2015-2016 3M270 Algèbre Troisième partie 6. ACTION D’UN GROUPE SUR UN ENSEMBLE. 6.1. Définition Soit E un ensemble et G un groupe. On dit que G opère sur E (ou encore : agit sur E) s’il existe une application ϕ:G×E →E telle que : 1) ∀x ∈ E, ϕ(eG , x) = x 2) ∀x ∈ E, ∀g ∈ G, ∀g 0 ∈ G, ϕ(g, ϕ(g 0 , x)) = ϕ(gg 0 , x). Si G opère sur E, on dit aussi que E est un G-ensemble Notation : On note en général g ·x au lieu de ϕ(g, x). Avec cette notation, les conditions 1) et 2) deviennent : 1’) eG · x = x . 2’) g · (g 0 · x) = (gg 0 ) · x. Exemples : 1) Le groupe S3 opère sur le triangle équilatéral ABC par permutation des sommets. 2) Tout groupe opère sur lui-même : - par multiplication à gauche : (g, x) 7−→ gx - par multiplication à droite : (g, x) 7−→ xg −1 - par conjugaison : (g, x) 7−→ gxg −1 . 3) Le groupe additif R opère sur C par (θ, z) 7−→ θ · z = eiθ z. 4) Le groupe symétrique Sn opère sur l’ensemble {1, ..., n}. 5) Les groupes Gln (R), On (R), SOn (R)opèrent sur Rn . 6) Le groupe On (R) opère sur la sphère unité Sn = {x ∈ Rn / kxk = 1}. 6.2. Orbites. Définition : 1 Soit E un ensemble et G un groupe opérant sur E. Soit x ∈ E. On appelle orbite de x l’ensemble O(x) = {g · x/g ∈ G}. Proposition : 1) Soit x et y deux éléments de E : y ∈ O(x) ⇐⇒ x ∈ O(y) ⇐⇒ O(x) = O(y). 2) Les orbites forment une partition de E . Démonstration : 1) Supposons que y ∈ O(x). Il existe g ∈ G tel que y = g · x, d’où g −1 · y = g −1 · (g · x) = (g −1 g) · x = e · x = x. Par conséquent, x ∈ O(y). De même, x ∈ O(y) =⇒ y ∈ O(x). De plus, y ∈ O(x) =⇒ O(y) ⊂ O(x), d’où O(y) = O(x). 2) On définit sur E la relation xRy ⇐⇒ O(x) = O(y). C’est évidemment une relation d’équivalence. Les classes d’équivalence sont les orbites, qui forment donc une partition de E. QED Corollaire : Soit E un G-ensemble fini et soit E’ un système de représentants des orbites pour l’opération de G. Alors X card(E) = card(O(x)). x∈E 0 Exemples : 1) Quand un groupe opère sur lui-même par multiplication à gauche (ou par multiplication inverse à droite), il y a une seule orbite. 2) Quand un groupe opère sur lui-même par conjugaison, les orbites sont les classes de conjugaison. 3) Soit G un groupe et H un sous-groupe de G : H opère sur G à gauche : h · g = hg. L’orbite de g ∈ G est la classe à droite Hg. De même, H opère sur G à droite : h · g = gh−1 . L’orbite de g ∈ G est la classe à gauche gH. 6.3. Stabilisateurs. Formule des classes. Définition : Soit G un groupe et E un G-ensemble. Soit x ∈ E. On appelle stabilisateur de x l’ensemble St(x) = {g ∈ G/g · x = x} 2 Proposition : Pour tout x ∈ E, St(x) est un sous-groupe de G. Démonstration : exercice. Théorème : Soit G un groupe et E un G-ensemble. Soit x ∈ E, et g, g0 ∈ E. Alors : 1) g · x = g 0 · x ⇐⇒ gSt(x) = g 0 St(x). 2) Il existe une bijection entre O(x) et G/St(x). En particulier, Si G est fini, alors cardO(x) = [G : St(x)]. Démonstration : 1) Supposons que g · x = g 0 · x. Soit h ∈ St(x). Alors (gh) · x = g · x = g 0 · x, donc (g 0−1 gh) · x = x, d’où g 0−1 gh ∈ St(x) et gh ∈ g 0 St(x). On en déduit que gSt(x) ⊂ g 0 St(x). De même, g 0 St(x) ⊂ gSt(x). Réciproquement, supposons que gSt(x) = g 0 St(x). Alors g ∈ g 0 St(x) et il existe h ∈ g 0 St(x) tel que g = g 0 h. Par conséquent, g · x = (g 0 h) · x = g 0 · (h · x) = g 0 · x. 2) On pose F : O(x) → G/St(x) g · x 7−→ gSt(x) D’après 1) l’application F est bien définie et est injective. Elle est évidemment surjective. QED Corollaire (Formule des classes) : Soit G un groupe opérant sur un ensemble fini E . Soit {x1 , ..., xn } un système de représentants des orbites. Alors card(E) = n X [G : St(xi )]. i=1 Définition : Soit G un groupe et E et F deux G-ensembles. Soit f : E → F une application. On dit que f est un morphismes de G-ensembles si, ∀g ∈ G, ∀x ∈ E, f (g · x) = g · f (x). Exemple : L’application F : O(x) → G/St(x) décrite dans la démonstration du théorème ci-dessus est un morphisme de G-ensembles. 