Espaces de Banach 1 Généralités - Irma

Université de Strasbourg
Préparation à l’agrégation interne de mathématiques 2012–2013
Séance du 11 septembre 2012 de 14h à 17h
Espaces de Banach
Revoir le chapitre 10. Topologie et analyse fonctionnelle du programme du concours. La séance sera consacrée spécifiquement au paragraphe
10.7 Espaces de Banach.
Des rappels de cours sont inclus sous forme de théorèmes et corollaires.
Les énoncés et preuves de ceux-ci doivent être connus. Si tel n’est pas le cas,
essayez de retrouver les preuves à titre d’exercice.
Tous les espaces vectoriels considérés dans la suite auront pour corps de
base k = R ou C.
1
Généralités
Revoir les définitions d’espace vectoriel sur R ou C, d’espace vectoriel
normé, de suite de Cauchy, d’espace de Banach.
Théorème 1.1. Soient E1 , . . . , En des espaces de Banach. Leur produit
Qn
i=1 Ei muni de la norme k.k∞ , k.k1 ou k.k2 est un espace de Banach.
Corollaire 1.2. Soit E un espace vectoriel normé sur R ou C. Si E est de
dimension finie, alors c’est un espace de Banach.
Exercice 1.1. Soit E un espace de Banach. Énoncer et démontrer un critère
de Cauchy pour les séries.
Théorème 1.3. Dans un espace de Banach, toute série absolument convergente est convergente.
Exercice 1.2. Donner un exemple de série convergente, mais pas absolument
convergente.
1
Exercice 1.3. Soit E un k-espace vectoriel normé. Montrer que E est un
espace de Banach si, et seulement si, toute série absolument convergente est
convergente.
Exercice 1.4. Une k-algèbre normée est une k-algèbre A munie d’une norme k.k
qui en fait un k-espace vectoriel normé et qui est sous-multiplicative :
∀a, b ∈ A, kabk ≤ kakkbk.
Une k-algèbre de Banach est une k-algèbre normée complète.
1. Soit A une k-algèbre de Banach.
a) Montrer que tout élément de la forme 1+x avec kxk < 1 est inversible.
b) En déduire que l’ensemble A× des éléments inversibles de A est ouvert.
2. a) En utilisant la question précédente, montrer que GLn (R) (resp. GLn (C))
est un ouvert de Mn (R) (resp. Mn (C)).
b) Donner une autre preuve de ce résultat.
3. Soit E un k-espace vectoriel. Montrer que l’espace Lc (E) des endomorphismes continus de E est ouvert dans L (E).
2
Suites et séries de fonctions
Revoir les définitions de convergence simple, convergence uniforme et
convergence normale pour les suites et les séries de fonctions depuis un ensemble X vers un espace vectoriel normé F .
Théorème 2.1.
formément.
i) Toute suite qui converge normalement converge uni-
ii) Toute suite qui converge uniformément converge simplement.
Exercice 2.5. Énoncer et démontrer un critère de Cauchy uniforme pour
les suites et les séries de fonctions.
Exercice 2.6.
1. Donner un exemple de suite simplement convergente mais pas uniformément convergente.
2. Donner un exemple de suite uniformément convergente mais pas normalement convergente.
2
Exercice 2.7. Pour n ≥ 0, notons
fn : x ∈ [0, 1] 7→ xn (1 − x) ∈ R
et
gn : x ∈ [0, 1] 7→ xn sin(πx) ∈ R.
Montrer que les suites de fonctions (fn )n≥0 et (gn )n≥0 convergent uniformément sur [0, 1].
Exercice 2.8. Pour n ≥ 0, notons
fn : x ∈ R+ 7→ e−nx sin(nx) ∈ R.
1. Montrer que la suite (fn )n≥0 converge simplement sur R+ .
2. Montrer que la suite (fn )n≥0 converge uniformément sur tout intervalle
de la forme [a, +∞[ avec a > 0, mais pas sur R+ .
Théorème 2.2. Soit X un espace topologique. Soit F un espace de Banach.
