2015-2016 3M270 Alg`ebre Troisi`eme partie 6. ACTION D`UN

2015-2016
3M270
Alg`ebre
Troisi`eme partie
6. ACTION D’UN GROUPE SUR UN ENSEMBLE.
6.1. D´efinition
Soit Eun ensemble et Gun groupe. On dit que Gop`ere sur E(ou encore :
agit sur E) s’il existe une application
ϕ:G×E→E
telle que :
1) ∀x∈E,ϕ(eG, x) = x
2) ∀x∈E,∀g∈G,∀g0∈G,ϕ(g, ϕ(g0, x)) = ϕ(gg0, x).
Si Gop`ere sur E, on dit aussi que Eest un G-ensemble
Notation :
On note en g´en´eral g·xau lieu de ϕ(g, x). Avec cette notation, les conditions
1) et 2) deviennent :
1’) eG·x=x.
2’) g·(g0·x) = (gg0)·x.
Exemples :
1) Le groupe S3op`ere sur le triangle ´equilat´eral ABC par permutation des
sommets.
2) Tout groupe op`ere sur lui-mˆeme :
- par multiplication `a gauche : (g, x)7−→ gx
- par multiplication `a droite : (g, x)7−→ xg−1
- par conjugaison : (g, x)7−→ gxg−1.
3) Le groupe additif Rop`ere sur Cpar (θ, z)7−→ θ·z=eiθz.
4) Le groupe sym´etrique Snop`ere sur l’ensemble {1, ..., n}.
5) Les groupes Gln(R), On(R), SOn(R)op`erent sur Rn.
6) Le groupe On(R) op`ere sur la sph`ere unit´e Sn={x∈Rn/kxk= 1}.
6.2. Orbites.
D´efinition :
1

Soit Eun ensemble et Gun groupe op´erant sur E. Soit x∈E. On appelle
orbite de xl’ensemble O(x) = {g·x/g ∈G}.
Proposition :
1) Soit xet ydeux ´el´ements de E:
y∈O(x)⇐⇒ x∈O(y)⇐⇒ O(x) = O(y).
2) Les orbites forment une partition de E.
D´emonstration :
1) Supposons que y∈O(x). Il existe g∈Gtel que y=g·x, d’o`u
g−1·y=g−1·(g·x)=(g−1g)·x=e·x=x.
Par cons´equent, x∈O(y).
De mˆeme, x∈O(y) =⇒y∈O(x).
De plus, y∈O(x) =⇒O(y)⊂O(x), d’o`u O(y) = O(x).
2) On d´efinit sur Ela relation
xRy⇐⇒ O(x) = O(y).
C’est ´evidemment une relation d’´equivalence. Les classes d’´equivalence sont
les orbites, qui forment donc une partition de E.
QED
Corollaire :
Soit E un G-ensemble fini et soit E’ un syst`eme de repr´esentants des orbites
pour l’op´eration de G. Alors
card(E) = X
x∈E0
card(O(x)).
Exemples :
1) Quand un groupe op`ere sur lui-mˆeme par multiplication `a gauche (ou par
multiplication inverse `a droite), il y a une seule orbite.
2) Quand un groupe op`ere sur lui-mˆeme par conjugaison, les orbites sont les
classes de conjugaison.
3) Soit Gun groupe et Hun sous-groupe de G:
Hop`ere sur G`a gauche : h·g=hg. L’orbite de g∈Gest la classe `a droite
Hg.
De mˆeme, Hop`ere sur G`a droite : h·g=gh−1. L’orbite de g∈Gest la
classe `a gauche gH.
6.3. Stabilisateurs. Formule des classes.
D´efinition : Soit Gun groupe et Eun G-ensemble. Soit x∈E.On
appelle stabilisateur de xl’ensemble
St(x) = {g∈G/g ·x=x}
2