3 Proposition : Soit G un groupe opérant sur un ensemble E. Alors cette opération induit un homomorphisme de groupes de G dans le groupe S(E) des bijections de E. Démonstration : Pour tout g ∈ G, soit σg : E → E l’application définie par σg (x) = g · x. Cette application est bijective puisqu’elle possède pour application réciproque σg−1 . L’application g 7−→ σg est clairement un homomorphisme de groupes. QED Corollaire (Théorème de Cayley) : Soit G un groupe de cardinal n. Alors G est isomorphe à un sous-groupe de Sn . Démonstration : On fait opérer G sur lui-même à gauche : G×G → (g, x) 7−→ G g · x = gx L’homomorphisme g 7−→ σg est injectif et, comme G est d’ordre n, S(G) est isomorphe à Sn . QED Opération fidèle : Si l’homomorphisme G → S(E) est injectif, on dit que G opère fidèlement sur E. Opération transitive : On dit que G opère transitivement sur E s’il y a une seule orbite. Points fixes : Soit G un groupe et E un G-ensemble. On pose E G = {x ∈ E/∀g ∈ G, g · x = x}. Proposition : Soit p un nombre premier. Soit G un p-groupe opérant sur un ensemble fini E. Alors |E| ≡ E G (modp). Démonstration : 4 Soit O(x1 ), ..., O(xn ) les orbites de cardinal supérieur ou égal à 2. n X |E| = E G + |O(xi )| . i=1 Comme |O(xi )| > 1, |O(xi )| = [G : St(xi )] est une puissance positive de p. QED Théorème : Soit p un nombre premier. Le centre d’un p-groupe n’est jamais trivial. Démonstration : On fait opérer G sur lui-même par conjugaison : G×G → (g, x) 7−→ G gxg −1 L’ensemble des points fixes est GG = Z(G), le centre de G. D’après la proposition précédente, |Z(G)| ≡ |G| ≡ 0 (modp). Comme eG ∈ Z(G), on a |Z(G)| ≥ 1, donc p divise l’ordre de Z(G). QED Lemme : Soit G un groupe tel que G/Z(G) est cyclique. Alors G est abélien. Démonstration : Notons Z = Z(G). Il existe h ∈ G tel que G/Z(G) =< hZ >. Pour tout g ∈ G, il existe un entier n tel que g ∈ (hZ)n = hn Z. Il existe donc z ∈ Z tel que g = hn z. 0 Soit g = hn z et g 0 = hn z 0 deux éléments de G. 0 0 0 0 gg 0 = hn zhn z 0 = hn+n zz 0 = hn+n z 0 z = hn z 0 hn z = g 0 g. QED Proposition : Soit p un nombre premier. Tout groupe d’ordre p2 est abélien. Démonstration : Soit G un groupe d’ordre p2 . Le centre Z(G) est un sous-groupe distingué de G, qui n’est pas trivial d’après le théorème précédent. Par conséquent, le cardinal de Z(G) est égal à p ou à p2 . Supposons que G n’est pas abélien, c’est-à-dire que le cardinal de Z(G) est égal à p. Alors le groupe G/Z(G) est d’ordre p, donc cyclique. D’après le lemme, G serait alors abélien, une contradiction. Par conséquent, G est abélien. QED 5 7. THÉORÈMES DE SYLOW 7.1. Premier théorème Nous allons étendre aux groupes finis quelconques le lemme de Cauchy, précédemment démontré pour les groupes abéliens, qui vérifient : soit G un groupe abélien fini et p un nombre premier qui divise l’ordre de G. Alors G possède un élément d’ordre p. Théorème (premier théorème de Sylow) Soit G un groupe fini, k ≥ 1 un entier et p un nombre premier tel que pk divise l’ordre de G. Alors G possède un sous-groupe d’ordre pk . En particulier, G possède un élément d’ordre p. Démonstration : On procède par récurrence sur l’ordre de G. Si |G| = 1 il n’y a rien à démontrer. Supposons le théorème vrai jusqu’à l’ordre n − 1 et soit G un groupe d’ordre n. On fait opérer G sur lui-même par conjugaison. L’ensemble des points fixes est le centre Z de G. La formule des classes s’écrit donc : X |G| = |Z| + [G : Stab(hi )], i où l’on prend un élément hi dans chaque orbite de cardinal au moins égal à deux. Deux cas se présentent alors. 