Cours d`Algèbre Module 214

Cours d’Algèbre
Module 214 - DUT QLIO
Nordine Chraiti
Anne Mevel
Semestre 2, 2010-2011
1 Systèmes d’équations linéaires
1.1 Définitions
Définition 1 On appelle système de néquations linéaires à pinconnues un ensemble de nrelations entre pvari-
ables sous la forme 
a11x1+a12x2+. . . +a1pxp=b1
a21x1+a22x2+. . . +a2pxp=b2
. . .
an1x1+an2x2+. . . +anpxp=bn
vavec les coefficients aij et bi∈Ret
Exemple 1 Système de deux équations à deux inconnues: 5x1+ 2x2= 19
x1+ 3x2= 9
Résoudre un système consiste à trouver le (ou éventuellement les) vecteurs(x1, . . . , xpqui vérifient simultané-
ment toutes les équations
Exemple 2 5x1+2x2= 19
x1+3x2= 9
Si on prend x1= 6 et x2= 1, on vérifie la deuxième équation mais pas la première.
Si on prend x1= 3 et x2= 2, le vecteur (3,2) est solution du système considéré.
4un système peut avoir 0,1 ou une infinité de solutions.
Exemple 3 x1−x2= 1
2x1−2x2= 0 ⇒aucune solution
x1−x2= 1
x1+x2= 3 ⇒une seule solution: le vecteur (2,1)
x1−x2= 1
2x1−2x2= 2 ⇒infinité de solution du type (a, a −1) avec a∈R
1.2 Interprétation géométrique
1.2.1 En dimension 2
Une équation à 2 inconnues est une équation de droite. Un couple (x1, x2)vérifie l’équation si le point de coor-
données (x1, x2)est situé sur la droite. Résoudre un système consiste à rechercher l’intersection de deux droites.
1. droites parallèles: 0 solution
2. droites sécantes: 1 solution
3. droites confondues: infinité de solutions
1

1.2.2 En dimension 3
Une équation à trois inconnues est une équation de plan. Un triplet (x1, x2)vérifie l’équation si le point de
coordonnées (x1, x2, x3)est situé sur le plan. Résoudre un système consiste à rechercher l’intersection de trois
plans.
1. plans parallèles: 0 solution
2. 3 plans sécants: 1 solution
3. 2 ou 3 plans confondus: infinité de solutions
1.3 Méthode de résolution
Il existe deux méthodes de résolution: par combinaison ou par substitution.
1.3.1 Méthode de combinaison
Idée: une combinaison linéaire des équations du système permet de simplifier le système.
Opérations licites:
•échanger deux lignes de place
•multiplier une ligne par un réel
•ajouter à une ligen une combinaison linéaire d’autres lignes
4On garde toujours le même nombre de lignes
Exemple 4 Système à 4 équations et 4 inconnues
x1+x2+x3+x4= 4
x1−x2+x3−x4= 4
x1−x2−2x3−3x4=−1
5x1+2x2−x3+3x4= 0
⇔
x1+x2+x3+x4= 4
2x1+2x3= 8 L0
2=L2+L1
4x1+2x2+x3= 11 L0
3=L2+ 3L1
6x1+x2−x3=−1L0
4=L4+L3
⇔
x1+x2+x3+x4= 4
x1+x3= 4 L0
2=L2/2
4x1+2x2+x3= 11
6x1+x2−x3=−1
⇔
x1+x2+x3+x4= 4
x1+x3= 4
−8x1+7x3= 13 L0
3=L3−2L4
6x1+x2−x3=−1
⇔
x1+x2+x3+x4= 4
x1+x3= 4
15x3= 45 L0
3=L3+ 8L2
6x1+x2−x3=−1
⇔
x1+x2+x3+x4= 4
x1+x3= 4
x3= 3
6x1+x2−x3=−1
⇔
x4=−2
x1= 1
x3= 3
x2= 2
le vecteur (1,2,3,−2) est solution du système.
2