Soit (un )n≥0 une suite de fonctions de X dans F .
Supposons que les fonctions un sont continues et que la suite (un )n≥0
converge uniformément vers une fonction u sur X. Alors la fonction u est
continue sur X.
Exercice 2.9. Soit (an )n≥0 une suite réelle décroissante de limite nulle.
P
1. Montrer que la série n≥0 an einx est uniformément convergente sur tout
segment I de R ne rencontrant pas 2πZ.
2. Que peut-on en déduire ?
Théorème 2.3. Soit F un espace de Banach.
i) Soit X un ensemble. L’ensemble des fonctions bornées Fb (X, F ) muni
de la norme uniforme est un espace de Banach.
ii) Soit X un espace topologique. L’ensemble des fonctions continues et bornées C (X, F ) muni de la norme uniforme est un espace de Banach.
iii) Soit E un espace vectoriel. L’ensemble des fonctions linéaires et continues L (E, F ) muni de la norme uniforme est un espace de Banach.
3
Exercice 2.10. Soient a < b ∈ R. L’espace vectoriel C ([a, b], R) est-il complet pour la norme L1 ? pour la norme L2 ?
Théorème 2.4. Soit I un intervalle réel. Soit F un espace de Banach.
Soit (un )n≥0 une suite de fonctions de I dans F . Soit a ∈ I.
i) Supposons que les fonctions un sont continues sur I et que la suite
(un )n≥0 converge uniformément vers une fonction u sur I. Pour tout n ≥
0, notons vn la primitive de un qui s’annule en a. Notons v la primitive
de u qui s’annule en a. Alors la suite (vn )n≥0 converge vers v uniformément sur tout compact.
En particulier, pour tout b ∈ I, nous avons
Z b
Z b
lim
un (t)dt =
u(t)dt.
n→+∞ a
a
ii) Supposons que les fonctions un sont de classe C 1 sur I et que la suite
(u0n )n≥0 converge uniformément vers une fonction w sur I. Supposons
que la suite (un (a))n≥0 converge vers α ∈ R. Soit u la primitive de w
qui vaut α en a. Alors la suite (un )n≥0 converge vers u uniformément
sur tout compact.
En particulier, pour tout b ∈ I, nous avons
lim u0n (b)dt = u0 (b).
n→+∞
Exercice 2.11. Pour n ≥ 1, notons
fn : x ∈ R+ 7→ (−1)n
n2
x
∈ R.
+ x2
P
1. Montrer que la série
n≥1 fn est uniformément convergente sur R+ .
Quelle est sa somme ?
P
2. Montrer que la somme de la série n≥1 fn est de classe C 1 sur R+ .
Exercice 2.12. On définit la fonction ζ de Riemann par
+∞
X
1
ζ : x ∈ ]1, +∞[ 7→
.
nx
n=1
1. a) Montrer que la fonction ζ est définie et continue sur ]1, +∞[.
4
b) Montrer que la fonction ζ est définie et de classe C ∞ sur ]1, +∞[.
Exprimer ses dérivées successives sous forme de sommes de séries.
c) Préciser les variations de la fonction ζ et étudier sa convexité.
2. Déterminer la limite en +∞ de la fonction ζ
3. Déterminer un équivalent simple de la fonction ζ au voisinage de 1. On
pourra encadrer le terme général de la série définissant ζ à l’aide d’intégrales.
4. Représenter graphiquement la fonction ζ.
Exercice 2.13. Considérons la fonction
S : x ∈ R+ 7→
+∞
X
n=1
x
.
n(1 + nx2 )
1. Montrer que la fonction S est définie et continue sur R+ .
2. Montrer que la fonction S est de classe C 1 sur R∗+ .
3. Montrer que la fonction S n’est pas dérivable en 0.
Exercice 2.14. Soit (an )n≥0 une suite réelle décroissante de limite nulle.
Fixons p ∈ N∗ . Pour n ≥ 0, posons
fn : x ∈ [0, 1] 7→ (−1)n an xpn .
