3. Fonction de Dirac - moodle@insa

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3. Fonction de Dirac
1. Fonctions fortement piquées. La “fonction” delta de Dirac
1.1. Exemple en électrostatique
ρn(x)
n=8
n=4
n=2
-1/2
O
n=1
1/2
x
Figure 1
Considérons, sur une droite, une suite de densités de charges ρn (x) représentées
par (Fig. 1)
ρn (x) = nΠ(nx),
(1.1)
où Π(x) est la “fonction porte”, définie par :
(
0, |x| ≥ 1/2
Π(x) =
(1.2)
1, |x| < 1/2.
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Chapitre 3 : Fonction de Dirac
L’intégrale de la fonction ρn (x), qui représente la charge totale en électrostatique,
est indépendante de n :
Z
∞
ρn (x) dx = 1.
(1.3)
−∞
Lorsque n tend vers l’infini, la charge totale, qui est restée égale à l’unité, est cependant entièrement concentrée à l’origine. On a obtenu une charge unité ponctuelle
à l’origine.
Suivant Dirac, on peut songer à représenter cette charge par une “fonction”
δ(x) qui vaudrait
0,
x 6= 0
δ(x) =
(1.4)
+∞, x = 0,
et telle que :
∞
Z
δ(x) dx = 1.
(1.5)
−∞
Une telle fonction est cependant mathématiquement mal définie, car l’intégrale
d’une fonction presque partout nulle est nulle.
1.2. La “fonction” delta
L’opération fondamentale à laquelle Dirac voulait soumettre δ(x) est l’évaluation de l’intégrale
Z
∞
δ(x)f (x) dx,
(1.6)
−∞
où f est une fonction continue quelconque. Cette intégrale peut être évaluée par
l’argument suivant : puisque δ(x) est nulle pour x 6= 0, les bornes d’intégration
peuvent être remplacées par − et +, où est un nombre positif petit. De plus,
puisque f est continue en x = 0, ses valeurs dans l’intervalle (−, +) ne diffèrent
pas beaucoup de f (0). On écrit donc approximativement :
Z
∞
Z
∞
δ(x)f (x) dx ' f (0)
δ(x)f (x) dx =
−∞
Z
−
δ(x) dx.
(1.7)
−∞
L’approximation s’améliore au fur et à mesure que s’approche de 0. À la limite
→ 0, compte tenu de l’équation (1.5), on a exactement l’égalité :
Z
∞
δ(x)f (x) dx = f (0).
(1.8)
−∞
La fonction delta agit en quelque sorte comme un filtre ou un tamis sélectionnant, parmi toutes les valeurs possibles de f (x), sa valeur en x = 0.
Suites de fonctions possédant à la limite la propriété de filtrage
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2. Suites de fonctions possédant à la limite la propriété de filtrage
La formule (1.8) ne permet pas de définir δ(x) comme une véritable fonction. Il
existe cependant des suites de fonctions {φn (x)} fortement piquées qui approchent
à la limite la propriété de filtrage, c’est-à-dire telles que :
Z
∞
φn (x)f (x) dx = f (0).
lim
n→∞
(2.1)
−∞
2.1. Suite de fonctions porte
C’est par exemple le cas de la suite de fonctions porte considérée au paragraphe 1. On a en effet, en prenant φn (x) = ρn (x) :
Z ∞
Z 1/2n
φn (x)f (x) dx =
nf (x) dx.
(2.2)
−∞
−1/2n
En utilisant le théorème de la moyenne pour les intégrales, on en déduit :
Z 1/2n
1
1
n
f (x) dx = f (ξ),
−
≤ξ≤
.
2n
2n
−1/2n
(2.3)
Lorsque n → ∞, alors ξ → 0. De la continuité de f (x), il s’ensuit que f (ξ) → f (0).
On a donc le résultat (2.1).
2.2. Autres exemples
On souhaite construire d’autres suites de fonctions possédant à la limite la
propriété de filtrage, notamment des suites de fonctions qui soient continues et
différentiables (ce qui n’est pas le cas des fonctions porte). Les exemples les plus
couramment utilisés sont les suivants :
• suite de lorentziennes
On pose :
φn (x) =
n
1
.