1er cas : p ne divise pas |Z|. Il existe alors un indice i tel que p ne divise pas [G : Stab(hi )]. Comme pk divise |G| = |Stab(hi )| × [G : Stab(hi )], on en déduit que pk divise |Stab(hi )|. De plus, comme hi ∈ / Z, |Stab(hi )| < |G|et on peut donc appliquer l’hypothèse de récurrence à Stab(hi ). 2ème cas : p divise |Z|. D’après le lemme de Cauchy, Z contient un élément g d’ordre p. Le sous-groupe < g > est distingué dans G et le groupe quotient G/ < g > a pour cardinal |G| p . Par hypothèse de récurrence, G/ < g > contient donc un sous-groupe K d’ordre pk−1 . Ce sous-groupe est de la forme K = H/ < g >, où H est un sous-groupe de G contenant < g >. Alors |H| = |K| × |< g >| = pk . QED Définition : Soit G un groupe fini, et p un nombre premier qui divise l’ordre de G. On appelle p-sous-groupe de Sylow de G, tout sous-groupe dont l’ordre est égal à la plus grande puissance de p qui divise l’ordre de G. Le premier théorème de Sylow nous assure l’existence de tels sous-groupes. 6 7.2. Deuxième théorème Proposition : Soit G un groupe fini et p un nombre premier qui divise l’ordre de G. Soit H un p-sous-groupe de Sylow de G et soit K un p-sous-groupe de G. Alors il existe g ∈ G tel que K ⊂ gHg −1 . En particulier, tout p-sous-groupe de G est contenu dans un p-sous-groupe de Sylow. Démonstration : On fait opérer K sur G/H par translation : K × G/H → (x, gH) 7−→ G/H (xg)H Il existe au moins un point fixe. En effet, d’après l’équation des classes : X |O(gi H)| |G/H| = |{points f ixes}| + |O(gi H)|≥2 Or |O(gi H)| = [K : St(gi H)], qui est une puissance de p, alors que |G/H| est premier à p. gH est fixe ⇐⇒ ∀x ∈ K, xgH = gH ⇐⇒ ∀x ∈ K, g −1 xgH = H ⇐⇒ ∀x ∈ K, x ∈ gHg −1 ⇐⇒ K ⊂ gHg −1 . QED Corollaire 1 (deuxième théorème de Sylow): Soit G un groupe fini et p un nombre premier qui divise l’ordre de G. Alors tous les p-sous-groupes de Sylow de G sont conjugués. Démonstration : Si K est lui-même un p-sous-groupe de Sylow, alors K = gHg −1 . QED Corollaire 2 : Soit G un groupe fini et p un nombre premier qui divise l’ordre de G. Soit H un p-sous-groupe de Sylow distingué dans G. Alors H est le seul p-sous-groupe de Sylow de G. Réciproquement, si G possède un seul p-sous-groupe de Sylow, alors ce dernier est distingué. 7.3. Troisième théorème. 7 Théorème : Soit G un groupe fini et p un nombre premier qui divise l’ordre de G. Soit np le nombre de p-sous-groupes de Sylow de G. Alors : 1) np = [G : NG (H)], où H est un p-sous-groupe de Sylow quelconque de G. En particulier, np divise l’ordre de G. 2) np ≡ 1 (modp). Démonstration : 1) Soit X l’ensemble des p-sous-groupes de Sylow de G. G opère sur X par conjugaison, et il y a une seule orbite d’après le deuxième théorème de Sylow. Soit H ∈ X : Stab(H) = {g ∈ G/gHg −1 = H} = NG (H). L’équation des classes s’écrit donc np = |X| = [G : NG (H)]. 2) Soit H un p-sous-groupe de Sylow fixé. H opère sur X par conjugaison. Nous allons montrer qu’il y a un seul point fixe, qui est H lui-même. Soit K un point fixe. Pour tout h ∈ H, hKh−1 = K, et donc H ⊂ NG (K). En particulier, H est un p-sous-groupe de Sylow de NG (K). D’autre part, K est distingué dans NG (K), c’est donc l’unique p-sous-groupe de Sylow de NG (K). On en déduit que H = K. Ecrivons l’équation des classes : X np = 1 + |O(Ki )| , i où |O(Ki )| = [H : Stab(Ki )] ≥ 2. Comme |H| = pk ,on en déduit que |O(Ki )| ≡ 0 (modp). QED 7.4. Cas où les sous-groupes de Sylow sont distingués : Lemme : Soit G un groupe ,et soit H et K des sous-groupes distingués tels que H ∩ K = {e}. Alors quels que soient h ∈ H et k ∈ K, hk = kh. Démonstration : Comme K C G, il existe k 0 ∈ K tel que hkh−1 = k 0 . De même, il existe h0 ∈ H tel que k −1 hk = h0 . On en tire hk = k 0 h = kh0 , d’où k −1 k 0 = h0 h−1 ∈ H ∩ K = {e}. 