Lycée Cassini BTS CGO 2014-2015 Test de début

Lycée Cassini
BTS CGO
2014-2015
Test de début d’année
Exercice 1
Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées. Déterminer celles qui sont correctes.
On a mesuré, en continu pendant quatre heures, la concentration C d’un médicament dans le sang d’un patient. La fonction
C est représentée ci-dessous.
1.5
Concentration (mg/L)
1
0.5
Temps (h)
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0
1. Quelle est la concentration du médicament dans le sang au bout de 2 h ?
(a) environ 0,5
(b) environ 1
1.5 +
(c) environ 1,5
(d) environ 0,9
Concentration (mg/L)
1+
0.5 +
+
0
+
0.5
+
1
+
1.5
+
2
+
2.5
+
3
+
3.5
Temps (h)
+
4
La bonne réponse est la réponse d, c’est-à-dire environ 0,9.
2. Laquelle (lesquelles) de(s) (in)équations ci-dessous a pour solution l’intervalle de temps où la concentration du médicament est au plus égale à 1 ?
(a) C (h) > 1
(b) C (h) = 1
(c) C (h) < 1
(d) C (h) É 1
” au plus égale à 1 ” signifie ≤ 1, donc la bonne réponse est la réponse d.
Voici les tracés utiles si l’on souhaite résoudre l’inéquation proposée, la concentration du médicament est au plus égale à 1 entre 0
h et environ 0,9 h puis entre environ 1,8 h et 4 h.
1.5+
Concentration (mg/L)
1+
0.5+
+
0
+
0.5
+
1
+
1.5
+
2
1
+
2.5
+
3
+
3.5
Temps (h)
+
4
3. À quel(s) moment(s) la concentration dans le sang est-elle de 0.5 mg/L ?
(a) ≈ 40 min
(b) ≈ 2 h 20 min
(c) ≈ 0,667 h
On trace la droite d’équation y = 0,5.
Les trois réponses proposées sont correctes (40 min≈ 0,667 h).
1.5+
Concentration (mg/L)
1+
0.5+
+
0
+
0.5
+
1
+
1.5
+
2
+
2.5
+
3
Temps (h)
+
4
+
3.5
4. Ce médicament est jugé efficace quand la concentration dans le sang dépasse 0,75 mg/L.
Quelle est donc sa période d’efficacité ? (On arrondira grossièrement.)
(a) jusqu’à 2 h
(b) jusqu’à 4 h
(c) dès 45 min
(d) entre 0,75 et 2 h
On trace la droite d’équation y = 0,75.
1.5+
Concentration (mg/L)
1+
0.5+
+
0
+
0.5
+
1
+
1.5
+
2
+
2.5
+
3
Temps (h)
+
4
+
3.5
La concentration dépasse 0,75 mg/L entre 0,8 et 2,15 h, c’est la réponse d qui est correcte.
5. Au bout de combien de temps le médicament est-il le plus concentré ?
(a) ≈ 1 h
(b) ≈ 1 h 30 min
(c) ≈ 1 h 50 min
(d) ≈ 4 h
Le maximum est atteint au bout d’une heure, c’est la réponse a qui est correcte.
1.5+
Concentration (mg/L)
1+
0.5+
+
0
+
0.5
+
1
+
1.5
+
2
+
2.5
+
3
Temps (h)
+
4
+
3.5
6. Sur quel intervalle la dérivée de cette fonction est-elle positive ?
(a) [0;1]
(b) [1;4]
(c) [0;4]
(d) On ne peut pas savoir
La dérivée est positive quand la fonction est croissante, c’est donc sur l’intervalle [0;1], réponse a.
7. Le nombre dérivé de cette fonction en 2 est :
(a) positif
(b) négatif
(c) nul
(d) On ne peut pas savoir
Le nombre dérivé (s’il existe) de cette fonction en 2 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse 2,
celui-ci est négatif, c’est donc la réponse b.
2
Exercice 2
On donne ci-dessous la représentation graphique C d’une fonction f définie sur [0 ; 10].
La tangente à la courbe C au point A d’abscisse 5 est tracée.
Parmi les quatre courbes proposées, déterminer laquelle représente graphiquement la dérivée f ′ de la fonction f .
3
2
b
C
1
A
-1 0
-1
1
2
3
-2
4
b
5
6
7
8
9
10
b
-3
-4
1
3
2
0
-1
1
0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
2
2
1
1
-2
0
-1
1
2
3
4
5
-3
0
-1
-2
-4
-2
-3
-3
-5
-3
-4
-4
-6
-4
-5
a. Courbe 1
b. Courbe 2
c. Courbe 3
d. Courbe 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
-2
Réponse : c (Courbe 3)
En comparant le sens de variation de f et le signe des fonctions proposées comme dérivées, on peut éliminer les courbes 1
et 4, de plus, la tangente à C passant par A a pour coefficient directeur 1 ce qui permet d’éliminer la courbe 2.
