3. Fonction de Dirac - moodle@insa

31
3. Fonction de Dirac
1. Fonctions fortement piqu´ees. La “fonction” delta de Dirac
1.1. Exemple en ´electrostatique
O 1/2-1/2
n = 8
n = 4
n = 2
ρn(x)
x
Figure 1
n = 1
Consid´erons, sur une droite, une suite de densit´es de charges ρn(x) repr´esent´ees
par (Fig. 1)
ρn(x) = nΠ(nx),(1.1)
o`u Π(x) est la “fonction porte”, d´efinie par :
Π(x) = (0,|x| ≥ 1/2
1,|x|<1/2. (1.2)

32 Chapitre 3 : Fonction de Dirac
L’int´egrale de la fonction ρn(x), qui repr´esente la charge totale en ´electrostatique,
est ind´ependante de n:
Z∞
−∞
ρn(x)dx = 1.(1.3)
Lorsque ntend vers l’infini, la charge totale, qui est rest´ee ´egale `a l’unit´e, est cepen-
dant enti`erement concentr´ee `a l’origine. On a obtenu une charge unit´e ponctuelle
`a l’origine.
Suivant Dirac, on peut songer `a repr´esenter cette charge par une “fonction”
δ(x) qui vaudrait
δ(x) = 0, x 6= 0
+∞, x = 0, (1.4)
et telle que :
Z∞
−∞
δ(x)dx = 1.(1.5)
Une telle fonction est cependant math´ematiquement mal d´efinie, car l’int´egrale
d’une fonction presque partout nulle est nulle.
1.2. La “fonction” delta
L’op´eration fondamentale `a laquelle Dirac voulait soumettre δ(x) est l’´evalua-
tion de l’int´egrale
Z∞
−∞
δ(x)f(x)dx, (1.6)
o`u fest une fonction continue quelconque. Cette int´egrale peut ˆetre ´evalu´ee par
l’argument suivant : puisque δ(x) est nulle pour x6= 0, les bornes d’int´egration
peuvent ˆetre remplac´ees par −et +, o`u est un nombre positif petit. De plus,
puisque fest continue en x= 0, ses valeurs dans l’intervalle (−, +) ne diff`erent
pas beaucoup de f(0). On ´ecrit donc approximativement :
Z∞
−∞
δ(x)f(x)dx =Z
−
δ(x)f(x)dx 'f(0) Z∞
−∞
δ(x)dx. (1.7)
L’approximation s’am´eliore au fur et `a mesure que s’approche de 0. ` A la limite
→0, compte tenu de l’´equation (1.5), on a exactement l’´egalit´e :
Z∞
−∞
δ(x)f(x)dx =f(0).(1.8)
La fonction delta agit en quelque sorte comme un filtre ou un tamis s´election-
nant, parmi toutes les valeurs possibles de f(x), sa valeur en x= 0.

Suites de fonctions poss´edant `a la limite la propri´et´e de filtrage 33
2. Suites de fonctions poss´edant `a la limite la propri´et´e de filtrage
La formule (1.8) ne permet pas de d´efinir δ(x) comme une v´eritable fonction. Il
existe cependant des suites de fonctions {φn(x)}fortement piqu´ees qui approchent
`a la limite la propri´et´e de filtrage, c’est-`a-dire telles que :
lim
n→∞ Z∞
−∞
φn(x)f(x)dx =f(0).(2.1)
2.1. Suite de fonctions porte
C’est par exemple le cas de la suite de fonctions porte consid´er´ee au para-
graphe 1. On a en effet, en prenant φn(x) = ρn(x) :
Z∞
−∞
φn(x)f(x)dx =Z1/2n
−1/2n
nf(x)dx. (2.2)
En utilisant le th´eor`eme de la moyenne pour les int´egrales, on en d´eduit :
nZ1/2n
−1/2n
f(x)dx =f(ξ),−1
2n≤ξ≤1 2n.(2.3)
Lorsque n→ ∞, alors ξ→0. De la continuit´e de f(x), il s’ensuit que f(ξ)→f(0).
On a donc le r´esultat (2.1).
2.2. Autres exemples
On souhaite construire d’autres suites de fonctions poss´edant `a la limite la
propri´et´e de filtrage, notamment des suites de fonctions qui soient continues et
diff´erentiables (ce qui n’est pas le cas des fonctions porte). Les exemples les plus
couramment utilis´es sont les suivants :
•suite de lorentziennes
On pose :
φn(x) = n
π
1
1 + n2x2.(2.4)
•suite de gaussiennes
On pose :
φn(x) = n
√πe−n2x2.(2.5)
Toutes ces fonctions sont normalis´ees `a l’unit´e :
Z∞
−∞
φn(x)dx = 1.(2.6)
Par des raisonnements analogues `a ceux effectu´es au paragraphe 2.1 pour les suites
de fonction porte, on peut d´emontrer que les suites de lorentziennes et les suites
de gaussiennes d´efinies respectivement par les formules (2.4) et (2.5) poss`edent `a
la limite n→ ∞ la propri´et´e de filtrage (formule (2.1)).

