TRIGONOMÉTRIE, FONCTIONS SINUS ET COSINUS • On a découvert au collège les sinus, cosinus et tangente d’un angle aigu, qui permettent d’établir le lien entre les angles aigus d’un triangle rectangle et les côtés de celui-ci. Rappeler ici les légendes de la figure et les formules : Une piste de course circulaire a pour rayon 1 unité, disons 1 hm (hectomètre, 100m).On la parcourt dans le sens classique, le sens giratoire. On repère les points qu’on aura atteint quand on aura parcouru 1, 2, 3, 4, 5, hm en s’élançant du « départ ». Départ 1 M I 2 J 1 5 O t O 3 H 4 Si l’hypoténuse du triangle rectangle mesure 1, on vérifie aisément que le côté opposé mesure sin t et le côté adjacent mesure cos t. 1 sin t t cos t • La longueur de la piste est 2×π×rayon = 2π unités. On peut repérer la distance parcourue sur le cercle, et il est facile pour cela de privilégier les multiples de π voire de π/2 . On peut aussi choisir d’arriver au point I ( et c’est le cas sur les π/2 stades !), on repère pour cela de 2 1 quel point on aura dû partir : On pourrait alors se situer dans un repère orthonormé (O ; I , J) , tracer un quart de = t et lire le cercle de centre O et de rayon 1, placer dessus le point M tel que IOM cosinus et le sinus de l’angle t comme étant respectivement l’abscisse et l’ordonnée du point M appartenant à ce qu’on pourrait appeler le quart de cercle trigonométrique . On pourrait presque se passer de calculatrice si on n’est pas trop exigeant sur le précision des résultats ! 90° -3π/2 -5 3 π -4 O 0 1 -6 6 I -π -3 O 1 4 80° 70° J 60° 3π/2 5 -π/2 45° Comment repérer l’endroit qui marquera 10 unités (le kilomètre) ? Comment savoir la distance qu’on aura parcourue quand on sera à un endroit précis du cercle, mais après combien de tours ? 40° sin t 30° M(2) J sin(2) 20° 10° I O cos(2) 0° O Page 1 -1 -2 50° cos t Un point de la piste pourra être repéré par ses coordonnées, et on va généraliser ce qui a été entrevu au paragraphe précédent en définissant le cercle trigonométrique et en faisant le lien avec les sinus et cosinus évoqués précédemment. . I Page 2 Le cercle trigonométrique 2π π (O ; I , J) est un repère orthonormé : on munit le cercle de centre O et de rayon 1 d’une origine, le point I, et d’un sens de parcours, le sens giratoire, qui sera le sens direct ou sens positif. On est en mesure d’utiliser alors ce qu’on nomme le cercle trigonométrique pour repérer un réel. Imaginons qu’on gradue de bas en haut une droite tangente en I au cercle et qu’on enroule celle-ci autour du cercle trigonométrique : à chaque réel va correspondre un point du cercle et un seul. Trigo et racine carrée : réels et angles remarquables Quelle est la valeur exacte de cos 38° ? c’est simple : c’est cos 38° ! 3. 2 Pour les réels, les angles remarquables, on peut établir le lien avec les racines carrées. A vous de jouer ! (Consignez en dessous mesures en degrés, les réels repérés, les sinus et cosinus) Quelle est la valeur exacte de cos 30° ? c’est cos 30° , mais c’est aussi (surtout ?) J J J π/ 2 1 O 1 I Notons que chaque point du cercle représente une infinité de réels qui ont pour différence un « multiple » de 2 π . axe des sinus J - π/ 2 M(t) O I angle réel cos sin J -π 1 1 sin(t) 0° 0 O 30° 45° I 60° 90° O I 120° 135° 150° 180° Fonction sinus et cosinus Un réel t étant repéré sur le cercle trigonométrique par un point M, – on appelle cos t l’abscisse de ce point, donc le cosinus de ce réel t – on appelle sin t l’ordonnée de ce point, donc le sinus de ce réel t. cos(t) O I axe des cosinus A chaque réel, on peut associer son sinus et son cosinus, on obtient ainsi deux fonctions, sin et cos définies sur . Elles sont bornées par –1 et 1. Périodiquement, « à intervalle de 2 π »,on retombe sur le même point du cercle trigonométrique, donc sur le même sinus et le même cosinus : les fonctions sin et cos sont périodiques et de période 2 π . Représentations graphiques : dans un repère conventionnel Comment repérer les réels particuliers ? en s’aidant d’un cercle trigonométrique dont le rayon unité est un nombre pair de carreaux, à l’aide de médiatrices et bissectrices : les « multiples » de π /3 (associés à 60° ) O Page 3 les « multiples » de (associés à 30°) O π /6 les « multiples » de (associés à 45°) π /4 dans un repère trigonométrique ( les abscisses sont graduées à l’aide du nombre π ). O Page 4