Equations quotients - exercices corrigés

Cours et exercices de mathématiques
M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr
EQUATIONS QUOTIENT – EXERCICES CORRIGES
Résoudre dans \ les équations suivantes :
2x + 3
x−5 2
4
8
=
=
=3
x−2 3
7 x − 7 3x − 3
x −1
2 x − 1 5x − 4
−
=0
x+3
5x
2 x + 3 3x + 2
−
=0
x−4
x+4
CORRECTION
Si l’inconnue figure au dénominateur, il faut d’abord déterminer les valeurs que l’inconnue peut prendre, et
éventuellement ne peut pas prendre (en particulier un dénominateur NE PEUT JAMAIS ETRE NUL). Ces valeurs
seront appelées VALEURS INTERDITES
Puis interviennent les deux règles :
Produits en croix
Nullité d’une fraction :
« Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est
a c
Si = alors a × d = b × c (produit en croix) nul »
b d
2x + 3
=3
x −1
La division par x − 1 impose x − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1
Alors, pour tout x ≠ 1 ,
2x + 3
2x + 3 3
=3⇔
=
x −1
x −1 1
⇔ ( 2 x + 3) × 1 = 3 × ( x − 1)
⇔ 2 x − 3 x = −3 − 3
⇔ − x = −6 ⇔ x = 6
6 ≠ 1 donc S = {6}
x−5 2
=
x−2 3
La division par x-2 impose x ≠ 2
Alors, pour tout x ≠ 2 ,
x−5 2
= ⇔ 3( x − 5) = 2( x − 2)
x−2 3
⇔ 3 x − 2 x = −4 + 15 ⇔ x = 11
11 ≠ 2
4
8
=
7 x − 7 3x − 3
donc
En présence d’un quotient, il est impératif
d’examiner la(les) valeur(s) qui annule(nt) le
dénominateur,
valeurs
qui
seront
INTERDITES
Ces valeurs ne pourront pas être prises par la
variable, donc ne peuvent être en aucune
mesure solution de l’équation.
On dit que \ \ {1} = ]−∞;1[ ∪ ]1; +∞[ est
l’ensemble de définition, ou l’ensemble de
validité de l’équation
S = {11}
Les divisions par 7 x − 7 et 3x − 3 imposent D’où l’utilité de déterminer les valeurs
interdites, qui permettent d’«éliminer»
x ≠ 1 . Alors, pour tout x ≠ 1 ,
d’éventuelles solutions.
4
8
=
7 x − 7 3x − 3
⇔ 4(3 x − 3) = 8(7 x − 7) ⇔ 12 x − 56 x = −56 + 12
⇔ −44 x = −44 ⇔ x = 1 impossible
S =∅
L’équation est définie si et seulement si x ≠ −3
2 x − 1 5x − 4
−
=0
et x ≠ 0 . Pour tout x ∈ \ \ {−3;0} ,
x+3
5x
2x − 1 5x − 4
−
=0
5x
x+3
( 2 x − 1) × 5 x − ( x + 3)( 5 x − 4 ) = 0
⇔
x+3
⇔ ( 2 x − 1) × 5 x − ( x + 3)( 5 x − 4 ) = 0
On pouvait aussi mettre en œuvre la
technique des produits en croix :
Pour tout x ∈ \ \ {−3;0} ,
2x − 1 5x − 4
2 x − 1 5x − 4
−
=0⇔
=
x+3
x+3
5x
5x
( 2 x − 1) × 5 x = ( x + 3)( 5 x − 4 )
⇔
x+3
x+3
(deux fractions égales ayant même
(une fraction est nulle si et seulement si son
dénominateur ont des numérateurs égaux)
numérateur est nul)
⇔ ( 2 x − 1) × 5 x = ( x + 3)( 5 x − 4 )
⇔ 10 x 2 − 5 x − ( 5 x 2 − 4 x + 15 x − 12 ) = 0
⇔ ( 2 x − 1) × 5 x − ( x + 3)( 5 x − 4 ) = 0
⇔ 5 x 2 − 16 x + 12 = 0
2
2
et on retrouve une équations du second degré ⇔ 10 x − 5 x − ( 5 x − 4 x + 15 x − 12 ) = 0
« classique »
⇔ 5 x 2 − 16 x + 12 = 0
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2 x + 3 3x + 2
L’équation est définie si et seulement si x ≠ −4 et x ≠ 4 . Pour tout x ∈ \ \ {−4;4} ,
−
=0
x−4
x+4
( 2 x + 3)( x + 4 ) − ( 3x + 2 )( x − 4 )
2 x 2 + 8 x + 3x + 12 − 3x 2 + 12 x − 2 x + 8
=0⇔
=0
( x + 4 )( x − 4 )
( x + 4 )( x − 4 )
⇔
− x 2 + 21x + 20
=0
( x + 4 )( x − 4 )
⇔ − x 2 + 21x + 20 = 0 (une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul)
Pour cette dernière équation, on calcule ∆ = ( 21) − 4 × ( −1) × 20 = 441 + 80 = 521 , donc
2
l’équation
x2 =
admet
deux
solutions
réelles
distinctes
x1 =
−21 − 521 21 + 521
=
−2
2
 21 + 521 21 − 521 
−21 + 521 21 − 521
=
. Ainsi S = 
;

−2
2
2
2


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et