Lycée Cassini BTS CGO 2014-2015 Test de début

Lycée Cassini BTS CGO 2014-2015
Test de début d’année
Exercice 1
Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées. Déterminer celles qui sont correctes.
On a mesuré, en continu pendant quatre heures, la concentration Cd’un médicament dans le sang d’un patient. La fonction
Cest représentée ci-dessous.
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.5
1
1.5
0
Concentration (mg/L)
Temps (h)
1. Quelle est la concentration du médicament dans le sang au bout de 2 h ?
(a) environ 0,5 (b) environ 1 (c) environ 1,5 (d) environ 0,9
+
0+ 0.5 + 1+ 1.5 + 2+ 2.5 + 3+ 3.5 + 4
+
0.5
+
1
+
1.5 Concentration (mg/L)
Temps (h)
La bonne réponse est la réponse d, c’est-à-dire environ 0,9.
2. Laquelle (lesquelles) de(s) (in)équations ci-dessous a pour solution l’intervalle de temps où la concentration du mé-
dicament est au plus égale à 1 ?
(a) C(h)>1 (b) C(h)=1 (c) C(h)<1 (d) C(h)É1
” au plus égale à 1 ” signifie ≤1, donc la bonne réponse est la réponse d.
Voici les tracés utiles si l’on souhaite résoudre l’inéquation proposée, la concentration du médicament est au plus égale à 1 entre 0
h et environ 0,9 h puis entre environ 1,8 h et 4 h.
+
0+ 0.5 + 1+ 1.5 + 2+ 2.5 + 3+ 3.5 + 4
+
0.5
+
1
+
1.5 Concentration (mg/L)
Temps (h)
1

3. À quel(s) moment(s) la concentration dans le sang est-elle de 0.5 mg/L ?
(a) ≈40 min (b) ≈2 h 20 min (c) ≈0,667 h
On trace la droite d’équation y=0,5.
Les trois réponses proposées sont correctes (40 min≈0,667 h).
+
0+ 0.5 + 1+ 1.5 + 2+ 2.5 + 3+ 3.5 + 4
+
0.5
+
1
+
1.5 Concentration (mg/L)
Temps (h)
4. Ce médicament est jugé efficace quand la concentration dans le sang dépasse 0,75 mg/L.
Quelle est donc sa période d’efficacité ? (On arrondira grossièrement.)
(a) jusqu’à 2 h (b) jusqu’à 4 h (c) dès 45 min (d) entre 0,75 et 2 h
On trace la droite d’équation y=0,75.
+
0+ 0.5 + 1+ 1.5 + 2+ 2.5 + 3+ 3.5 + 4
+
0.5
+
1
+
1.5 Concentration (mg/L)
Temps (h)
La concentration dépasse 0,75 mg/L entre 0,8 et 2,15 h, c’est la réponse dqui est correcte.
5. Au bout de combien de temps le médicament est-il le plus concentré ?
(a) ≈1 h (b) ≈1 h 30 min (c) ≈1 h 50 min (d) ≈4 h
Le maximum est atteint au bout d’une heure, c’est la réponse aqui est correcte.
+
0+ 0.5 + 1+ 1.5 + 2+ 2.5 + 3+ 3.5 + 4
+
0.5
+
1
+
1.5 Concentration (mg/L)
Temps (h)
6. Sur quel intervalle la dérivée de cette fonction est-elle positive ?
(a) [0;1] (b) [1;4] (c) [0;4] (d) On ne peut pas savoir
La dérivée est positive quand la fonction est croissante, c’est donc sur l’intervalle [0;1], réponse a.
7. Le nombre dérivé de cette fonction en 2 est :
(a) positif (b) négatif (c) nul (d) On ne peut pas savoir
Le nombre dérivé (s’il existe) de cette fonction en 2 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse 2,
celui-ci est négatif, c’est donc la réponse b.
2

