EXPRESSIONS ALGEBRIQUES 1. Développer, factoriser 2

Chapitre 01 : EXPRESSIONS ALGEBRIQUES
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Développer, factoriser
•
Équation du 1er degré
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Inéquation du 1er degré et intervalle
EXPRESSIONS ALGEBRIQUES
1. Développer, factoriser
Exercices pages 56 et 57
➢ Une même expression algébrique peut s'écrire sous différentes formes.
➢ Développer une expression, c'est l’écrire sous la forme d'une somme.
➢ Factoriser une expression, c'est l'écrire sous la forme d'un produit.
k ( a +b )=ka+ kb
( a+b )2=a 2 +2 a b+b 2
( a+b )( c +d ) =ac+ ad + bc+ bd
( a−b ) =a −2 a b+b
2
2
2
( a+b ) ( a−b ) =a 2−b 2
➢ Exemple : Soit f ( x )=( 2 x +5 )( x−3 )
Montrer que pour tout x réel, f ( x )=2 x 2− x−15
2
2
f ( x )=( 2 x +5 )( x−3 ) =2 x −6 x +5 x−15=2 x − x−15
On a développer l'expression de f ( x ) .
➢ Exemple : Soit f ( x )=( 3 x−5 )( 7 x+ 2 ) −( 7 x + 2 ) ( x −1 )
Déterminer l'expression factoriser de f ( x )
f ( x )=( 3 x−5 )( 7 x+ 2 ) −( 7 x + 2 )( x −1 )=( 7 x+ 2 ) [ ( 3 x−5 ) −( x −1 ) ]=( 7 x +2 )( 3 x−5− x+1 )
f ( x )=( 7 x +2 )( 2 x−4 )
2. Résolution d'équation du 1er degré
Exercices 49 à 51 page 61
➢ Exemple : Résoudre l'équation 5 x+ 7=3−2 x
⇔5 x +7−7=3−2 x−7
⇔5 x=−2 x −4
⇔5 x +2 x =−2 x−4+2 x
⇔7 x=−4
7x
4
⇔
=−
7
7
4
4
⇔ x =−
La solution de l'équation est S= −
7
7
{ }
3. Résolution d'équation produit
Exercices 52 à 54 page 61
➢ Un produit est nul, si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
➢ A× B=0 ⇔ A=0 ou B=0
➢ Exemple : Résoudre l'équation ( x+5 ) ( 2−x )=0
Un produit est nul, si et seulement si l'un de ses facteurs est nul
Donc ( x+5 )( 2−x )=0 équivaut à x +5=0 ou 2−x=0
C'est à dire x=−5 ou x=2
Les solutions de l'équation sont S = {−5 ;2 }
4. Résolution d'une équation quotient
Exercices 55 et 56 page 61
➢ Un quotient est nul, si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul.
A
=0 ⇔ A=0 et B ≠ 0
➢
B
2 x−3
=0
x+1
Un quotient est nul, si est seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul.
2 x−3
Donc
=0 équivaut à 2 x−3=0 et x +1 ≠ 0
x+1
3
C'est à dire x= et x ≠−1 .
2
3
3
Comme ≠−1 , la solution de l'équation est S=
2
2
➢ Exemple : Résoudre
{}
5. Résolution d'inéquation du 1er degré et intervalles
Exercices 22 à 24 pages 130 et 131
➢ Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs qui rendent vraie cette inéquation.
➢ Ajouter, soustraire, multiplier par un nombre positif, ou diviser par un nombre positif, ne change pas
le sens d'une inégalité.
➢ Multiplier par un nombre négatif, ou diviser par un nombre négatif, change le sens d'une inégalité.
➢ Exemple : Résoudre l'inéquation 3 x−2⩾5 x−4
⇔3 x−2+2⩾5 x+4+2⇔ 3 x⩾5 x +6 ⇔3 x−5 x⩾5 x +6−5 x ⇔−2 x ⩾6
−2 x
6
⇔
⩽
Attention, changement du signe de l'inégalité
−2
−2
⇔ x ⩽−3
➢ Pour représenter les solutions d'une inéquation on peut utiliser les intervalles :
Exercices 17 à 21 page 28
x est un réel tel que :
Représentation graphique
Intervalle
x <b
]−∞; b [
x⩽b
]−∞; b ]
x >a
] a ;+∞ [
x⩾a
[ a ;+∞ [
a < x <b
] a ;b [
a⩽ x⩽b
[ a ;b ]
a <x⩽b
] a ;b ]
a⩽ x< b
[ a ;b [
−7
7
7
⇔ x⩾ ⇔ x∈ ;+∞
−2
2
2
7
;+∞
Les solutions de l'inéquation précédente sont
2
[
➢ Exemple −2 x +4⩽−3⇔−2 x⩽−7⇔ x⩾
[
[
[
6. Réunion et intersection d'intervalles
➢ Soit I et J deux intervalles.
L'intersection de I et J , notée I∩J est l'ensemble des éléments appartenant à I et à J .
La réunion de I et J , notée I∪J est l'ensemble des éléments appartenant à I ou à J .
➢ Exemple
I= ]−3 ;7 ] et J= [−1 ;12 [ et donc I∩J=[−1; 7 ] et I∪J=]−3 ;12 [