Espaces de Banach 1 Généralités - Irma

Université de Strasbourg
Préparation à l’agrégation interne de mathématiques 2012–2013
Séance du 11 septembre 2012 de 14h à 17h
Espaces de Banach
Revoir le chapitre 10. Topologie et analyse fonctionnelle du pro-
gramme du concours. La séance sera consacrée spécifiquement au paragraphe
10.7 Espaces de Banach.
Des rappels de cours sont inclus sous forme de théorèmes et corollaires.
Les énoncés et preuves de ceux-ci doivent être connus. Si tel n’est pas le cas,
essayez de retrouver les preuves à titre d’exercice.
Tous les espaces vectoriels considérés dans la suite auront pour corps de
base k=Rou C.
1 Généralités
Revoir les définitions d’espace vectoriel sur Rou C, d’espace vectoriel
normé, de suite de Cauchy, d’espace de Banach.
Théorème 1.1. Soient E1, . . . , Endes espaces de Banach. Leur produit
Qn
i=1 Eimuni de la norme k.k∞,k.k1ou k.k2est un espace de Banach.
Corollaire 1.2. Soit Eun espace vectoriel normé sur Rou C. Si Eest de
dimension finie, alors c’est un espace de Banach.
Exercice 1.1. Soit Eun espace de Banach. Énoncer et démontrer un critère
de Cauchy pour les séries.
Théorème 1.3. Dans un espace de Banach, toute série absolument conver-
gente est convergente.
Exercice 1.2. Donner un exemple de série convergente, mais pas absolument
convergente.
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Exercice 1.3. Soit Eun k-espace vectoriel normé. Montrer que Eest un
espace de Banach si, et seulement si, toute série absolument convergente est
convergente.
Exercice 1.4. Une k-algèbre normée est une k-algèbre Amunie d’une norme k.k
qui en fait un k-espace vectoriel normé et qui est sous-multiplicative :
∀a, b ∈A, kabk≤kakkbk.
Une k-algèbre de Banach est une k-algèbre normée complète.
1. Soit Aune k-algèbre de Banach.
a) Montrer que tout élément de la forme 1+xavec kxk<1est inversible.
b) En déduire que l’ensemble A×des éléments inversibles de Aest ouvert.
2. a) En utilisant la question précédente, montrer que GLn(R)(resp. GLn(C))
est un ouvert de Mn(R)(resp. Mn(C)).
b) Donner une autre preuve de ce résultat.
3. Soit Eun k-espace vectoriel. Montrer que l’espace Lc(E)des endomor-
phismes continus de Eest ouvert dans L(E).
2 Suites et séries de fonctions
Revoir les définitions de convergence simple, convergence uniforme et
convergence normale pour les suites et les séries de fonctions depuis un en-
semble Xvers un espace vectoriel normé F.
Théorème 2.1. i) Toute suite qui converge normalement converge uni-
formément.
ii) Toute suite qui converge uniformément converge simplement.
Exercice 2.5. Énoncer et démontrer un critère de Cauchy uniforme pour
les suites et les séries de fonctions.
Exercice 2.6.
1. Donner un exemple de suite simplement convergente mais pas uniformé-
ment convergente.
2. Donner un exemple de suite uniformément convergente mais pas norma-
lement convergente.
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Exercice 2.7. Pour n≥0, notons
fn:x∈[0,1] 7→ xn(1 −x)∈R
et
gn:x∈[0,1] 7→ xnsin(πx)∈R.
Montrer que les suites de fonctions (fn)n≥0et (gn)n≥0convergent uniformé-
ment sur [0,1].
Exercice 2.8. Pour n≥0, notons
fn:x∈R+7→ e−nx sin(nx)∈R.
1. Montrer que la suite (fn)n≥0converge simplement sur R+.
2. Montrer que la suite (fn)n≥0converge uniformément sur tout intervalle
de la forme [a, +∞[avec a > 0, mais pas sur R+.
Théorème 2.2. Soit Xun espace topologique. Soit Fun espace de Banach.
Soit (un)n≥0une suite de fonctions de Xdans F.
Supposons que les fonctions unsont continues et que la suite (un)n≥0
converge uniformément vers une fonction usur X. Alors la fonction uest
continue sur X.
Exercice 2.9. Soit (an)n≥0une suite réelle décroissante de limite nulle.
