Cours d`Algèbre Module 214

Cours d’Algèbre
Module 214 - DUT QLIO
Nordine Chraiti
Anne Mevel
Semestre 2, 2010-2011
1
Systèmes d’équations linéaires
1.1
Définitions
Définition 1 On appelle
 système de n équations linéaires à p inconnues un ensemble de n relations entre p varia11 x1 + a12 x2 + . . . + a1p xp = b1



a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2p xp = b2
ables sous la forme
v avec les coefficients aij et bi ∈ Ret
...



an1 x1 + an2 x2 + . . . + anp xp = bn
Exemple 1 Système de deux équations à deux inconnues:
5x1 + 2x2
x1 + 3x2
= 19
= 9
Résoudre un système consiste à trouver le (ou éventuellement les) vecteurs(x1 , . . . , xp qui vérifient simultanément toutes les équations
5x1 +2x2 = 19
Exemple 2
x1 +3x2 = 9
Si on prend x1 = 6 et x2 = 1, on vérifie la deuxième équation mais pas la première.
Si on prend x1 = 3 et x2 = 2, le vecteur (3, 2) est solution du système considéré.
4 un système peut avoir 0,1 ou une infinité de solutions.
x1
−x2 = 1
Exemple 3
⇒ aucune solution
2x1 −2x2 = 0
x1 −x2 = 1
⇒ une seule solution: le vecteur (2,1)
x1 +x2 = 3
x1
−x2 = 1
⇒ infinité de solution du type (a, a − 1) avec a ∈ R
2x1 −2x2 = 2
1.2
Interprétation géométrique
1.2.1
En dimension 2
Une équation à 2 inconnues est une équation de droite. Un couple (x1 , x2 ) vérifie l’équation si le point de coordonnées (x1 , x2 ) est situé sur la droite. Résoudre un système consiste à rechercher l’intersection de deux droites.
1. droites parallèles: 0 solution
2. droites sécantes: 1 solution
3. droites confondues: infinité de solutions
1
1.2.2
En dimension 3
Une équation à trois inconnues est une équation de plan. Un triplet (x1 , x2 ) vérifie l’équation si le point de
coordonnées (x1 , x2 , x3 ) est situé sur le plan. Résoudre un système consiste à rechercher l’intersection de trois
plans.
1. plans parallèles: 0 solution
2. 3 plans sécants: 1 solution
3. 2 ou 3 plans confondus: infinité de solutions
1.3
Méthode de résolution
Il existe deux méthodes de résolution: par combinaison ou par substitution.
1.3.1
Méthode de combinaison
Idée: une combinaison linéaire des équations du système permet de simplifier le système.
Opérations licites:
• échanger deux lignes de place
• multiplier une ligne par un réel
• ajouter à une ligen une combinaison linéaire d’autres lignes
4 On garde toujours le même nombre de lignes
Exemple 4 Système à 4 équations et 4 inconnues

x1
+x2
+x3
+x4 =
4



x1
−x2
+x3
−x4 =
4
x1
−x2 −2x3 −3x4 = −1



5x
+2x
−x3 +3x4 =
0
2
1
x1
+x2
+x3 +x4 =
4



2x1
+2x3
=
8 L02 = L2 + L1
⇔
4x1 +2x2
+x3
= 11 L03 = L2 + 3L1



+x2
−x3
= −1 L04 = L4 + L3
 6x1
x1
+x2 +x3 +x4 =
4



x1
+x3
=
4 L02 = L2 /2
⇔
4x1 +2x2 +x3
= 11



6x
+x
−x
=
−1
1
2
3

x
+x
+x
+x
=
4

1
2
3
4


x1
+x3
=
4
⇔
−8x1
+7x3
= 13 L03 = L3 − 2L4



−x3
= −1
 6x1 +x2
x
+x
+x
+x
=
4

1
2
3
4


x1
+x3
=
4
⇔
15x3
= 45 L03 = L3 + 8L2



= −1
 6x1 +x2 −x3
x
+x
+x
+x
=
4

1
2
3
4


x1
+x3
=
4
⇔
x3
=
3



6x
+x
−x
=
−1
1
2
3

x
=
−2

4


x1 =
1
⇔
x
=
3

3


x2 =
2
le vecteur (1, 2, 3, −2) est solution du système.
2
1.3.2
Méthode de substitution
idée : on isole un terme dans une équation et on remplace ce terme par sa valeur (fonction des autres termes) dans
les autres équations.