P
1. Donner un exemple de suite (an )n≥0 telle que la série n≥1 fn ne converge
pas normalement sur [0, 1].
P
2. Montrer que la série n≥1 fn converge uniformément sur [0, 1].
+∞
X
(−1)n
3. En déduire une expression de la somme
à l’aide d’une intégrale.
pn + 1
n=1
Quelles formules classiques retrouve-t-on pour p = 1 et 2 ?
Indication : On pourra, dans un premier temps, faire intervenir une intégrale
entre 0 et z pour z ∈ [0, 1[, puis faire tendre z vers 1.
Exercice 2.15.
1. Soit X un espace topologique compact. Soit (fn )n≥0 une suite de fonctions continues de X dans R. On suppose que cette suite est croissante et
converge simplement vers une fonction continue f : X → R. Montrer que la
suite (fn )n≥0 converge uniformément vers f sur X.
5
2. Soit (gn )n≥0 la suite de fonctions de [0, 1] dans R définie par

g0 = 0 ;
1
∀n ≥ 0, ∀t ∈ [0, 1], gn+1 (t) = gn (t) + (t − gn (t)2 ).
2
Montrer que la suite (gn )n≥0 converge uniformément vers la fonction racine
carrée sur [0, 1].
3
Exponentielle dans les algèbres de Banach
Revoir la définition d’algèbre de Banach.
Théorème 3.1. Soit A une algèbre de Banach. Pour tout élément a de A,
X an
converge. Sa somme est appelée exponentielle de a et notée
la série
n!
n≥0
exp(a).
Théorème 3.2. Soit A une algèbre de Banach. Soit a ∈ A.
i) On a exp(0) = 1.
ii) Pour tout b ∈ A× , on a exp(b−1 ab) = b−1 exp(a)b.
iii) Pour tout élément b de A qui commute avec a, on a exp(a + b) =
exp(a) exp(b).
iv) L’élément exp(a) est inversible, d’inverse exp(−a).
v) L’application f : t ∈ R 7→ exp(tA) ∈ A est de classe C ∞ et, pour
tout n ≥ 0 et tout t ∈ R, on a
f (n) (t) = an exp(ta) = exp(ta)an .
Exercice 3.16. Soit A une algèbre de Banach.
1. Montrer que, pour tout élément f de A, on a k exp(f )k ≤ exp(kf k).
2. Montrer que l’application exp est continue.
Exercice 3.17. Soit E un k-espace vectoriel. Expliquer pourquoi l’on peut
calculer l’exponentielle d’un endomorphisme continu de E (et donc de tout
automorphisme si E est de dimension finie).
Exercice 3.18.
6
1. Expliquer comment calculer l’exponentielle d’une matrice diagonalisable.
2. Expliquer comment calculer l’exponentielle d’une matrice nilpotente.
3. En déduire un moyen de calculer l’exponentielle d’une matrice carrée à
coefficients complexes.
Exercice 3.19.
1. Soit M une matrice à coefficients complexes.
a) Relier les valeurs propres de M à celles de son exponentielle.
b) Montrer que det(exp(M )) = exp(tr(M )).
2. Que peut-on dire dans le cas où la matrice M est à coefficients réels ?
7
Exercice 3.20. Soit M une matrice antisymétrique. Montrer que exp(M )
est orthogonale directe.
Exercice 3.21.
1. a) Soit N ∈ Mn (C) une matrice nilpotente. Montrer qu’il existe M ∈
Mn (C) telle que exp(M ) = I + N .
b) Montrer que l’application exp : Mn (C) → GLn (C) est surjective.
2. Soit p ≥ 1. Montrer que l’élévation à la puissance p sur GLn (C) est
surjective.
3. a) En utilisant les questions qui précèdent, montrer que GLn (C) est
connexe par arcs.
b) Donner une autre preuve de ce résultat.
4. Montrer que
exp(Mn (R)) = {M 2 , M ∈ GLn (R)}.
8