π 1 + n2 x2
(2.4)
• suite de gaussiennes
On pose :
2 2
n
φn (x) = √ e−n x .
π
Toutes ces fonctions sont normalisées à l’unité :
Z ∞
φn (x) dx = 1.
(2.5)
(2.6)
−∞
Par des raisonnements analogues à ceux effectués au paragraphe 2.1 pour les suites
de fonction porte, on peut démontrer que les suites de lorentziennes et les suites
de gaussiennes définies respectivement par les formules (2.4) et (2.5) possèdent à
la limite n → ∞ la propriété de filtrage (formule (2.1)).
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Chapitre 3 : Fonction de Dirac
3. Calculs faisant intervenir la fonction delta
Le traitement de δ(x) en tant que fonction au sens ordinaire (ce qu’elle n’est
pas) est un raccourci commode permettant d’obtenir des résultats qui dépendent
de certains processus de passage à la limite. On peut développer les règles de ce
calcul par des opérations formelles, en partant des propriétés suivantes :
Z ∞
δ(x)f (x) dx = f (0),
(3.1)
−∞
δ(x) =
Z
0,
x 6= 0
+∞, x = 0,
(3.2)
∞
δ(x) dx = 1,
(3.3)
−∞
et en ignorant, pour le moment, leur justification mathématique1 .
Si la variable x représente une grandeur physique, c’est en général une quantité
dimensionnée. Il en est alors de même de δ(x), dont les dimensions sont inverses
de celles de la grandeur x.
3.1. Signification de δ(x − a). Peigne de Dirac
R∞
On considère l’intégrale −∞ δ(x − a)f (x)dx. On pose x − a = ξ et on écrit
f (ξ + a) = g(ξ). On a :
Z ∞
Z ∞
δ(x − a)f (x) dx =
δ(ξ)g(ξ) dξ = g(0) = f (a).
(3.4)
−∞
−∞
La fonction
P(x) =
∞
X
δ(x − na)
(3.5)
n=−∞
a des propriétés intéressantes. Elle porte le nom de peigne de Dirac. On a :
Z ∞
∞
X
P(x)f (x) dx =
f (na).
(3.6)
−∞
n=−∞
3.2. Changement d’échelle
On cherche à démontrer la relation :
δ(ax) =
1
1
δ(x),
|a|
a 6= 0.
(3.7)
Elle peut être effectuée de façon rigoureuse dans le cadre de la théorie des distributions.
Représentations de Fourier de la fonction delta
On pose ax = ξ. On a, si a > 0 :
Z ∞
Z
δ(ax)f (x) dx =
−∞
∞
δ(ξ)f
−∞
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ξ 1
a a
dξ =
1
f (0).
a
Si a < 0, un calcul analogue conduit à :
Z ∞
Z −∞
ξ 1
1
dξ = − f (0).
δ(ax)f (x) dx =
δ(ξ)f
a a
a
−∞
∞
(3.8)
(3.9)
Ceci démontre la formule (3.7).
4. Représentations de Fourier de la fonction delta
Il est essentiel, en vue des applications dans de nombreux domaines de la
physique, de disposer pour la fonction delta d’une représentation de Fourier, notamment d’une représentation en intégrale de Fourier. L’écriture de cette représentation intégrale nécessite certains passages à la limite. C’est pourquoi nous commençons par écrire une représentation en série de Fourier.
4.1. Représentation en série de Fourier
On part de la fonction porte (ou impulsion) φa (x) représentée sur la Figure 2.
Cette fonction est normalisée à l’unité. Elle a pour largeur 2a. L’intervalle de
définition est choisi comme étant −L ≤ x ≤ L.
φa(x)
1/(2a)
•
-L
-a
a
•
L
x
Figure 2
On répète cette fonction périodiquement, la période choisie étant 2L > 2a.
Les coefficients de Fourier de la fonction ainsi périodisée sont bn = 0 (la fonction
φn (x) est paire), a0 = 1/L et an = (1/nπa) sin(nπa/L) pour n ≥ 1. On a donc :
∞
X 1
1
nπa
nπx
φa (x) =
+
sin
cos
,
2L n=1 nπa
L
L
−L ≤ x ≤ L.