x1
+x2
+x3
+x4 =
4



x1
−x2
+x3
−x4 =
4
Exemple 5
x1
−x2 −2x3 −3x4 = −1



5x
+2x
−x3 +3x4 =
0
1
2

x
= 4 − x2 − x3 − x4

1


(4 − x2 − x3 − x4 ) − x2 + x3 − x4
= 4
⇔
(4 − x2 − x3 − x4 ) − x2 − 2x3 − 3x4
= −1



5(4
−
x
−
x
−
x
)
+
2x
−
x
+
3x
=
0
2
3
4
2
3
4

x
=
4
−
x
−
x
−
x

1
2
3
4


−2x2 − 2x4
= 0
⇔
−2x2 − 3x3 − 4x4 = −5



−3x
2 − 6x3 − 2x4 = −20

= 4 − x2 − x3 − x4

 x1

x2
= −x4
⇔
−2(−x
)
−
3x
−
4x
=
−5

4
3
4


−3(−x
)
−
6x
−
2x
=
−20
4
3
4

x1
= 4 − x2 − x3 − x4



x2
= −x4
⇔
−3x3 − 2x4 = −5



x
= −20 + 6x3
 4
x
=
4
− x2 − x3 − x4

1


x2
= −x4
⇔
x4
= −20 + 6x3



−15x
=
−45
3

x
=
1

1


x2 = 2
⇔
x4 = −2



x3 = 3
le vecteur (1, 2, 3, −2) est solution du système.
1.3.3
Pivot de Gauss
C’est un algorithme de résolution de système. Attention : il marche à tous les coups en théorie, mais en pratique
sur les ordinateurs il n’est pas le plus efficace à cause des erreurs d’arrondis (il y a parfois des divisions par des
très grands nombres)
1. on divise la première ligne par a11
2. on rajoute aux lignes 2, 3, 4, . . . la première ligne multipliée par −a21 , −a31 , −a41 , . . .
3. on recommence avec la ligne suivante

x1
+x2
+x3
+x4 =
4



x1
−x2
+x3
−x4 =
4
Exemple 6
x1
−x2 −2x3 −3x4 = −1



5x
+2x
−x3 +3x4 =
0
1
2

x1
+x2
+x3
+x4 =
4



−2x2
−2x4 =
0
⇔
−2x2 −3x3 −4x4 =
−5



−3x
−6x
−2x
=
−20
2
3
4

x1 +x2
+x3
+x4 =
4



x2
+x4 =
0
⇔
−3x3 −2x4 =
−5



−6x3
+x4 = −20
3
⇔

x1







x1



x2
⇔
x3



x4
+x2
x2
+x3
x3
+x4
+x4
+ 23 x4
5x4
=
4
=
0
5
=
3
= −10
=
1
=
2
=
3
= −2
4
2
Matrices
2.1
Définitions
Définition 2 On appelle matrice à n lignes et p colonnes un tableau A contenant n × p réels notés aij , avec
1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ p.


3
1
5 . L’élément a31 = 4, l’élément a22 = 5.
Exemple 7 Une matrice à 3 lignes et 2 colonnes: A =  2
4 −1

1
Exemple 8 Une matrice à 3 lignes et 4 colonnes: A =  5
0
2
4
6
3
3
3

4
2 
2
Définition 3 Quelques matrices particulières:
• une matrice à une ligne et p colonnes s’appelle une matrice ligne (ou vecteur ligne)
• une matrice à n lignes et 1 colonnes s’appelle une matrice colonne (ou vecteur colonne)
• une matrice à n lignes et n colonnes s’appelle une matrice carrée