Exercice 3
Dans cet exercice, pour chaque question trois réponses sont proposées, une seule est correcte. Soit f la fonction définie et
dérivable sur l’intervalle [−3 ; 4] par f (x) = x 3 − 3x 2 − 9x + 3.
On note f ′ la fonction dérivée de f sur [−3 ; 4].
On donne le tableau de variation de la fonction f sur [−3 ; 4] :
x
−3
3
−1
8
4
−17
f
−24
−24
1. L’expression de f ′ (x) est :
a) f ′ (x) = x 2 − 6x − 9
Réponse b : f ′ (x) = 3x 2 − 6x − 9
b) f ′ (x) = 3x 2 − 6x − 9
c) f ′ (x) = 3x 2 − 6x − 6
2. Sur l’intervalle [−3 ; 4] la fonction f ′ est :
a) positive
b) négative
c) de signe non constant
Réponse c : de signe non constant
3. Le calcul de f (−2) donne :
a) 25
3
2
b) −11
c) 1
Réponse c : 1 car (−2) − 3 × (−2) − 9 × (−2) + 3 = −8 − 3 × 4 + 18 + 3 = −8 − 12 + 18 + 3 = 1.
4. L’équation f (x) = 0 admet sur l’intervalle [−3 ; 4] :
a) aucune solution
b) une unique solution
c) deux solutions
Réponse c : deux solutions, une dans l’intervalle [−3; −1] et l’autre dans l’intervalle [−1; 3].
3
Exercice 4
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, parmi lesquelles une seule est correcte.
x +2
.
Soit f la fonction définie pour tout réel x 6= −1 par f (x) =
x +1
1. L’image de 3 par la fonction f est :
A.
14
3
Réponse B.
B.
5
3+2
car f (3) =
4
3+1
5
4
C. 2
2. Soit C la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan.
Le point de coordonnées (−2 ; 0) est situé :
A. au-dessous de C ?
B. au-dessus de C ?
C. sur C ?
=
0
par
conséquent
le
point
de
coordonnées (−2 ; 0) appartient à la
Réponse C. sur la courbe C car f (−2) = −2+2
−2+1
courbe.
3. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f . Pour tout réel x 6= −1 :
A. f ′ (x) =
−1
(x + 1)2
Réponse A. f ′ (x) =
B. f ′ (x) = 1
1(x + 1) − 1(x + 2)
−1
−1
car f ′ (x) =
=
2
2
(x + 1)
(x + 1)
(x + 1)2
C. f ′ (x) =
1
x +1
Exercice 5
1. Résoudre dans R les équations suivantes :
(a) 2x 2 + x − 3 = 0
−3
x = 1 ou
2
(b) 4x 2 + 3x = 0
−3
x = 0 ou
4
(c) −2x 2 − 1 = 0
Pas de solution
(d) (x + 1)2 − (x − 2)2 = 0
1
Une seule solution
2
2. Résoudre dans R les inéquations suivantes :
(b) 3x 2 + 5x Ê −2
(c) x 2 + 1 > 0
(a) (4x + 1)(−3x + 7) É 0
7
−2
−1
S =R
] ∪ [ ; +∞[
S =]−∞; −1]∪[
; +∞[
S =] − ∞;
4
3
3
4
(d) x 2 −#3x +p
1<0 p #
3− 5 3+ 5
;
S=
2
2
Exercice 6
Cet exercice est un QCM. Pour chaque proposition, une seule réponse est exacte, cochez-la.
Questions
Réponses
1. u est une suite arithmétique de premier terme u0 = 3 et de raison 5, alors u6 est égal à :
❒ 30
❒ 18
✓ 33
❒
2. u est une suite arithmétique de premier terme u1 = 4 et de raison 3, alors u12 est égal à :
✓ 37
❒
❒ 40
❒
3. u est une suite arithmétique telle que u1 = 4 et u5 = 16 alors sa raison est égale à :
43
2
❒ 2
✓ 3
❒
❒ 4
4. u est une suite arithmétique de premier terme u1 = 3 et de raison 1, 5 alors u1 + u2 + ... + u12 est égal à :
✓ 135
❒
❒ 133,5
❒ 136,5
5. u est une suite géométrique de premier terme u0 = 2 et de raison
3
, alors u5 est égal à :
2
✓ 15,1875
❒
❒ 5,375
❒ 9,5
6. u est une suite géométrique de premier terme u1 = 3 et de raison 2, alors u7 est égal à :
✓ 192
❒
❒ 384
❒ 15
7. u est une suite géométrique telle que u1 = 5 et u4 = 135 alors sa raison est égale à :
❒ 27
✓ 3
❒
❒ 5,2
8. u est une suite géométrique de premier terme u0 = 8 et de raison 3, alors u0 + u1 + ... + u5 est égal à :
✓ 2912
❒
❒ 968
❒ 60
5
Exercice 7
Le tableau ci-dessous donne le nombre de voitures neuves (en milliers) vendues en France durant les six premiers mois
de l’année 2013.