8 Finalement, h = h0 et k = k 0 . QED Théorème : Soit G un groupe ,et soit H et K des sous-groupes tels que 1) H C G et K C G. 2) H ∩ K = {e}. 3) |H| × |K| = |G|. Alors G est isomorphe au produit cartésien H × K. Démonstration : Soit f :H ×K →G (h, k) 7−→ hk Il découle du lemme précédent que f est un homomorphisme de groupes. De plus, f est injectif : hk = e =⇒ h = k −1 ∈ H ∩ K =⇒ h = k = e. QED Théorème : Soit G un groupe fini. On suppose que tous les sous-groupes de Sylow de G sont distingués. Alors G est isomorphe au produit cartésien de ses sous-groupes de Sylow. Démonstration : Soit H1 , ..., Hr les sous-groupes de Sylow de G, avec pour chaque i, |Hi | = i pα i . D’après le lemme, si i 6= j, pour tous hi ∈ Hi et kj ∈ Kj , on a hi kj = kj hi . Par conséquent, f : H1 × ... × Hr → G (h1 , ..., hr ) 7−→ h1 · · · hr est un homomorphisme de groupes. Supposons que f (h1 , ..., hr ) = e, alors h−1 r = h1 · · · hr−1 . p αi Pour chaque i ∈ {1, ..., r}, on a hi i = e. Qr−1 i αr Soit m = i=1 pα i , de sorte que m et pr sont premiers entre eux. Alors m (h1 · · · hr−1 )m = hm 1 · · · hr−1 = e, d’où hm r = e. 9 Or l’ordre de hr est une puissance de pr . Ceci n’est possible que si l’ordre de hr est égal à 1, c’est-à-dire si hr = e. On a alors h1 · · · hr−1 = e. En itérant on obtient finalement h1 = ... = hr = e, et f est injectif. Comme |G| = r Y i=1 f est un isomorphisme. QED 10 |Hi | , 8. THÉORÈMES D’ISOMORPHISMES. GROUPES SIMPLES. 8.1. Premier théorème d’isomorphisme Théorème : Soit G un groupe. Soit H et K deux sous-groupes. On suppose que K C G. Alors 1) HK = KH est un sous-groupe de G. 2) H ∩ K C H. 3) H/H ∩ K ' HK/K. Démonstration : 1) Il suffit de montrer que, si h, h0 ∈ H et k, k 0 ∈ K, alors hkh0 k 0 ∈ HK. Comme K C G, il existe k1 ∈ K tel que h0 k 0 = k1 h0 , d’où hkh0 k 0 = hkk1 h0 = hk2 h0 (k2 = kk1 ∈ K). De même il existe k3 ∈ K tel que k2 h0 = h0 k3 , d’où hkh0 k 0 = hh0 k3 ∈ HK. 2+3) On considère l’application Cl : G → G/K, et soit u sa restriction à H. Im(u) = {hK/h ∈ H} = HK/K. Soit h ∈ H : h ∈ Ker(u) ⇐⇒ hK = K ⇐⇒ h ∈ H ∩ K. Par conséquent, Ker(u) = H ∩ K. En particulier, H ∩ K C K et H/H ∩ K ' HK/K. QED 8.2. Applications : 1) Prenons G = Z, H = mZ, K = nZ. Soit d = m ∧ n et e = m ∨ n. Alors H +K = dZ H ∩K = eZ mZ/eZ ' dZ/nZ 2) Soit G un groupe d’ordre pq r , où p et q sont des nombres premiers tels que p < q. Alors G = P Q, où P est un p-Sylow et Q est un q-Sylow. En effet : Notons np et nq le nombre de p-Sylow et le nombre de q-Sylow. On a nq = 1 ou p. 11 Si nq = p, alors p ≡ 1 (modq), d’où q < p, ce qui est impossible. Par conséquent, nq = 1. Ainsi, il y a un seul q-Sylow, qui est distingué dans G. Appelons le Q. Soit P un p-Sylow. On a P Q = QP et Q ∩ P = {e}. Par conséquent, P Q/Q ' P/P ∩ Q ' P. On en déduit que |P | |Q| = |P Q|, d’où |P Q| = pq r = |G|. Finalement, G = P Q. Attention : on Si G = S3 , n’a pas en général G ' P × Q. Par exemple, P = {id, 1 2 } ' Z/2Z, Q = {id, 1 2 3 , 1 3 2 } ' Z/3Z. 3) On verra au §8.5 que pour n ≥ 5, le groupe alterné An est simple, c-àd. qu’il n’admet aucun sous-groupe distingué autre que {e} et lui-même. On déduit alors du premier théorème d’isomorphisme: Théorème : Si n ≥ 5, le groupe alterné An est le seul sous-groupe