0 ... 0


• la matrice  ... . . . ...  s’appelle la matrice nulle
0
...
0


... 0
. 
..
. ..  s’appelle la matrice identité d’ordre n, noté In .
... 1


1 0 0 0
 0 1 0 0 
0

, I4 = 
 0 0 1 0 
1
0 0 0 1
1
 ..
• la matrice carrée n × n  .
0
Exemples: I2 =
1
0
Définition 4 Une matrice obtenue en échangeant les lignes et colonnes de la matrice A s’appelle la (matrice)
transposée de A, notée T A


3
1
3 2
4
5 . L’élément a31 = 4, T A =
Exemple 9 A =  2
.
1 5 −1
4 −1
2.2
Calcul matriciel
2.2.1
Égalité:
on dit que deux matrices A et B sont égales si elles ont la même taille et que ∀1 ≤ i ≤ n, ∀1 ≤ j ≤ p, on a
aij = bij .
2.2.2
Addition:
A + B = C ⇐⇒ aij + bij = cij ∀1 ≤ i ≤ n, ∀1 ≤ j ≤ p
4 On ne peut additionner que deux matrices de même taille.
1 2
5 6
Exemple 10 A =
,B =
3 4
7 8
6
8
A+B =
10 12
5
2.2.3
Multiplication par un réel:
le produit de la matrice A par le réel k est la matrice A0 = kA telle que a0ij = kaij ∀1 ≤ i ≤ n, ∀1 ≤ j ≤ p
1 2
5 10
π 2π
Exemple 11 A =
, 5A =
, πA =
, 1.A = A et 0.A = 0
3 4
15 20
3π 4π
2.2.4
Produit de deux matrices:
le produit de la matrice A à n lignes P
et p colonnes par la matrice B à p lignes et m colonnes est la matrice C à n
p
lignes et m colonnes telle que cij = k=1 aik bkj ∀1 ≤ i ≤ n, ∀1 ≤ j ≤ m


1 2
2 −1 −4 6


−3 0 , B =
Exemple 12 A =
, C = AB
−2
3
1 4
1 5
2 −1 −4 6
3
1 4 

  −2
1 2
−2
5
6
14
 −3 0   −6
3 12 −18 
1 5
−8 14
1
26
4 Le produit de deux matrices n’est pas commutatif (AB 6= BA)! La plupart du temps,si on peut effectuer le
produit AB, le produit BA n’existe pas (comme dans l’exemple précédent!).
1 2
5 6
Exemple 13 A =
,B =
3 4
7 8
5 6
1 2
7 8 et 3 4 1 2
17 23
5 6
20 38
3 4
39 53
7 8
30 44
2.2.5
Opérations et transpositions
1. t (A + B) =t A +t B
2. t (AB) =t B ×t A
2.3
Matrices carrées
2.3.1
Matrices inversibles
Définition 5 On appelle A et B des matrices régulières si et seulement si AB = BA = In . On dit alors que A
est inversible et B = A−1 (et B −1 = A).
2
−1
2 1
3
3
Exemple 14 A =
,B =
−1
2
1 2
3
3
2
−1
3
−1
2
1
2
1
3
1
0
3
2
3
0
1
La matrice AB = I2 , la matrice A est donc inversible et A−1 = B.
4 seules des matrices carrées peuvent être inversibles
4 toutes les matrices carrées ne sont pas inversibles
0 2
Exemple 15 la matrice
n’est pas inversible.
0 1
6
2.3.2
Une méthode pour inverser les matrices
1. on part de la matrice à inverser A
2. on essaye d’obtenir la matrice identité par des combinaisons linéaires sur les lignes (ou sur les colonnes)
3. on effectue ces mêmes combinaisons linéaires sur la matrice identité
4. on obtient alors la matrice A−1
2 1
Exemple 16 A =
1 2
2 1
1 0
1 2 0 1 3 0
2 −1
L1 ← 2L1 − L2
1
2
0
1 3 0
2 −1
L2 ← 3L2 − L1
0
6
−2
4 2
−1
L1 ← L1 /3
1 0
3
3
−1
2
L
0 1
2 ← L6
3
3