(4.1)
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Chapitre 3 : Fonction de Dirac
Après passage à la limite a → 0, on obtient une série de Fourier pour δ(x) :
∞
1
1 X
nπx
+
cos
,
2L L n=1
L
δ(x) =
−L ≤ x ≤ L.
(4.2)
La série au second membre de l’équation (4.2) est divergente, ce qui n’est pas
étonnant, car, si elle était convergente, alors δ(x) serait une vraie fonction, ce qui
n’est pas le cas.
4.2. Passage à une représentation en intégrale de Fourier
On réécrit tout d’abord la formule (4.2) sous la forme équivalente suivante :
∞
nπx 1 X
,
exp i
δ(x) =
2L n=−∞
L
−L ≤ x ≤ L.
(4.3)
Lorsque L → ∞, la série au second membre de l’équation (4.3) se transforme en
intégrale (divergente) :
1
δ(x) =
2π
∞
Z
eikx dk.
(4.4)
−∞
La représentation intégrale (4.4) de la fonction delta est largement utilisée en
physique2 .
On peut écrire aussi
1
δ(x − x ) =
2π
0
ou :
Z
∞
Z
∞
0
eik(x−x ) dk,
(4.5)
eik(x−x ) dk = 2πδ(x − x0 ).
(4.6)
−∞
0
−∞
5. Fonction delta et convolution
5.1. Définition du produit de convolution de deux fonctions
Rappelons que l’on appelle, lorsqu’il existe, produit de convolution de deux
fonctions f (x) et g(x) la fonction h(x) définie par la formule
Z ∞
h(x) =
f (u)g(x − u) du,
(5.1)
−∞
2
Elle peut être établie de façon rigoureuse dans le cadre de la théorie des distributions.
Fonction delta et convolution
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et que l’on écrit symboliquement :
h = f ∗ g.
(5.2)
Lorsque f et g sont deux fonctions de L1 , f ∗ g = g ∗ f a toujours un sens et est
aussi une fonction de L1 .
La fonction h(x) représente une moyenne de f (u) pondérée au voisinage de
chaque point x par g(x − u). Il s’ensuit que, si g(x) est suffisamment régulière,
h(x) présente des fluctuations moins rapides que f (x). Ce phénomène intervient
toujours dans une mesure physique : f (x) représente alors la véritable fonction
à mesurer, tandis que g(x) représente l’effet de l’instrument de mesure, qui est
incapable de discerner les variations trop rapides de f (x). La fonction h(x) est le
résultat de la mesure. On peut citer comme exemples :
• l’effet dû à la résolution finie des instruments d’optique qui ne peuvent
séparer deux points lumineux trop rapprochés, ou d’un spectroscope qui ne permet
pas de distinguer deux raies trop serrées,
• l’effet dû à la résolution finie dans le temps des appareils de mesure électrique
qui ne peuvent distinguer deux impulsions trop rapprochées dans le temps.
5.2. Convolution par une fonction porte
Un cas particulier intéressant est celui où l’on a
1 x
,
(5.3)
g(x) = Π
a
a
la fonction Π(x) étant la fonction porte. Dans ce cas, la formule (5.1) s’écrit :
Z
Z
x − u
1 x 1 ∞
1 x+(a/2)
h(x) = f (x) ∗ Π
=
f (u)Π
du =
f (u) du. (5.4)
a
a
a −∞
a
a x−(a/2)
La fonction h(x) représente alors simplement la valeur moyenne de f (x) entre
x − (a/2) et x + (a/2).
5.3. Passage à la limite a → 0
À la limite a → 0, d’après la formule (5.4), on s’attend à avoir :
f (x) ∗ δ(x) = f (x).
(5.5)
Ainsi la fonction δ apparaı̂t comme l’unité du produit de convolution (convoluer
une fonction par la fonction delta ne change rien). En physique, cette propriété
s’écrit souvent de la façon suivante :
Z
∞
Z
∞
f (u)δ(x − u) du =
−∞
f (x − u)δ(u) du = f (x).
−∞
(5.6)