Mois
Rang du mois xi
Nombre de ventes (en milliers) y i
Janvier
1
149
Février
2
144
Mars
3
150
Avril
4
140
Mai
5
139
Juin
6
135
¡
¢
1. (a) Voilà le nuage de points de la série xi ; y i .
160
×
×
150
×
× ×
140
×
130
120
110
100
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(b) Ces points sont à peu près alignés (sauf un), donc on peut envisager un ajustement affine.
2. À la calculatrice, on calcule une équation de la droite D d’ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des
moindres carrés. On obtient : y = −2, 71x + 152, 3 , en arrondissant les coefficients à 0,1 près.
3. On décide de modéliser l’évolution du nombre y de ventes de voitures neuves en fonction du rang x du mois par
l’expression y = −2, 7x + 152.
(a) La droite est tracée dans le repère ci-dessus.
(b) Décembre 2013 correspond à x = 12. Nous pouvons lire sur le graphique l’ordonnée du point de la droite d’abscisses 12 ou remplacer x par 12 dans l’équation (plus précis).
On obtient y = −2, 7 × 12 + 152 = 119, 6 . On peut prévoir une vente de 119 600 voitures en décembre 2013.
(c) On résout l’inéquation −2, 7x + 152 < 130.
On en déduit −2, 7x < −22, d’où, en divisant par le nombre négatif -2,7 :
22
≈ 8, 1.
x>
2, 7
On prend le premier nombre entier vérifiant cette condition, donc x = 9.
On pouvait prévoir que le nombre de voitures neuves en France serait strictement inférieur à 130000 véhicules à
partir de septembre 2013.
6
Exercice 8
Les trois parties de l’exercice peuvent être traitées de manière indépendante
L entreprise SAPIQ commercialise des pots de moutarde de 800 g. Un pot est déclaré « conforme » s’il contient entre 790 g
et 810 g de moutarde.
Partie A
1. Complétons l’arbre de probabilités (la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut 1) :
0,93
C
M1
0,6
0,07
0,98
0,4
C
C
M2
C
0,02
³
´
2. (a) p M1 ∩ C = p M1 C × p (M1 ) = 0, 07 × 0, 6 = 0, 042 .
³
´
(b) p M2 ∩ C = p C2 (C × p (M2 )) = 0, 02 × 0, 4 = 0, 008
³
´ ³
´
3. C = M1 ∩ C ∪ M2 ∩ C ; c’est une réunion d’événements incompatibles.
³ ´
³
´
³
´
On en déduit : p C = p M1 ∩ C + p M2 ∩ C = 0, 042 + 0, 008 = 0, 05 .
4. On prélève au hasard un pot parmi les pots non-conformes.
³
´
p M2 ∩ C
0, 008
8
16
³ ´ =
=
=
= 0, 16 .
La probabilité qu’il provienne de la machine M2 est p C (M2 ) =
0, 05
50 100
p C
Partie B
Dans la production d’une journée, On prélève au hasard 50 pots pour effectuer un contrôle. La production est assez
importante pour que l’on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.
On note Y la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 50 pots, associe le nombre de pots conformes.
1. Il y a répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, Y suit donc la binomiale B(50; 0, 95).
2. Au moins 90% des pots soient conformes : c’est à dire P(Y ≥ 45) ≈ 0, 9622.
Partie C
L’entreprise SAPIQ reçoit un agent commercial vantant les mérites d’une nouvelle machine. La masse de moutarde contenue dans un pot produit par cette nouvelle machine est modélisée par une variable aléatoire X. On admet que X suit une loi
normale de moyenne 800 et d’écart type 6.
1. La probabilité arrondie au millième, qu’un pot produit par la nouvelle machine soit conforme est p(790 É X É 810).
On a : p(790 É X É 810) = p(X É 800) + p(800 É X É 810) = 0, 5 + p(X ∈ [800 ; 810]) ≈ 0, 5 + 0, 452 ≈ 0, 952 . (car la droite
d’équation x = 800 est axe de symétrie de la fonction de densité associée à cette variable aléatoire).
2. La probabilité qu’un pot contienne une masse comprise entre 794 g et 806 g est
p(794 É X É 806) ≈ 0, 68 .
Remarque : c’est p(µ − σ É X É µ + σ)
Il est donc faux de dire que tous les pots produits par la machine contiennent entre 794 et 806 g de moutarde.
7