1.3.2 Méthode de substitution
idée : on isole un terme dans une équation et on remplace ce terme par sa valeur (fonction des autres termes) dans
les autres équations.
Exemple 5 
x1+x2+x3+x4= 4
x1−x2+x3−x4= 4
x1−x2−2x3−3x4=−1
5x1+2x2−x3+3x4= 0
⇔
x1= 4 −x2−x3−x4
(4 −x2−x3−x4)−x2+x3−x4= 4
(4 −x2−x3−x4)−x2−2x3−3x4=−1
5(4 −x2−x3−x4)+2x2−x3+ 3x4= 0
⇔
x1= 4 −x2−x3−x4
−2x2−2x4= 0
−2x2−3x3−4x4=−5
−3x2−6x3−2x4=−20
⇔
x1= 4 −x2−x3−x4
x2=−x4
−2(−x4)−3x3−4x4=−5
−3(−x4)−6x3−2x4=−20
⇔
x1= 4 −x2−x3−x4
x2=−x4
−3x3−2x4=−5
x4=−20 + 6x3
⇔
x1= 4 −x2−x3−x4
x2=−x4
x4=−20 + 6x3
−15x3=−45
⇔
x1= 1
x2= 2
x4=−2
x3= 3
le vecteur (1,2,3,−2) est solution du système.
1.3.3 Pivot de Gauss
C’est un algorithme de résolution de système. Attention : il marche à tous les coups en théorie, mais en pratique
sur les ordinateurs il n’est pas le plus efficace à cause des erreurs d’arrondis (il y a parfois des divisions par des
très grands nombres)
1. on divise la première ligne par a11
2. on rajoute aux lignes 2,3,4, . . . la première ligne multipliée par −a21,−a31,−a41, . . .
3. on recommence avec la ligne suivante
Exemple 6 
x1+x2+x3+x4= 4
x1−x2+x3−x4= 4
x1−x2−2x3−3x4=−1
5x1+2x2−x3+3x4= 0
⇔
x1+x2+x3+x4= 4
−2x2−2x4= 0
−2x2−3x3−4x4=−5
−3x2−6x3−2x4=−20
⇔
x1+x2+x3+x4= 4
x2+x4= 0
−3x3−2x4=−5
−6x3+x4=−20
3

⇔
x1+x2+x3+x4= 4
x2+x4= 0
x3+2
3x4=5 3
5x4=−10
⇔
x1= 1
x2= 2
x3= 3
x4=−2
4

2 Matrices
2.1 Définitions
Définition 2 On appelle matrice à nlignes et pcolonnes un tableau Acontenant n×préels notés aij , avec
1≤i≤net 1≤j≤p.
Exemple 7 Une matrice à 3 lignes et 2 colonnes: A=
3 1
2 5
4−1
. L’élément a31 = 4, l’élément a22 = 5.
Exemple 8 Une matrice à 3 lignes et 4 colonnes: A=
1234
5432
0632
Définition 3 Quelques matrices particulières:
•une matrice à une ligne et pcolonnes s’appelle une matrice ligne (ou vecteur ligne)
•une matrice à nlignes et 1 colonnes s’appelle une matrice colonne (ou vecteur colonne)
•une matrice à nlignes et ncolonnes s’appelle une matrice carrée
•la matrice 
0. . . 0
.
.
.....
.
.
0. . . 0
s’appelle la matrice nulle
•la matrice carrée n×n
1. . . 0
.
.
.....
.
.
0. . . 1
s’appelle la matrice identité d’ordre n, noté In.
Exemples: I2=1 0
0 1 ,I4=
1000
0100
0010
0001
Définition 4 Une matrice obtenue en échangeant les lignes et colonnes de la matrice As’appelle la (matrice)
transposée de A, notée TA
Exemple 9 A=
3 1
2 5
4−1
. L’élément a31 = 4,TA=3 2 4
1 5 −1.
2.2 Calcul matriciel
2.2.1 Égalité:
on dit que deux matrices Aet Bsont égales si elles ont la même taille et que ∀1≤i≤n, ∀1≤j≤p, on a
aij =bij .
2.2.2 Addition:
A+B=C⇐⇒ aij +bij =cij ∀1≤i≤n, ∀1≤j≤p
4On ne peut additionner que deux matrices de même taille.
Exemple 10 A=1 2
3 4 ,B=5 6 7 8 
A+B=6 8
10 12 
5