1 2 −1
Exemple 17 A =  0 1 1 
1 1 2



1 0
1 2 −1
 0 1
 0 1 1 
 0 0
 1 1 2 
1 0
1 2 −1
 0 1
 0 1
1 
 −1 0
 0 −1 3 
1 0
1 2 −1
 0 1
 0 1 1 
 0 0 4 
 −1 1
1 0
1 2 −1
 0 1 1 
 0 1
−1
1
4
 4
 0 0 1 
1 0
1 2 −1
3
 1
 0 1 0 
4
4
−1
1
4
0 0 1 
 14 −5
1 0 0
4
4
3
 0 1 0 
 1
4
4
−1
1
0 0 1
4
 4

1 −5 3
3 −1 
A−1 = 41  1
−1 1
1

0
0 
1 
0
0 
1 
0
0 
1 
0
0 
1
4
0
−1
4
1
4
3
4
−1
4
1
4
L3 ← L3 − L1
L3 ← L3 + L2
L3 ← L3 /4


L2 ← L2 − L3


L1 ← L1 − 2L2 + L3
7
3
Espaces vectoriels
3.1
Structure d’espace vectoriel
Définition 6 On appelle espace vectoriel réel (R-ev) un ensemble E muni d’une loi interne “+” (addition) et
d’une loi externe “.” (multiplication par un réel) telles que:
−
−
−
−
−
−
• “+” est associative: (→
u +→
v)+→
w =→
u + (→
v +→
w)
−
−
−
−
• “+” est commutative: →
u +→
v =→
v +→
u
→
− →
− −
−
• il existe un élément neutre pour “+”, c’est le vecteur nul 0 . 0 + →
u =→
u
→
−
−
−
−
−
• tout élément →
u de E admet un opposé →
u 0 , tel que →
u +→
u0 = 0
• la loi “.” est compatible avec la loi “+” dans E et dans R:
−
−
−
−
−
−
– λ(→
u +→
v ) = λ→
u λ→
v , avec λ ∈ R et →
u,→
v ∈E
→
−
→
−
→
−
−
– (λ + µ) u = λ u + µ u , avec λ, µ ∈ R, et →
u ∈E
−
−
−
– λ(µ→
u ) = (λµ)→
u , avec λ, µ ∈ R, et →
u ∈E
→
−
→
−
→
−
– 1. u = u , avec u
−
−
−
−
Proposition 1 Un ev est stable par combinaison linéaire; si →
u et →
v ∈ E, alors ∀λ, µ ∈ R, λ→
u + µ→
v ∈E
Remarque 1
• si F, sous-ensemble de E, est stable par combinaisons linéaires (i.e. toute combinaison linéaire
de deux éléments de F est un élément de F), on dit que F est un sous-espace vectoriel de E (sev).
• une intersection de deux espaces vectoriels est un espace vectoriel
• une union de deux espaces vectoriels n’est pas un espace vectoriel
Exemple 18 la droite, le plan vectoriel sont des ev. l’ensemble des fonctions trigonométrique est un ev.
3.2
Bases
→
−
→
−
−
Définition 7 On dit que →
a est une combinaison linéaire des vecteurs de la famille ( b1 , . . . , bn ) ssi il existe n réels
Pn
→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
λ1 , . . . , λn (éventuellement nuls) tels que →
a = λ1 b1 + λ2 b2 + . . . + λn bn . On note aussi →
a = i=1 λi bi
→
−
→
−
→
− →
−
−
−
Exemple 19 →
a = (5, 3), b1 = (2, 1), b1 = (1, 1). →
a = b1 + b2
→
−
→
−
−
Remarque 2 Si la famille est réduite à un seul élément b , on dit que →
a et b sont colinéaires.
→
−
→
−
→
−
Définition 8 Une famille ( b1 , . . . , bn ) de vecteurs de E est dite libre ssi la seule solution de l’équation λ1 b1 +
→
−
→
−
→
−
λ2 b2 + . . . + λn bn = 0 est λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.
Définition 9 Une famille qui n’est pas libre est dite liée. Cela signifie qu’il existe au moins un vecteur de la famille
qui peut s’exprimer comme combinaison linéaire d’autres vecteurs de la famille.
Exemple 20
→
−
−
−
−
−
• →
u (1, 2, 3) et →
v (3, 2, 1) forment une famille libre de R3 , car λ→
u + µ→
v = 0 ⇒λ=µ=0
−
−
−
−
−
−
• →
u (1, 2, 3), →
v (3, 2, 1) et →
w (1, 1, 1) forment une famille liée de R3 car →
u = 4→
w −→
v
→
−
→
−