distingué non trivial du groupe symétrique Sn . Démonstration : Soit H un sous-groupe distingué de Sn distinct de {id} et de Sn . Le sousgroupe H ∩ An est distingué dans An et, comme ce dernier est simple, on a H ∩ An = An ou H ∩ An = {id}. Supposons que H ∩ An = {id}, alors H ' H/H ∩ An ' HAn /An , d’où |H| = |Sn | |HAn | ≤ = 2. |An | |An | Par conséquent, H = {id, σ}, où σ est une permutation d’ordre 2, c’est-àdire un produit de transpositions disjointes. C’est impossible car un tel produit a nécessairement des conjugués qui lui sont distincts. On en déduit que H ∩ An = An , donc que An ⊂ H. Et comme An est d’indice 2, An = H. QED Remarques : Le théorème est encore vrai pour n = 3 : A3 est le seul sous-groupe distingué non trivial de S3 . Mais S4 contient les deux sous-groupes distingués A4 et 3 4 , 1 3 2 4 , 1 4 2 3 } ' Z/2Z × Z/2Z. {id, 1 2 8.3. Deuxième théorème d’isomorphisme : 12 Théorème : Soit G un groupe. Soit H et K deux sous-groupes distingués de G tels que K ⊂ H. Alors K C H et (G/K)/(H/K) ' G/H. Démonstration : Soit f : G/K → G/H gK 7−→ gH Ceci définit bien une application car gK = g 0 K =⇒ g 0−1 g ∈ K ⊂ H =⇒ gH = g 0 H. De plus, f est un homomorphisme de groupes et gK ∈ Ker(f ) ⇐⇒ gH = H ⇐⇒ g ∈ H ⇐⇒ gK ∈ H/K. Donc Ker(f ) = H/K et on conclut par le théorème de factorisation. QED 8.4. Suites de composition, suites de Jordan -Hölder Définition : Soit G un groupe. On appelle suite de composition de G toute suite de sous-groupes G = G0 ! G1 · ·· ! Gn = {e}, telle que, pour tout i ∈ {1, ..., n − 1}, Gi+1 C Gi . Soit G = G0 B G1 · ·· B Gn = {e} G = H0 B H1 · ·· B Hm = {e} deux suites de compositions de G. On dit que la seconde est un raffinement de la première si, pour tout i ∈ {0, ..., n}, il existe j = j(i) ∈ {0, ..., m} tel que Hj = Gi , avec 0 = j(0) < j(1) < ... < j(n) = m. On dit que les deux suites de composition sont équivalentes si m = n et s’il existe une permutation σ ∈ Sn−1 telle que pour tout i ∈ {1, ..., n − 1}, Gi /Gi+1 ' Hσ(i) /Hσ(i)+1 . Exemple : 13 Le groupe Z/6Z possède les deux suites de composition équivalentes : Z/6Z ⊃ {0, 2, 4} ⊃ {0} Z/6Z ⊃ {0, 3} ⊃ {0}. Définition : On appelle suite de Jordan-Hölder toute suite de composition qui satisfait l’une des propriétés équivalentes suivantes : i) elle n’admet pas d’autre raffinement qu’elle même ii) elle est de longueur maximale iii) tous les quotients Gi /Gi+1 sont des groupes simples (voir §8.5). Proposition : Tout groupe fini admet une suite de Jordan-Hölder. Démonstration : On procède par récurrence sur n = |G|. La proposition est évidemment vérifiée pour n = 0. Supposons qu’elle est vérifiée jusqu’à l’ordre n − 1 et soit G un groupe d’ordre n. Si G est simple, alors G ⊃ {e} est une suite de Jordan-Hölder. Sinon, soit H un sous-groupe distingué distinct de G, d’ordre maximal. Alors G/H est simple et, par hypothèse de récurrence, H possède une suite de Jordan-Hölder H = H0 B H1 · ·· B Hm = {e}. QED. Nous admettrons le théorème suivant : Théorème : Si un groupe possède une suite de Jordan-Hölder, alors toutes ses suites de Jordan-Hölder sont équivalentes. Remarque : Les groupes abéliens infinis n’admettent pas de suite de Jordan-Hölder. En effet, si un groupe abélien possède une suite de Jordan-Hölder, les quotients successifs sont des groupes abéliens simples (ils sont cycliques d’ordre premier), donc finis. Comme la suite de composition est finie, ceci entraı̂ne que le groupe est fini : |G| = n−1 Y [Gi : Gi+1 ]. i=0 8.5. Simplicité des groupes alternés. Rappelons la 14 Définition : On dit qu’un groupe est simple si ses seuls sous-groupes distingués sont {e} et lui