1. Montrer que la série Pn≥0aneinx est uniformément convergente sur tout
segment Ide Rne rencontrant pas 2πZ.
2. Que peut-on en déduire ?
Théorème 2.3. Soit Fun espace de Banach.
i) Soit Xun ensemble. L’ensemble des fonctions bornées Fb(X, F )muni
de la norme uniforme est un espace de Banach.
ii) Soit Xun espace topologique. L’ensemble des fonctions continues et bor-
nées C(X, F )muni de la norme uniforme est un espace de Banach.
iii) Soit Eun espace vectoriel. L’ensemble des fonctions linéaires et conti-
nues L(E, F )muni de la norme uniforme est un espace de Banach.
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Exercice 2.10. Soient a < b ∈R. L’espace vectoriel C([a, b],R)est-il com-
plet pour la norme L1? pour la norme L2?
Théorème 2.4. Soit Iun intervalle réel. Soit Fun espace de Banach.
Soit (un)n≥0une suite de fonctions de Idans F. Soit a∈I.
i) Supposons que les fonctions unsont continues sur Iet que la suite
(un)n≥0converge uniformément vers une fonction usur I. Pour tout n≥
0, notons vnla primitive de unqui s’annule en a. Notons vla primitive
de uqui s’annule en a. Alors la suite (vn)n≥0converge vers vuniformé-
ment sur tout compact.
En particulier, pour tout b∈I, nous avons
lim
n→+∞Zb
a
un(t)dt=Zb
a
u(t)dt.
ii) Supposons que les fonctions unsont de classe C1sur Iet que la suite
(u0
n)n≥0converge uniformément vers une fonction wsur I. Supposons
que la suite (un(a))n≥0converge vers α∈R. Soit ula primitive de w
qui vaut αen a. Alors la suite (un)n≥0converge vers uuniformément
sur tout compact.
En particulier, pour tout b∈I, nous avons
lim
n→+∞u0
n(b)dt=u0(b).
Exercice 2.11. Pour n≥1, notons
fn:x∈R+7→ (−1)nx
n2+x2∈R.
1. Montrer que la série Pn≥1fnest uniformément convergente sur R+.
Quelle est sa somme ?
2. Montrer que la somme de la série Pn≥1fnest de classe C1sur R+.
Exercice 2.12. On définit la fonction ζde Riemann par
ζ:x∈]1,+∞[7→
+∞
X
n=1
1
nx.
1. a) Montrer que la fonction ζest définie et continue sur ]1,+∞[.
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b) Montrer que la fonction ζest définie et de classe C∞sur ]1,+∞[.
Exprimer ses dérivées successives sous forme de sommes de séries.
c) Préciser les variations de la fonction ζet étudier sa convexité.
2. Déterminer la limite en +∞de la fonction ζ
3. Déterminer un équivalent simple de la fonction ζau voisinage de 1. On
pourra encadrer le terme général de la série définissant ζà l’aide d’intégrales.
4. Représenter graphiquement la fonction ζ.
Exercice 2.13. Considérons la fonction
S:x∈R+7→
+∞
X
n=1
x
n(1 + nx2).
1. Montrer que la fonction Sest définie et continue sur R+.
2. Montrer que la fonction Sest de classe C1sur R∗
+.
3. Montrer que la fonction Sn’est pas dérivable en 0.
Exercice 2.14. Soit (an)n≥0une suite réelle décroissante de limite nulle.
Fixons p∈N∗. Pour n≥0, posons
fn:x∈[0,1] 7→ (−1)nanxpn.
1. Donner un exemple de suite (an)n≥0telle que la série Pn≥1fnne converge
pas normalement sur [0,1].
2. Montrer que la série Pn≥1fnconverge uniformément sur [0,1].
3. En déduire une expression de la somme
+∞
X
n=1
(−1)n
pn + 1 à l’aide d’une intégrale.
Quelles formules classiques retrouve-t-on pour p= 1 et 2 ?
Indication : On pourra, dans un premier temps, faire intervenir une intégrale
entre 0 et zpour z∈[0,1[, puis faire tendre zvers 1.
Exercice 2.15.
1. Soit Xun espace topologique compact. Soit (fn)n≥0une suite de fonc-
tions continues de Xdans R. On suppose que cette suite est croissante et
converge simplement vers une fonction continue f:X→R. Montrer que la
suite (fn)n≥0converge uniformément vers fsur X.
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