Définition 10 Une famille ( b1 , . . . , bn ) de vecteurs de E est dite génératrice si elle engendre l’ensemble E, c’est à
dire si tout vecteur de E peut s’exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille. l’espace vectoriel
engendré par une famille est l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de la famille.
Définition 11 On appelle base de E toute famille de vecteurs de E libre et génératrice.
Proposition 2
unique.
1. tout vecteur de E s’écrit comme combinaison linéaire des vecteurs de la base de manière
2. toutes les bases de E ont le même cardinal n(=le même nombre de vecteurs). n s’appelle la dimension de
l’espace vectoriel.
Proposition 3 Dans un espace vectoriel E de dimension n,
8
1. toute famille libre de n vecteur est génératrice (et donc une base). Une base est la plus grande famille libre
que l’on puisse trouver.
2. toute famille génératrice de n éléments est libre (et donc est une base). Une base est la plus petite famille
génératrice que l’on puisse trouver.
Définition 12 Le rang d’une famille est la dimension du sous-espace engendré par cette famille
→
−
→
−
→
−
−
Exemple 21 Dans R3 , soit la famille i = (1; 0; 0); j = (0; 1; 0); k = (0; 0; 1); →
m = (1; 1; 0). La famille
− →
−
→
− →
−
→
− →
− →
→
− →
− →
−
{ i , j } est libre mais pas génératrice, la famille i , j , k , m) est génératrice mais pas libre, la famille i , j , k
→
− →
− →
→
− →
−
−
→
−
est libre et génératrice, c’est une base. La famille i , j , m n’est ni libre ( i + j = m) ni génératrice.
9
4
Applications linéaires
4.1
Définitions
Définition 13 On appelle application linéaire (AL) d’un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F toute
application Φ de E dans F telle que
−
−
−
−
−
−
1. Φ(→
x +→
y ) = Φ(→
x ) + Φ(→
y ) ∀→
x,→
y ∈E
−
−
−
2. Φ(λ→
x ) = λΦ(→
x ) ∀→
x ∈ E et ∀λ ∈ R
√
−
Exemple 22 En dimension 1, f (→
x ) = 3x est une AL, mais x n’en est pas une; En dimension supérieure,
projections, rotations sont des AL;
Proposition 4 propriétés:
• l’image d’un e.v. par une AL est un e.v.
• l’image d’un s.e.v. de E par une AL est un s.e.v. de F
→1 + λ2 −
→2 + . . . + λn −
−
→
−
→
−
→
• f (λ1 −
x
x
x→
n ) = λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 ) + . . . + λn f (xn )
→
−
→
−
• f( 0 ) = 0
• la composée de deux AL est une AL
Définition 14 On dit que f fonction de E dans f est
• injective si deux éléments distincts de E ont des images distinctes dans F
• surjective si tout élément de F est image d’au moins un élément de E
• bijective si elle est injective et surjective (alors F si f (E) = F )
4.2
Représentation matricielle des AL
→
−0
−
→
0
0
−
→
Soient E et E’ deux espaces vectoriels de bases B = (→
e1 , . . . , e−
n ) pour E et B = ( e1 , . . . , en ) pour E’. Soit f une
0
−
→
AL de E dans E’. f est déterminée par la donnée de f (→
e1 ), . . . , f (e−
n ) dans la base B .
→
−
→
−
−
→
−
f (→
e1 ) = a11 e01 + a21 e02 + . . . + am1 e0m
..
.
→
−0
→
−0
−
→
0
f (−
e→
n ) = a1n e + a2n e + . . . + amn e
1

a11
 a21

La matrice A 
..