même. Nous allons montrer que, pour n ≥ 5, le groupe alterné An est simple. Lemme : Si n ≥ 4, le groupe alterné An est engendré par les cycles de longueur 3. Démonstration : Comme toute permutation paire est le produit d’un nombre pair de trans i j k l . positions, An est engendré par les doubles transpositions j l = i j l . Si {i, j} ∩ {k, l} = 6 ∅, par exemple si j = k, i j Si {i, j} ∩ {k, l} = ∅, alors i j k l = i j j k j k k l = i j k j k QED Proposition : Le groupe alterné A5 est simple. Démonstration : Le groupe A5 contient 60 éléments : · l’identité · 15 doubles transpositions i j k l · 20 cycles de longueur 3 i j k · 24 cycles de longueur 5 i j k l m . Soit H un sous-groupe distingué propre de A5 . Tous les cycles de longueur 3 forment une seule classe de conjugaison dans A5 (et plus généralement dans An si n ≥ 5). Soit en effet σ1 = a1 a2 a3 et σ2 = b1 b2 b3 deux cycles de longueur 3. Soit a1 a2 a3 τ= . b1 b2 b3 On a τ σ1 τ −1 = σ2 . Si τ ∈ / A5 , soita4 et a5 deux éléments n’appartenant pas à {a1 , a2 , a3 } et soit ρ = a4 a5 . Soit τ 0 = τ ρ. Alors τ 0 ∈ A5 et τ 0 σ1 τ 0−1 = σ2 . Par conséquent, si H contient un cycle de longueur 3, alors H = A5 , ce qui est exclus. De même, tous les éléments d’ordre 2 sont conjugués dans A5 . Car soit a3 a4 et τ2 = b1 b2 b3 b4 . Soit τ1 = a1 a2 σ= a1 b1 a2 b2 a3 b3 15 a4 b4 a5 b5 ; l . On a στ1 σ −1 = τ2 . Si σ ∈ / A5 , soit σ 0 = σ ◦ a1 a2 . Alors σ 0 ∈ A5 et σ 0 τ1 σ 0−1 = τ2 . Par conséquent, si H contient une double transposition, alors il les contient toutes et |H| ≥ 16. Comme 16 n’est pas un diviseur de 60, H doit également contenir.au moins un cycle de longueur 5. Par conséquent, H doit contenir un 5-sous-groupe de Sylow de A5 . Mais il doit alors contenir tous les conjugués de ce 5-Sylow, donc tous les cycles de longueur 5. On on déduit que |H| ≥ 16 + 24 = 40. Ceci entraı̂ne que |H| = 60, ce qui est exclus. QED Théorème : Pour tout n ≥ 5, le groupe alterné An est simple. Démonstration : On procède par récurrence sur n. Si n = 5, le théorème est vrai d’après la proposition précédente. Soit n ≥ 6 et soit H un sous-groupe distingué de An , distinct de {id}. Soit S = {σ ∈ An /σ(1) = 1}. L’ensemble S est un sous-groupe de An isomorphe à An−1 . comme H est distingué dans An , H ∩ S est distingué dans S. L’hypothèse de récurrence entraı̂ne que H ∩ S = {id} ou H ∩ S = S. Soit σ 6= id un élément de H : Si σ(1) = 1 alors σ ∈ S, donc H ∩ S = S. Si σ(1) = i 6= 1, soit j 6= 1, i et k = σ(j). Soit l et m deux éléments de {1, ..., n} distincts et distincts de 1, i, j, k, soit ρ = j l m et τ = ρσ −1 ρ−1 σ. Comme H est distingué, ρσ −1 ρ−1 ∈ H et donc τ ∈ H. Alors τ (1) = 1 et τ 6= id car τ (j) = l. On a donc à nouveau H ∩ S = S. Il s’ensuit que S ⊂ H, par conséquent H contient un cycle de longueur 3 et H = An . QED Remarque. Comme autres exemples de familles de groupes simples finis, on peut citer : - les groupes cycliques d’ordre premier Z/pZ, qui sont clairement simples; - certains groupes de matrices sur les corps finis. Considérons par exemple le groupe mulitplicatif SL2 (Fp ) des matrices (2 × 2) à coefficients dans Fp , de déterminant 1. Son centre Z étant constitué des matrices {I2 , −I2 }, il n’est pas simple (pour p > 2, en fait aussi pour p = 2), mais on montre que pour p 6= 2, 3, le groupe quotient P SL2 (Fp ) := SL2 (Fp )/Z est un groupe simple. En revanche, P SL2 (F2 ) ' S3 et P SL2 (F3 ) ' A4 ne sont pas simples. En dehors de ces familles, il n’existe, à isomorphisme près, qu’un nombre fini de groupes finis simples, appelés groupes sporadiques. 