Exercice 2
On donne ci-dessous la représentation graphique C d’une fonction fdéfinie sur [0 ; 10].
La tangente à la courbe C au point A d’abscisse 5 est tracée.
Parmi les quatre courbes proposées, déterminer laquelle représente graphiquement la dérivée f′de la fonction f.
1
2
3
-1
-2
-3
-4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1 0
C
A
1
2
3
-1
-2
-3
-4
12345678910
0
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
12345678910
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4
12345678910
0
1
2
-1
-2
-3
-4
-5
12345678910
0
a. Courbe 1 b. Courbe 2 c. Courbe 3 d. Courbe 4
Réponse : c (Courbe 3)
En comparant le sens de variation de fet le signe des fonctions proposées comme dérivées, on peut éliminer les courbes 1
et 4, de plus, la tangente à Cpassant par A a pour coefficient directeur 1 ce qui permet d’éliminer la courbe 2.
Exercice 3
Dans cet exercice, pour chaque question trois réponses sont proposées, une seule est correcte. Soit fla fonction définie et
dérivable sur l’intervalle [−3 ; 4] par f(x)=x3−3x2−9x+3.
On note f′la fonction dérivée de fsur [−3 ; 4].
On donne le tableau de variation de la fonction fsur [−3 ; 4] :
x−3−1 3 4
8−17
f
−24 −24
1. L’expression de f′(x) est :
a) f′(x)=x2−6x−9 b) f′(x)=3x2−6x−9 c) f′(x)=3x2−6x−6
Réponse b : f′(x)=3x2−6x−9
2. Sur l’intervalle [−3 ; 4] la fonction f′est :
a) positive b) négative c) de signe non constant
Réponse c : de signe non constant
3. Le calcul de f(−2) donne :
a) 25 b) −11 c) 1
Réponse c : 1 car (−2)3−3×(−2)2−9×(−2) +3=−8−3×4+18+3=−8−12+18+3=1.
4. L’équation f(x)=0 admet sur l’intervalle [−3 ; 4] :
a) aucune solution b) une unique solution c) deux solutions
Réponse c : deux solutions, une dans l’intervalle [−3;−1] et l’autre dans l’intervalle [−1;3].
3

Exercice 4
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, parmi lesquelles une seule est correcte.
Soit fla fonction définie pour tout réel x6= −1 par f(x)=x+2
x+1.
1. L’image de 3 par la fonction fest :
A. 14
3B. 5 4C. 2
Réponse B. 5
4car f(3) =3+2 3+1
2. Soit Cla courbe représentative de la fonction fdans un repère du plan.
Le point de coordonnées (−2 ; 0) est situé :
A. au-dessous de C? B. au-dessus de C? C. sur C?
Réponse C. sur la courbe Ccar f(−2) =−2+2
−2+1=0 par conséquent le point de coordonnées (−2 ; 0) appartient à la
courbe.
3. On note f′la fonction dérivée de la fonction f. Pour tout réel x6=−1 :
A. f′(x)=−1
(x+1)2B. f′(x)=1 C. f′(x)=1 x+1
Réponse A. f′(x)=−1
(x+1)2car f′(x)=1(x+1) −1(x+2) (x+1)2=−1 (x+1)2
Exercice 5
1. Résoudre dans Rles équations suivantes :
(a) 2x2+x−3=0
x=1 ou −3
2
(b) 4x2+3x=0
x=0 ou −3
4
(c) −2x2−1=0
Pas de solution
(d) (x+1)2−(x−2)2=0
Une seule solution 1
2
2. Résoudre dans Rles inéquations suivantes :
(a) (4x+1)(−3x+7) É0
S=]−∞;−1
4]∪[7 3;+∞[
(b) 3x2+5xÊ−2
S=]−∞;−1]∪[−2
3;+∞[
(c) x2+1>0
S=R
(d) x2−3x+1<0
S=#3−p5
2;3+p5 2#
4

Exercice 6
Cet exercice est un QCM. Pour chaque proposition, une seule réponse est exacte, cochez-la.
Questions Réponses
1. uest une suite arithmétique de premier terme u0=3 et de raison 5, alors u6est égal à : ❒30
❒18
❒
✓33
2. uest une suite arithmétique de premier terme u1=4 et de raison 3, alors u12 est égal à : ❒
✓37
❒40
❒43
2
3. uest une suite arithmétique telle que u1=4 et u5=16 alors sa raison est égale à : ❒2
❒
✓3
❒4
4. uest une suite arithmétique de premier terme u1=3 et de raison 1,5 alors u1+u2+... +u12 est égal à : ❒
✓135
❒133,5
❒136,5
5. uest une suite géométrique de premier terme u0=2 et de raison 3
2, alors u5est égal à : ❒
✓15,1875
❒5,375
❒9,5
6. uest une suite géométrique de premier terme u1=3 et de raison 2, alors u7est égal à : ❒
✓192
❒384
❒15
7. uest une suite géométrique telle que u1=5 et u4=135 alors sa raison est égale à : ❒27
❒
✓3
❒5,2
8. uest une suite géométrique de premier terme u0=8 et de raison 3, alors u0+u1+...+u5est égal à : ❒
✓2912
❒968
❒60
5