EXPRESSIONS ALGEBRIQUES 1. Développer, factoriser 2

Chapitre 01 : EXPRESSIONS ALGEBRIQUES
•Développer, factoriser
•Équation du 1er degré
•Inéquation du 1er degré et intervalle
EXPRESSIONS ALGEBRIQUES
1. Développer, factoriser Exercices pages 56 et 57
➢Une même expression algébrique peut s'écrire sous différentes formes.
➢Développer une expression, c'est l’écrire sous la forme d'une somme.
➢Factoriser une expression, c'est l'écrire sous la forme d'un produit.
k ( a+b ) =ka+kb
( a+b )
2=a2+2a b+b2
( a+b ) ( c+d ) =ac+ad +bc+bd
( a−b )
2=a2−2a b+b2
(
a+b
) (
a−b
)
=a2−b2
➢Exemple : Soit
f ( x ) = ( 2x+5 ) ( x−3 )
Montrer que pour tout
x
réel,
f
(
x
)
=2x2−x−15
f
(
x
)
=
(
2x+5
) (
x−3
)
=2x2−6x+5x−15=2x2−x−15
On a développer l'expression de
f ( x )
.
➢Exemple : Soit
f ( x ) = ( 3x−5 ) ( 7x+2 ) − ( 7x+2 ) ( x−1 )
Déterminer l'expression factoriser de
f ( x )
f ( x ) = ( 3x−5 ) ( 7x+2 ) − ( 7x+2 ) ( x−1 ) = ( 7x+2 ) [ ( 3x−5 ) − ( x−1 ) ] = ( 7x+2 ) ( 3x−5−x+1 )
f ( x ) = ( 7x+2 ) ( 2x−4 )
2. Résolution d'équation du 1 er degré Exercices 49 à 51 page 61
➢Exemple : Résoudre l'équation
5x+7=3−2x
⇔5x+7−7=3−2x−7
⇔5x=−2x−4
⇔5x+2x=−2x−4+2x
⇔7x=−4
⇔7x
7=− 4 7
⇔x=− 4
7
La solution de l'équation est
S=
{
−4
7
}
3. Résolution d'équation produit Exercices 52 à 54 page 61
➢Un produit est nul, si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
➢
A×B=0⇔A=0ou B=0
➢Exemple : Résoudre l'équation
( x+5 ) ( 2−x ) =0
Un produit est nul, si et seulement si l'un de ses facteurs est nul
Donc
( x+5 ) ( 2−x ) =0
équivaut à
x+5=0
ou
2−x=0
C'est à dire
x=−5
ou
x=2
Les solutions de l'équation sont
S= { −5;2 }
4. Résolution d'une équation quotient Exercices 55 et 56 page 61
➢Un quotient est nul, si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul.
➢
A
B=0⇔A=0
et
B ≠ 0

➢Exemple : Résoudre
2x−3
x+1=0
Un quotient est nul, si est seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul.
Donc
2x−3
x+1=0
équivaut à
2x−3=0
et
x+1≠0
C'est à dire
x=3
2
et
x ≠−1
.
Comme
3
2≠−1
, la solution de l'équation est
S=
{
3
2
}
5. Résolution d'inéquation du 1 er degré et intervalles Exercices 22 à 24 pages 130 et 131
➢Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs qui rendent vraie cette inéquation.
➢Ajouter, soustraire, multiplier par un nombre positif, ou diviser par un nombre positif, ne change pas
le sens d'une inégalité.
➢Multiplier par un nombre négatif, ou diviser par un nombre négatif, change le sens d'une inégalité.
➢Exemple : Résoudre l'inéquation
3x−2⩾5x−4
⇔3x−2+2⩾5x+4+2⇔3x⩾5x+6⇔3x−5x⩾5x+6−5x⇔−2x⩾6
⇔−2x
−2⩽6 −2
Attention, changement du signe de l'inégalité
⇔x⩽−3
➢Pour représenter les solutions d'une inéquation on peut utiliser les intervalles :
Exercices 17 à 21 page 28
x
est un réel tel que : Représentation graphique Intervalle
x<b
] −∞;b [
x⩽b
] −∞;b ]
x>a
] a;+∞ [
x⩾a
[ a;+∞ [
a<x<b
] a;b [
a⩽x⩽b
[ a;b ]
a<x⩽b
] a;b ]
a⩽x<b
[ a;b [
➢Exemple
−2x+4⩽−3⇔−2x⩽−7⇔x⩾−7
−2⇔x⩾7 2⇔x∈
[
7
2;+∞
[
Les solutions de l'inéquation précédente sont
[
7
2;+∞
[
6. Réunion et intersection d'intervalles
➢Soit
I
et
J
deux intervalles.
L'intersection de
I
et
J
, notée
I∩J
est l'ensemble des éléments appartenant à
I
et à
J
.
La réunion de
I
et
J
, notée
I∪J
est l'ensemble des éléments appartenant à
I
ou à
J
.
➢Exemple
I= ] −3;7 ]
et
J= [ −1;12 [
et donc
I∩J= [ −1; 7 ]
et
I∪J= ] −3;12 [