Proposition :
Pour tout x∈E,St(x)est un sous-groupe de G.
D´emonstration : exercice.
Th´eor`eme :
Soit G un groupe et E un G-ensemble. Soit x∈E, et g, g0 ∈ E. Alors :
1) g·x=g0·x⇐⇒ gSt(x) = g0St(x).
2) Il existe une bijection entre O(x)et G/St(x).
En particulier, Si G est fini, alors
cardO(x)=[G:St(x)].
D´emonstration :
1) Supposons que g·x=g0·x. Soit h∈St(x).Alors (gh)·x=g·x=g0·x,
donc (g0−1gh)·x=x, d’o`u g0−1gh ∈St(x) et gh ∈g0St(x). On en d´eduit que
gSt(x)⊂g0St(x).
De mˆeme, g0St(x)⊂gSt(x).
R´eciproquement, supposons que gSt(x) = g0St(x). Alors g∈g0St(x) et il
existe h∈g0St(x) tel que g=g0h. Par cons´equent, g·x= (g0h)·x=g0·(h·x) =
g0·x.
2) On pose
F:O(x)→G/St(x)
g·x7−→ gSt(x)
D’apr`es 1) l’application Fest bien d´efinie et est injective. Elle est ´evidemment
surjective.
QED
Corollaire (Formule des classes) :
Soit G un groupe op´erant sur un ensemble fini E. Soit {x1, ..., xn}un
syst`eme de repr´esentants des orbites. Alors
card(E) =
n
X
i=1
[G:St(xi)].
D´efinition :
Soit G un groupe et E et F deux G-ensembles. Soit f:E→Fune
application. On dit que f est un morphismes de G-ensembles si,
∀g∈G, ∀x∈E,f(g·x) = g·f(x).
Exemple : L’application F:O(x)→G/St(x) d´ecrite dans la d´emonstration
du th´eor`eme ci-dessus est un morphisme de G-ensembles.
3

Proposition :
Soit Gun groupe op´erant sur un ensemble E. Alors cette op´eration induit
un homomorphisme de groupes de Gdans le groupe S(E)des bijections de E.
D´emonstration :
Pour tout g∈G, soit σg:E→El’application d´efinie par σg(x) = g·x.
Cette application est bijective puisqu’elle poss`ede pour application r´eciproque
σg−1.
L’application g7−→ σgest clairement un homomorphisme de groupes.
QED
Corollaire (Th´eor`eme de Cayley) :
Soit Gun groupe de cardinal n. Alors Gest isomorphe `a un sous-groupe de
Sn.
D´emonstration :
On fait op´erer Gsur lui-mˆeme `a gauche :
G×G→G
(g, x)7−→ g·x=gx
L’homomorphisme g7−→ σgest injectif et, comme Gest d’ordre n,S(G) est
isomorphe `a Sn.
QED
Op´eration fid`ele :
Si l’homomorphisme G→S(E) est injectif, on dit que Gop`ere fid`element
sur E.
Op´eration transitive :
On dit que Gop`ere transitivement sur Es’il y a une seule orbite.
Points fixes :
Soit Gun groupe et Eun G-ensemble. On pose
EG={x∈E/∀g∈G, g ·x=x}.
Proposition :
Soit pun nombre premier. Soit Gun p-groupe op´erant sur un ensemble fini
E. Alors
|E| ≡ EG(modp).
D´emonstration :
4

Soit O(x1), ..., O(xn) les orbites de cardinal sup´erieur ou ´egal `a 2.
|E|=EG+
n
X
i=1
|O(xi)|.
Comme |O(xi)|>1, |O(xi)|= [G:St(xi)] est une puissance positive de p.
QED
Th´eor`eme :
Soit pun nombre premier. Le centre d’un p-groupe n’est jamais trivial.
D´emonstration :
On fait op´erer Gsur lui-mˆeme par conjugaison :
G×G→G
(g, x)7−→ gxg−1
L’ensemble des points fixes est GG=Z(G), le centre de G. D’apr`es la
proposition pr´ec´edente,
|Z(G)| ≡ |G| ≡ 0 (modp).
Comme eG∈Z(G), on a |Z(G)| ≥ 1, donc pdivise l’ordre de Z(G).
QED
Lemme :
Soit Gun groupe tel que G/Z(G)est cyclique. Alors Gest ab´elien.
D´emonstration :
Notons Z=Z(G). Il existe h∈Gtel que G/Z(G) =< hZ >. Pour tout
g∈G, il existe un entier ntel que g∈(hZ)n=hnZ. Il existe donc z∈Ztel
que g=hnz.
Soit g=hnzet g0=hn0z0deux ´el´ements de G.
gg0=hnzhn0z0=hn+n0zz0=hn+n0z0z=hn0z0hnz=g0g.
QED
Proposition :
Soit pun nombre premier. Tout groupe d’ordre p2est ab´elien.
D´emonstration :
Soit Gun groupe d’ordre p2. Le centre Z(G) est un sous-groupe distingu´e
de G, qui n’est pas trivial d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent. Par cons´equent, le
cardinal de Z(G) est ´egal `a pou `a p2.
Supposons que Gn’est pas ab´elien, c’est-`a-dire que le cardinal de Z(G) est
´egal `a p. Alors le groupe G/Z(G) est d’ordre p, donc cyclique. D’apr`es le lemme,
Gserait alors ab´elien, une contradiction.
Par cons´equent, Gest ab´elien.
QED
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