16 9. PRODUITS SEMI-DIRECTS 9.1. Position du problème. Soit H et K deux sous-groupes d’un groupe G. On suppose que H ∩K = {eG } HK = G. Soit alors f :H ×K →G (h, k) 7−→ hk Cette application est bijective. Mais, si on munit le produit direct H × K de sa structure naturelle de groupe, ce n’est pas en général un homomorphisme (c’est le cas si les sous-groupes H et K sont distingués, comme nous l’avons vu précédemment). On se pose alors la question suivante : est-il possible de munir le produit H ×K d’une structure de groupe qui fasse de l’application f un homomorphisme (et donc un isomorphisme) ? Cette question est liée à cette autre question : étant donné des éléments h1 , h2 ∈ H et des éléments k1 , k2 ∈ K, il existe des éléments h ∈ H et k ∈ K (uniques puisque f est injective) tels que h1 k1 h2 k2 = hk. Peut-on exprimer h et k en fonction de h1 , h2 , k1 , k2 ? Nous allons voir que la réponse à ces deux questions est positive si on suppose que l’un des deux sous-groupes est distingué dans G. Supposons que H C G. On peut écrire : h1 k1 h2 k2 = h1 k1 h2 (k1−1 k1 )k2 = h1 (k1 h2 k1−1 )k1 k2 . Comme H est distingué dans G, k1 h2 k1−1 ∈ H et donc h = h1 (k1 h2 k1−1 ) et k = k1 k2 . 9.2. Produits semi-directs internes. Soit G un groupe. Pour tout g ∈ G notons σg la conjugaison par g : σg (h) = ghg −1 . Si H est un sous-groupe distingué de G, alors pour tout g ∈ G, σg ∈ Aut(H). De plus, l’application G → g 7−→ Aut(H) 17 σg est un homomorphisme de groupes puisque σgg0 = σg ◦ σg0 . Théorème : Soit G un groupe, H C G un sous-groupe distingué et K < G un sous-groupe tcls que H ∩K = {eG } HK = G. Alors : 1) La loi (h1 , k1 ) o (h2 , k2 ) = (h1 σk1 (h2 ), k1 k2 ) munit l’ensemble H × K d’une structure de groupe. Ce groupe est noté H o K. 2) L’application f :H oK →G (h, k) 7−→ hk est un isomorphisme de groupes. Démonstration : 1) On voit immédiatement que (e, e) est élément neutre. L’inverse de (h, k) est (σk−1 (h−1 ), k −1 ). La loi est associative : [(h1 , k1 ) o (h2 , k2 )] o (h3 , k3 ) = (h1 σk1 (h2 ), k1 k2 ) o (h3 , k3 ) = (h1 σk1 (h2 )σk1 k2 (h3 ), k1 k2 k3 ) = (h1 σk1 (h2 )σk1 (σk2 (h3 )), k1 k2 k3 ) = (h1 σk1 (h2 σk2 (h3 )), k1 k2 k3 ) = (h1 , k1 ) o (h2 σk2 (h3 ), k2 k3 ) = (h1 , k1 ) o [(h2 , k2 ) o (h3 , k3 )]. 2) f ((h1 , k1 ) o (h2 , k2 )) = f ((h1 σk1 (h2 ), k1 k2 )) = h1 σk1 (h2 )k1 k2 = h1 k1 h2 k1−1 k1 k2 = h1 k1 h2 k2 = f (h1 , k1 ) · f (h2 , k2 ). QED 9.3 Produits semi-directs externes. 18 Soit maintenant H et K deux groupes. On suppose qu’il existe un homomorphisme ϕ : K → Aut(H) k 7−→ ϕk On peut alors munir l’ensemble H × K d’une loi interne en posant : (h1 , k1 ) oϕ (h2 , k2 ) = (h1 ϕk1 (h2 ), k1 k2 ) Cette loi est une loi de groupe : la démonstration est identique à celle du précédent théorème. Le groupe ainsi obtenu est noté H oϕ K. e = H × {eK } et K e = {eH } × K. Ce sont des sous-groupes de G, Soit H isomorphes à H et à K respectivement. e est distingué dans Hoϕ K. En effet, c’est le noyau de l’homomorphisme De plus, H π : H oϕ K (h, k) 7−→ k Observons que, pour tout k ∈ K, l’automorphisme ϕk ∈ Aut(H) correspond e dans le sens suivant. Soit e e à la conjugaison des éléments de H k = (eH , k) ∈ K e e et h = (h, eK ) ∈ H e ke he k −1 = (eH , k) oϕ (h, eG ) oϕ (eH , k)−1 = (ϕk (h), k) oϕ (eH , k)−1 = (ϕk (h), eK ) ^ = ϕ k (h) En d’autres termes, on a un diagramme commutatif : ϕk : H ↓ e σek H → → K ↓ e K Remarque : Le cas où l’homomorphisme ϕ : K → Aut(H) est trivial (c’est-à-dire ∀k ∈ K, ϕk = idH ) correspond à la structure naturelle de groupe du produit direct H × K. Proposition : Si l’homomorphisme ϕ : K → Aut(H) n’est pas trivial, alors le groupe H oϕ K n’est pas abélien. Démonstration : 19 Soit h ∈ H et k ∈ K. On a (eH , k) oϕ (h, eK ) = (ϕk (h), k) et (h, eK ) oϕ (eH , k) = (h, k). Comme ϕ n’est pas trivial, il existe k ∈ K tel que ϕk 6= id. Il existe alors h ∈ H tel que ϕk (h) 6= h. Corollaire : Le groupe H oϕ K est abélien si et seulement si : 1) H et K sont abéliens. 