1 LES THEOREMES SUR LES AIRES Ces théorèmes sont

LES THEOREMES SUR LES AIRES
Ces théorèmes sont utilisables pour des démonstrations de certains théorèmes de
géométrie au collège (théorèmes des milieux, théorème de Thalés, concourance des
médianes…).
Théorème 1 :
Soit deux points distincts A et B et une droite D parallèle à (AB).
L’aire du triangle AMB est indépendante du choix de M sur D.
Les deux triangles ont même base AB et même hauteur, d’où le résultat, en utilisant
la formule de l'aire d'un triangle.
Remarque : on peut trouver ce résultat sans utiliser la formule de l'aire d'un triangle,
comme le faisait Euclide.
Soient deux parallélogrammes ABFE et CDFE construits tel que l’indique la figure cidessus.
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De AB = CD on en déduit que AC = BD. On a aussi AE = BF et EC = FD comme
côtés opposés de parallélogrammes. Les deux triangles ACE et BDF, ayant leurs
côtés deux à deux de même mesure, ont donc la même aire.
Or aire (ABGE) = aire (ACE) - aire (BCG) = aire (BDF) - aire (BCG) = aire (GCDF).
En additionnant, à l’aire de ces deux trapèzes, l’aire du triangle EGF on obtient :
aire (ABFE) = aire(CDFE).
L’aire du parallélogramme ABFE ne dépend pas de la position de AB sur la parallèle
à (FE). Pour le triangle AEF, 2 aire (AEF) = aire (ABFE) et aire (AEF) ne dépend pas
du point A choisi.
Théorème 2 :
Soient A, B, C, D quatre points d’une droite ∆ et M un point n’appartenant pas à ∆
AB = CD ⇔ aire (MAB) = aire (MCD)
M
A
B
C
D
Les triangles MAB et MCD ont la même hauteur h donc si AB = CD alors
AB.h = CD.h et ils ont la même aire. Si ils ont la même aire, comme ils ont la même
hauteur h alors AB = CD
Théorème 3 : première caractérisation du milieu
Soit ABC un triangle et I un point de la droite (BC).
I est le milieu de [BC] ⇔ aire (ABI) = aire (ACI)
Si I est le milieu de [BC] et h la hauteur
commune aux deux triangles ABI et ACI alors
IB = IC et 2 aire (ABI) = BI.h = IC.h = 2 aire
(ACI). Donc aire (ABI) = aire (ACI).
Si aire (ABI) = aire (ACI), alors IB = IC et I
appartient à la droite (BC). I est donc le milieu
de [BC].
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Théorème 4 : deuxième caractérisation du milieu.
Soit ABC un triangle, I un point de la droite (BC) distinct de B et de C, M un point de
la droite (AI) distinct de A.
I est le milieu de [BC] ⇔ aire ( ABM) = aire ( ACM )
Si I est le milieu de [BC] aire (BMI) = aire (MIC) et aire (ABI ) = aire ( AIC)
Par différence ou somme on obtient aire (ABM) = aire (ACM).
Si aire (ABM) = aire (AMC), alors IB.(h-h’) = IC.(h-h’) ou IB.(h+h’) = IC.(h+h’) en
appelant h et h’ les hauteurs respectives des triangles ABC et BMC.
Le point M est distinct de A donc h – h’ ≠ 0 et IB = IC. Le point I appartenant à (BC)
on peut conclure que I est le milieu de [BC].
Théorème 5 : caractérisation du parallélisme.
Soient A et B deux points distincts d’une droite d et M et M’ deux points distincts d’un
même demi-plan de frontière d.
(MM’) // d ⇔ aire(MAB) = aire (M’AB)
Démonstration immédiate en
formule sur l’aire d’un triangle
utilisant
la
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Remarque 1 :
On peut caractériser le parallélisme par :
Si A, B, A’, B’ sont des points d’une même
droite, si AB = A’B’ et si M et M’ sont deux
points distincts appartenant au même demiplan de frontière (AB) alors :
(MM’) // (AB) ⇔ aire (MAB) = aire (M’A’B’)
On se ramène au théorème précédent par
translation qui amène [AB] sur [A’B’].
Remarque 2 :
Soit un quadrilatère convexe ou
croisé ABCD tel que A et B
appartiennent au même demi-plan de
bord (CD) et tel que les droites (AC)
et (BD) se coupent en I.
(AB) // (CD) ⇔ aire (ADI) = aire (BIC)
On se ramène facilement
théorème 5 par addition
soustraction d’aires.
au
ou
Théorème 6 :
Soient trois points A, B, C alignés et deux à deux distincts. Soit O un point
n’appartenant pas à la droite (AB). On a :
BA aire(OBA)
=
BC aire(OBC )
La démonstration est très simple puisque les deux
triangles ont la même hauteur
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Théorème 7 :
Soit ABC un triangle, P un point de (BC) distinct de B et de C et M un point de (AP)
distinct de A.
PB aire( AMB)
On a :
=
PC aire( AMC )
Aire (AMB) = aire (APB) ± aire
(BPM)
Aire (AMB) = BP ( h ± h’)
Aire (AMC) = aire (APC) ± aire (PCM)
Aire (AMC) = PC. (h ± h’)
D’où le résultat.
Théorème 8 :
Soit ABCD un trapèze de bases [AB] et [CD]. On a
aire( ABD) AB
=
aire(CBD ) CD
2 aire (ABD) = AB. h et aussi
2 aire (BCD) = CD. h
d’où le résultat.
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