.
am1
...
...
a1n
a2n
..
.
...
. . . amn
2
m


(X)

.
 est la matrice de l’AL f de E dans E’; Y=AX;
(A) (Y )

Proposition 5 la matrice de la composée de deux AL est le produit des deux matrices représentant les AL (démo
immédiate).
Proposition 6 A inversible ⇐⇒ l’AL correspondante est une bijection.
4.3
Changement de base
4.3.1
Matrice de changement de base
→
−
→
−
Soit E un espace vectoriel de dimension n et B = ( b1 , . . . , bn ) une base de E (ancienne base). Soit B 0 =
→
−0
→
−0
( b1 , . . . , bn ) une autre base de E (nouvelle base).Le but du changement de base est d’exprimer les coordonnées
des vecteurs de E dans la nouvelle base à partir des coordonnées dans l’ancienne base.
On peut exprimer les vecteurs de B’ dans la base B:
10
→
−0
b1
..
.
→
−0
bn
=
...
=
→
−
→
−
→
−
p11 b1 + p21 b2 + . . . pn1 bn
..
.
→
−
→
−
→
−
p1n b1 + p2n b2 + . . . pnn bn
−
B: →
x
0
→
−
B : x
On veut exprimer les valeurs x01 , . . . , x0n en fonction de x1 , . . . , xn .
−
Un vecteur →
x de E s’exprime dans les bases B et B’ comme suit:
→
−
→
−
→
−
= x1 b1 + x2 b2 + . . . + xn bn
→
−
→
−
→
−
= x01 b01 + x02 b02 + . . . + x0n b0n
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
x = x01 (p11 b1 +p21 b2 +. . .+pn1 bn )+x02 (p12 b1 +p22 b2 +. . .+pn2 bn )+. . .+x0n (p1n b1 +p2n b2 +. . .+pnn bn )
C’est équivalent à
→
−
→
−
→
−
→
−
x = (x01 p11 +x02 p12 +. . .+x0n p1n ) b1 +(x01 p21 +x02 p22 +. . .+x0n p2n ) b2 +. . .+(x01 pn1 +x02 pn2 +. . .+x0n pnn )bn
D’où:
x1
x2
..
.
xn
=
=
...
=
x01 p11 + x02 p12 + . . . + x0n p1n
x01 p21 + x02 p22 + . . . + x0n p2n
..
.
x01 pn1 + x02 pn2 + . . . + x0n pnn
ce qui s’exprime sous la forme matricielle:

 
x1
p11
 x2   p21

 
 ..  =  ..
 .   .
xn
pn1



P =

p11
p21
..
.
p12
p22
..
.
...
...
p1n
p2n
..
.
p12
p22
..
.
pn2
...
...
...
...
p1n
p2n
..
.
pnn





