1 LES THEOREMES SUR LES AIRES Ces théorèmes sont

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LES THEOREMES SUR LES AIRES
Ces théorèmes sont utilisables pour des démonstrations de certains théorèmes de
géométrie au collège (théorèmes des milieux, théorème de Thalés, concourance des
médianes…).
Théorème 1 :
Soit deux points distincts A et B et une droite D parallèle à (AB).
L’aire du triangle AMB est indépendante du choix de M sur D.
Les deux triangles ont même base AB et même hauteur, d’où le résultat, en utilisant
la formule de l'aire d'un triangle.
Remarque : on peut trouver ce résultat sans utiliser la formule de l'aire d'un triangle,
comme le faisait Euclide.
Soient deux parallélogrammes ABFE et CDFE construits tel que l’indique la figure ci-
dessus.

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De AB = CD on en déduit que AC = BD. On a aussi AE = BF et EC = FD comme
côtés opposés de parallélogrammes. Les deux triangles ACE et BDF, ayant leurs
côtés deux à deux de même mesure, ont donc la même aire.
Or aire (ABGE) = aire (ACE) - aire (BCG) = aire (BDF) - aire (BCG) = aire (GCDF).
En additionnant, à l’aire de ces deux trapèzes, l’aire du triangle EGF on obtient :
aire (ABFE) = aire(CDFE).
L’aire du parallélogramme ABFE ne dépend pas de la position de AB sur la parallèle
à (FE). Pour le triangle AEF, 2 aire (AEF) = aire (ABFE) et aire (AEF) ne dépend pas
du point A choisi.
Théorème 2 :
Soient A, B, C, D quatre points d’une droite ∆ et M un point n’appartenant pas à ∆
AB = CD ⇔aire (MAB) = aire (MCD)
M
Les triangles MAB et MCD ont la même hauteur h donc si AB = CD alors
AB.h = CD.h et ils ont la même aire. Si ils ont la même aire, comme ils ont la même
hauteur h alors AB = CD
Théorème 3 : première caractérisation du milieu
Soit ABC un triangle et I un point de la droite (BC).
I est le milieu de [BC] ⇔ aire (ABI) = aire (ACI)
Si I est le milieu de [BC] et h la hauteur
commune aux deux triangles ABI et ACI alors
IB = IC et 2 aire (ABI) = BI.h = IC.h = 2 aire
(ACI). Donc aire (ABI) = aire (ACI).
Si aire (ABI) = aire (ACI), alors IB = IC et I
appartient à la droite (BC). I est donc le milieu
de [BC].
A
B
C
D

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Théorème 4 : deuxième caractérisation du milieu.
Soit ABC un triangle, I un point de la droite (BC) distinct de B et de C, M un point de
la droite (AI) distinct de A.
I est le milieu de [BC] ⇔ aire ( ABM) = aire ( ACM )
Si I est le milieu de [BC] aire (BMI) = aire (MIC) et aire (ABI ) = aire ( AIC)
Par différence ou somme on obtient aire (ABM) = aire (ACM).
Si aire (ABM) = aire (AMC), alors IB.(h-h’) = IC.(h-h’) ou IB.(h+h’) = IC.(h+h’) en
appelant h et h’ les hauteurs respectives des triangles ABC et BMC.
Le point M est distinct de A donc h – h’ ≠ 0 et IB = IC. Le point I appartenant à (BC)
on peut conclure que I est le milieu de [BC].
Théorème 5 : caractérisation du parallélisme.
Soient A et B deux points distincts d’une droite d et M et M’ deux points distincts d’un
même demi-plan de frontière d.
(MM’) // d ⇔ aire(MAB) = aire (M’AB)
Démonstration immédiate en utilisant la
formule sur l’aire d’un triangle

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Remarque 1 :
On peut caractériser le parallélisme par :
Si A, B, A’, B’ sont des points d’une même
droite, si AB = A’B’ et si M et M’ sont deux
points distincts appartenant au même demi-
plan de frontière (AB) alors :
(MM’) // (AB) ⇔ aire (MAB) = aire (M’A’B’)
On se ramène au théorème précédent par
translation qui amène [AB] sur [A’B’].
Remarque 2 :
Soit un quadrilatère convexe ou
croisé ABCD tel que A et B
appartiennent au même demi-plan de
bord (CD) et tel que les droites (AC)
et (BD) se coupent en I.
(AB) // (CD) ⇔ aire (ADI) = aire (BIC)
On se ramène facilement au
théorème 5 par addition ou
soustraction d’aires.
Théorème 6 :
Soient trois points A, B, C alignés et deux à deux distincts. Soit O un point
n’appartenant pas à la droite (AB). On a :
)(
)(
OBCaire
OBAaire
BC
BA =
La démonstration est très simple puisque les deux
triangles ont la même hauteur

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Théorème 7 :
Soit ABC un triangle, P un point de (BC) distinct de B et de C et M un point de (AP)
distinct de A.
On a : )(
)(
AMCaire
AMBaire
PC
PB =
Aire (AMB) = aire (APB) ± aire
(BPM)
Aire (AMB) = BP ( h ± h’)
Aire (AMC) = aire (APC) ± aire (PCM)
Aire (AMC) = PC. (h ± h’)
D’où le résultat.
Théorème 8 :
Soit ABCD un trapèze de bases [AB] et [CD]. On a CD
AB
CBDaire
ABDaire =
)(
)(
2 aire (ABD) = AB. h et aussi
2 aire (BCD) = CD. h
d’où le résultat.