2) L’homomorphisme ϕ : K → Aut(H) est trivial. 9.4. Exemples. Groupes affines. 1) Sn ' An o {id, 1 2 }. En effet, soit K = {id, 1 2 }. Alors K ∩ An = {id}. De plus, soit σ ∈ Sn . Ou bien σ ∈ An , ou bien σ = σ ◦ 1 An K. On a donc Sn = An K. 2 ◦ 1 2 ∈ 2) Considérons le groupe diédral D2n des isométries qui conservent un polygone régulier à n côtés. Le sous-groupe Rn des rotations de D2n est distingué (il est d’indice 2) et cyclique. Fixons une réflexion σ ∈ D2n . Pour toute réflexion σ 0 ∈ D2n , il existe une rotation ρ ∈ Rn telle que σ 0 = ρ ◦ σ. Ainsi, D2n = Rn o {id, σ} ' Z/nZ o Z/2Z. 3) Le groupe H des quaternions n’est pas un produit semi-direct. En effet, ses sous-groupes propres sont K = {±1}1 qui est d’ordre 2, et les trois sousgroupes Hi = {±1, ±i}, Hj = {±1, ±j} et Hk = {±1, ±k}, qui sont d’ordre 4. Si H était un produit semi-direct, il possèderait un sous-groupe d’ordre 2 et un sous-groupe d’ordre 4 dont l’intersection est triviale. Ce n’est pas le cas. 4) Groupes affines Soient K un corps commutatif, E un espace vectoriel sur K, et E un espace affine d’espace vectoriel directeur E. Le groupe affine GA(E) est l’ensemble des automorphismes affines de E, muni de la loi de composition des applications. − → − − Pour tout → u ∈ E, on note t→ u : E → E : P 7→ P + u la translation de vecteur → − → − → − − − − − u . Pour tout u , v ∈ E, on a t→ u ◦ t→ v = t→ u +→ v , de sorte que l’application → − − fait de l’ensemble T (E) des translations un sous-groupe commutatif u 7→ t→ u de GA(E), isomorphe au groupe additif (E, +) de l’espace vectoriel E. Par définition d’une application affine, à tout élément f de GA(E) est attaché → − un K-automorphisme f de l’espace vectoriel E, appelé application linéaire → − − − − associée à f , qui vérifie : ∀P ∈ E, ∀→ u ∈ E, f (P + → u ) = f (P ) + f (→ u ). 20 → − −−→ → − − Considérons l’application L : f 7→ L(f ) := f . Comme f ◦ g = f ◦ → g , L est un homomorphisme du groupe GA(E) vers le groupe GL(E). Son noyau Ker(L) coı̈ncide avec le sous-groupe T (E) des translations, qui est donc un sous-groupe distingué de GA(E). On vérifie d’ailleurs aisément la formule − −1 − − → ∀f ∈ GA(E), ∀→ u ∈ E, f ◦ t→ . = t→ u ◦f f (− u) L’application L est de plus surjective : choisissant un point arbitraire O de E, on voit que L établit un isomorphisme du sous-groupe FO := {f ∈ GA(E), f (O) = O} < GA(E) des automorphismes affines de E fixant O sur le groupe GL(E). D’où un isomorphisme canonique (indépendant du choix de O): GA(E)/T (E) ' GL(E). Fixons enfin un point O de E. Le sous-groupe FO ' GL(E) de GA(E) n’est pas distingué, et la formule ci-dessus montre que son action par conjugaison sur le sous-groupe distingué T (E) ' E coı̈ncide, par le biais de ces deux iso→ − − → − − morphismes, avec l’action naturelle τ de GL(E) sur E: τ ( f )(→ u ) := f (→ u ). Ainsi, GA(E) = T (E) o FO ' E oτ GL(E) est canoniquement isomorphe au produit semi-direct externe du groupe (E, +) par le groupe GL(E) pour l’action naturelle τ de GL(E) sur E. Quand E = K n et que E est l’espace affine K n correspondant, on a GL(E) = → − GLn (K), et on pose : GA(E) = GAn (K). Il est alors naturel de choisir O = 0 , − de GAn (K), ce qui permet de voir et d’identifier GLn (K) au sous-groupe F→ 0 GAn (K) = K n o GLn (K) comme un produit semi-direct interne. 21