x01
x02
..
.
x0n








 s’appelle matrice de passage de B dans B’. X = P X 0 permet d’exprimer

...
pn1 pn2 . . . pnn
les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles. P −1 est la matrice de passage de B’ dans B : X 0 = P −1 X
permet d’exprimer les nouvelles coordonnées en fonction des anciennes.
4.3.2
Changement de base et AL
Proposition 7 Si A est la matrice de l’AL f dans la base B et A’ la matrice de l’AL f dans la base B’, si P est la
matrice de passage de B dans B’, alors A0 = P −1 AP
11
5
Déterminant
5.1
Définition
Définition 15 le déterminant ∆ est une fonction de E n (l’ensemble des matrices carrées) dans R telle que:
• ∆ est linéaire par rapport à chaque colonne; si on multiplie une colonne par λ, on multiplie le déterminant
par λ
• ∆ est alternée: si on échange deux colonnes de places, on multiplie le déterminant par -1
• ∆(I) = 1
Proposition 8
1. si une colonne peut s’exprimer comme combinaison linéaire d’autres colonnes, alors le
déterminant est nul
2. on ne change pas le déterminant en ajoutant ou retranchant à une colonne une combinaison linéaire d’autres
colonnes
3. ∆(A) = ∆(T A), donc tout ce qui est valable sur les colonnes l’est aussi sur les lignes
cadre
famille de vecteurs
matrice carrée
AL
système d’équations
5.2
∆=0
famille liée
non inversible
non bijective
pas de solutions, ou une infinité
∆ 6= 0
famille libre
inversible
bijective
une seule solution
Calcul
5.2.1
Déterminant d’ordre 2
a b
Soit une matrice
c d
a b a b
= ad − bc
∆
=
c d c d
3 5 =3×2−5×1=1
Exemple 23 1 2 On peut en déduire:
3 5
1. la matrice
est inversible
1 2
3
5
2. les vecteurs
et
forment une base
1
2
3
1
3. les vecteurs
et
forment une base
5
2
3x + 5y = a
4.
a une solution et une seule
x + 2y = b
8 4 =8×1−2×4=0
Exemple 24 2 1 On peut en déduire:
8 4
1. la matrice
n’est pas inversible
2 1
8
4
2. les vecteurs
et
sont liés
2
1
8
2
3. les vecteurs
et
forment une base
4
1
8x + 4y = a
4.
a une infinité de solution si a = 4b, ou aucune si a 6= 4b
2 + 1y = b
12
5.2.2
Déterminant d’ordre supérieur
Pour calculer les déterminants d’ordre supérieur, il faut les développer par rapport à une ligne ou à une colonne
pour se ramener au calcul
de déterminants d’ordre inférieur. On effectue le développement de manière alternée.
x11 x12 x13 +
−
+ x21 x22 x23 = +x11 x22 x23 − x21 x12 x13 + x31 x12 x13 −
x22 x23 x32 x33
x32 x33
+
− x31 x32 x33 +
−
+ Exemple
25
1
2
+ −
−3 1
− +
2
1
+ −
(développement
suivant la première colonne)
3 + 1 3 3 − (−3) × 2 −3 + 2 2
=
+1
×
1
1 −2
1 −2
− −2 + = 1 × (−2 + 3) + 3 × (−4 + 3) + 2 × (6 + 3)
= 10
Exemple
26
2
1
+
−
−1 0
−
+
3 −1
+
−
(développement
suivant la première ligne)
0 + 0 2 2 − 1 × −1 2
=
+2
×
3 1
−1 1
− 1 + = 2 × (0 + 2) − 1 × (−1 − 6) + 0
= 11
3 3 0 −1 + 0 −1
3
Remarque 3 Comme on ne change pas un déterminant en ajoutant à une colonne (resp. ligne) une combinaison
linéaire d’autres colonnes (resp. lignes), on va “préparer” le déterminant avant de le développer.
Exemple
27
2
1
−1 0
3 −1
5.2.3
(développement
suivant la dernière
colonne)
2
0 1 0 2 = −7 2 0 (L2=L2-2L3)
3 −1 1 1 2 1
−7 2 − 0 × = 0×
3 −1
3 −1 = 11
1 2 + 1 2
−7
Système de Cramer
On peut résoudre un système possédant une seule solution grâce aux déterminants: Soit le système


 a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
..
.
.
= ..


an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn
a11 a12 . . . a1n ..
Si ...
6= 0, alors
=.
an1 an2 . . . ann a
.
.
.
a
a
.
.
.
b
b1
a11
12
1n
12
n
.
..
..
..
.
.
=.
.
=.
x1 =
bn an2 . . . ann , . . ., xn =
a11 a12 . . . a1n ..
.
.
= ..
an1 an2 . . . ann a1n an2 . . . bn a11 a12 . . . a1n ..
.
.
= ..
an1 an2 . . . ann 13

+x3
 x1 +x2
x1 −x2
+x3
Exemple 28

x1 −x2 −2x3
Déterminant
du système:
1 2
1
1
1 = 1 0
1 −1
1
1 0
1 −1 −2 = −2 × =
=
=
0
−4
5
1 1 −2 1
1 1 −2 = 6
Résolution du système:
0
1
1 −4 −1
1 5 −1 −2 x1 =
6
−4 −1
−4
1
+1×
−1×
5 −1
5 −2 =
6
= −3+9
6
= 1
1
0
1 1 −4
1 1
5 −2 x2 =
6
−4
1 −4 1 1×
+1×
5 −2 1
5 =
6
= 3+9
6
= 2
1
1
0 1 −1 −4 1 −1
5 x3 =
6
−1 −4 1 −4 1×
−1×
−1
5 1
5 =
6
= −9−9
6
= −3
References
[1] Jacques Dixmier, Cours de Mathématiques du premier cycle, Dunod, 2001,.
14