34 Chapitre 3 : Fonction de Dirac
3. Calculs faisant intervenir la fonction delta
Le traitement de δ(x) en tant que fonction au sens ordinaire (ce qu’elle n’est
pas) est un raccourci commode permettant d’obtenir des r´esultats qui d´ependent
de certains processus de passage `a la limite. On peut d´evelopper les r`egles de ce
calcul par des op´erations formelles, en partant des propri´et´es suivantes :
Z∞
−∞
δ(x)f(x)dx =f(0),(3.1)
δ(x) = 0, x 6= 0
+∞, x = 0, (3.2)
Z∞
−∞
δ(x)dx = 1,(3.3)
et en ignorant, pour le moment, leur justification math´ematique1.
Si la variable xrepr´esente une grandeur physique, c’est en g´en´eral une quantit´e
dimensionn´ee. Il en est alors de mˆeme de δ(x), dont les dimensions sont inverses
de celles de la grandeur x.
3.1. Signification de δ(x−a). Peigne de Dirac
On consid`ere l’int´egrale R∞
−∞ δ(x−a)f(x)dx. On pose x−a=ξet on ´ecrit
f(ξ+a) = g(ξ). On a :
Z∞
−∞
δ(x−a)f(x)dx =Z∞
−∞
δ(ξ)g(ξ)dξ =g(0) = f(a).(3.4)
La fonction
P(x) =
∞
X
n=−∞
δ(x−na) (3.5)
a des propri´et´es int´eressantes. Elle porte le nom de peigne de Dirac.Ona:
Z∞
−∞ P(x)f(x)dx =
∞
X
n=−∞
f(na).(3.6)
3.2. Changement d’´echelle
On cherche `a d´emontrer la relation :
δ(ax) = 1
|a|δ(x), a 6= 0.(3.7)
1Elle peut ˆetre effectu´ee de fa¸con rigoureuse dans le cadre de la th´eorie des distributions.

Repr´esentations de Fourier de la fonction delta 35
On pose ax =ξ. On a, si a > 0 :
Z∞
−∞
δ(ax)f(x)dx =Z∞
−∞
δ(ξ)fξ
a1 adξ =1 af(0).(3.8)
Si a < 0, un calcul analogue conduit `a :
Z∞
−∞
δ(ax)f(x)dx =Z−∞
∞
δ(ξ)fξ
a1 adξ =−1 af(0).(3.9)
Ceci d´emontre la formule (3.7).
4. Repr´esentations de Fourier de la fonction delta
Il est essentiel, en vue des applications dans de nombreux domaines de la
physique, de disposer pour la fonction delta d’une repr´esentation de Fourier, no-
tamment d’une repr´esentation en int´egrale de Fourier. L’´ecriture de cette repr´esen-
tation int´egrale n´ecessite certains passages `a la limite. C’est pourquoi nous com-
men¸cons par ´ecrire une repr´esentation en s´erie de Fourier.
4.1. Repr´esentation en s´erie de Fourier
On part de la fonction porte (ou impulsion) φa(x) repr´esent´ee sur la Figure 2.
Cette fonction est normalis´ee `a l’unit´e. Elle a pour largeur 2a. L’intervalle de
d´efinition est choisi comme ´etant −L≤x≤L.
-L
Figure 2
x
φa(x)
L
1/(2a)
a-a •
•
On r´ep`ete cette fonction p´eriodiquement, la p´eriode choisie ´etant 2L > 2a.
Les coefficients de Fourier de la fonction ainsi p´eriodis´ee sont bn= 0 (la fonction
φn(x) est paire), a0= 1/L et an= (1/nπa) sin(nπa/L) pour n≥1. On a donc :
φa(x) = 1
2L+
∞
X
n=1
1
nπa sin nπa Lcos nπx L,−L≤x≤L. (4.1)