LES THEOREMES SUR LES AIRES Ces théorèmes sont utilisables pour des démonstrations de certains théorèmes de géométrie au collège (théorèmes des milieux, théorème de Thalés, concourance des médianes…). Théorème 1 : Soit deux points distincts A et B et une droite D parallèle à (AB). L’aire du triangle AMB est indépendante du choix de M sur D. Les deux triangles ont même base AB et même hauteur, d’où le résultat, en utilisant la formule de l'aire d'un triangle. Remarque : on peut trouver ce résultat sans utiliser la formule de l'aire d'un triangle, comme le faisait Euclide. Soient deux parallélogrammes ABFE et CDFE construits tel que l’indique la figure cidessus. 1 De AB = CD on en déduit que AC = BD. On a aussi AE = BF et EC = FD comme côtés opposés de parallélogrammes. Les deux triangles ACE et BDF, ayant leurs côtés deux à deux de même mesure, ont donc la même aire. Or aire (ABGE) = aire (ACE) - aire (BCG) = aire (BDF) - aire (BCG) = aire (GCDF). En additionnant, à l’aire de ces deux trapèzes, l’aire du triangle EGF on obtient : aire (ABFE) = aire(CDFE). L’aire du parallélogramme ABFE ne dépend pas de la position de AB sur la parallèle à (FE). Pour le triangle AEF, 2 aire (AEF) = aire (ABFE) et aire (AEF) ne dépend pas du point A choisi. Théorème 2 : Soient A, B, C, D quatre points d’une droite ∆ et M un point n’appartenant pas à ∆ AB = CD ⇔ aire (MAB) = aire (MCD) M A B C D Les triangles MAB et MCD ont la même hauteur h donc si AB = CD alors AB.h = CD.h et ils ont la même aire. Si ils ont la même aire, comme ils ont la même hauteur h alors AB = CD Théorème 3 : première caractérisation du milieu Soit ABC un triangle et I un point de la droite (BC). I est le milieu de [BC] ⇔ aire (ABI) = aire (ACI) Si I est le milieu de [BC] et h la hauteur commune aux deux triangles ABI et ACI alors IB = IC et 2 aire (ABI) = BI.h = IC.h = 2 aire (ACI). Donc aire (ABI) = aire (ACI). Si aire (ABI) = aire (ACI), alors IB = IC et I appartient à la droite (BC). I est donc le milieu de [BC]. 2 Théorème 4 : deuxième caractérisation du milieu. Soit ABC un triangle, I un point de la droite (BC) distinct de B et de C, M un point de la droite (AI) distinct de A. I est le milieu de [BC] ⇔ aire ( ABM) = aire ( ACM ) Si I est le milieu de [BC] aire (BMI) = aire (MIC) et aire (ABI ) = aire ( AIC) Par différence ou somme on obtient aire (ABM) = aire (ACM). Si aire (ABM) = aire (AMC), alors IB.(h-h’) = IC.(h-h’) ou IB.(h+h’) = IC.(h+h’) en appelant h et h’ les hauteurs respectives des triangles ABC et BMC. Le point M est distinct de A donc h – h’ ≠ 0 et IB = IC. Le point I appartenant à (BC) on peut conclure que I est le milieu de [BC]. Théorème 5 : caractérisation du parallélisme. Soient A et B deux points distincts d’une droite d et M et M’ deux points distincts d’un même demi-plan de frontière d. (MM’) // d ⇔ aire(MAB) = aire (M’AB) Démonstration immédiate en formule sur l’aire d’un triangle utilisant la 3 Remarque 1 : On peut caractériser le parallélisme par : Si A, B, A’, B’ sont des points d’une même droite, si AB = A’B’ et si M et M’ sont deux points distincts appartenant au même demiplan de frontière (AB) alors : (MM’) // (AB) ⇔ aire (MAB) = aire (M’A’B’) On se ramène au théorème précédent par translation qui amène [AB] sur [A’B’]. Remarque 2 : Soit un quadrilatère convexe ou croisé ABCD tel que A et B appartiennent au même demi-plan de bord (CD) et tel que les droites (AC) et (BD) se coupent en I. (AB) // (CD) ⇔ aire (ADI) = aire (BIC) On se ramène facilement théorème 5 par addition soustraction d’aires. au ou Théorème 6 : Soient trois points A, B, C alignés et deux à deux distincts. Soit O un point n’appartenant pas à la droite (AB). On a : BA aire(OBA) = BC aire(OBC ) La démonstration est très simple puisque les deux triangles ont la même hauteur 4 Théorème 7 : Soit ABC un triangle, P un point de (BC) distinct de B et de C et M un point de (AP) distinct de A. PB aire( AMB) On a : = PC aire( AMC ) Aire (AMB) = aire (APB) ± aire (BPM) Aire (AMB) = BP ( h ± h’) Aire (AMC) = aire (APC) ± aire (PCM) Aire (AMC) = PC. (h ± h’) D’où le résultat. Théorème 8 : Soit ABCD un trapèze de bases [AB] et [CD]. On a aire( ABD) AB = aire(CBD ) CD 2 aire (ABD) = AB. h et aussi 2 aire (BCD) = CD. h d’où le résultat. 5