
Exemple 2
Le frottement sur un prototype sonde doit être estimé en utilisant les données
obtenues avec un modèle dans le tunnel à vent. Les données et les
caractéristiques du prototype sont montrées dans la table suivante.
Déterminez la vitesse expérimentale Vm nécessaire pour avoir la similitude et
le frottement sur le prototype Fp.
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Paramètre
Géométrie
D
Prototype
Sphère
0.30m
Modèle
Sphère
0.15m
V
F
ρ
ν
2.5m/s
À trouver
1000kg/m3
1.307E-6m2/s
Inconnu
25N
1.2kg/m3
1.5E-5m2/s
Solution
De l’analyse dimensionnelle :
CD = f(Re) ou (F/D2)/(ρV2) = f(VD/ν)
Pour le prototype, on a le nombre de Reynolds :
Rep = (2.5m/s)(0.30m)/1.307E 6m2/s) = 5.74E5
On aura donc,
Rem = Rep = (VD/ν)m donne Vm = (5.74E5)(1.5E-5)/0.15 = 57.4m/s
Le frottement sur le prototype est déterminé comme suit :
CD)p = CD)m donne Fp = Fm (ρp/ρm)(Vp/Vm)2(Dp/Dm)2 = 158N
Problème 6 : Un dirigeable a une longueur de Lp et il est en mouvement avec
une vitesse de Vp = 6 m/s dans l’air ayant ρair = 1.205 kg/m3, µair = 1.8E-5
kg/m.s. En utilisant un modèle de Lm = Lp/30, on fait une étude expérimentale
dans l’eau ayant ρeau = 998 kg/m3, µeau = 1.0E-3 kg/m.s.
(a) Déterminez la vitesse Vm
(b) On mesure le frottement sur le modèle Fm = 2700N. Calculez le
frottement estimé sur le prototype Fp,
(c) Calculez la puissance nécessaire en kW pour motoriser le
prototype.
Rép. : (a) Vm = 12.1m/s, (b) Fp = 725N, (c) Pp = 4.4kW
VI-10
Problème 7 : On veut déterminer expérimentalement la chute de pression par
mètre dans un pipeline ayant un diamètre de 10 cm, utilisé pour transporter
l’essence. Pour se faire, on fait un essai avec le même conduit dans le
laboratoire mais en utilisant de l’eau. Pour une vitesse de l’essence de 2 m/s,
(a) déterminez la vitesse de l’eau, (b) on mesure la chute de pression par
mètre comme 3.4 N/m2 ; déterminez la chute de pression par mètre dans le
pipeline avec essence. ρ(essence) = 680 kg/m3, µ(essence) = 2.92E-4 kg/m.s,
ρ(eau) = 1000 kg/m3, µ(eau) = 1.307E-3 kg/m.s. Rép. : (a) 0.608m/s, (b)
25.02N/m2
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