Cours - Centre de Physique Théorique

Dynamique des syst` emes 1
Mai 
Ch. Duval 2
Figure 1 – Astronomia Nova (Kepler,)
1. Unit´e d’Enseignement PHY1 des Licences “Physique, Chimie” et “Informatique et
Math´ematiques” — UFR Sciences de Luminy
2. D´epartement de Physique, Universit´e de la M´editerran´ee & CPT-CNRS, Luminy,
Case 907, F–13288 Marseille, Cedex 9, FRANCE ; mailto : duv[email protected]

ii

Table des mati`eres
Pr´eface ix
0.1 Euclide (∼III-`eme si`ecle avant J.-C.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
0.2 Aristote (∼-385/-322) ......................... x
0.3 Galil´ee(1564–1642)............................ x
0.3.1 Chutelibre ............................ xi
0.3.2 Principe de l’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
0.4 Kepler(1571–1630)............................ xv
0.4.1 L’ellipse .............................. xv
0.4.2 Les trois lois de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi
0.4.3 Le syst`eme solaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
0.5 Newton (1642–1727) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
0.5.1 Principe fondamental de la dynamique . . . . . . . . . . . . . xix
0.5.2 Terre&Soleil........................... xx
0.6 Lagrange (1736–1813) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi
0.7 Einstein (1879–1955) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi
0.7.1 Relativit´e restreinte (1905) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi
0.7.2 Relativit´e g´en´erale (1915) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiii
1 Cin´ematique 1
1.1 G´eom´etrie euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 L’espace R3............................ 1
1.1.2 Produitscalaire.......................... 2
1.1.3 Angle de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.5 Produit vectoriel et ´el´ement de surface . . . . . . . . . . . . . 7
iii

iv TABLE DES MATI ` ERES
1.1.6 L’espace euclidien affine de dimension 3 . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.7 Coordonn´ees polaires planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Cin´ematique dans l’espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Courbes de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Exemple : courbure & torsion de l’h´elice circulaire . . . . . . . 25
1.3 Cin´ematique dans l’espace-temps galil´een . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.1 L’espace-temps .......................... 28
1.3.2 Lignesd’univers.......................... 30
1.3.3 Groupe de Galil´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.4 Exemples de changements de r´ef´erentiels . . . . . . . . . . . . 38
2 Equations diff´erentielles par l’exemple 41
2.1 Equations affines du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.1 Solution g´en´erale de l’´equation homog`ene . . . . . . . . . . . . 41
2.1.2 Solution g´en´erale de l’´equation avec second membre . . . . . . 42
2.1.3 Exemples ............................. 43
2.2 Equations affines du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.1 R´esolution g´en´erale de l’´equation homog`ene . . . . . . . . . . 47
2.2.2 R´esolution g´en´erale de l’´equation avec second membre . . . . . 48
2.2.3 Exemples ............................. 49
3 Principes de la dynamique newtonienne 55
3.1 Les trois lois de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.1 NI: Principe de l’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.2 NII : Principe fondamental de la dynamique . . . . . . . . . . 56
3.1.3 NIII : Loi de l’action & de la r´eaction . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.4 Analyse des lois de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2 Exemples ................................. 58
3.2.1 Force de gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.2 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.3 Forces de frottement visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.4 Forces de frottement solide-solide . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.5 Forces inertielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

TABLE DES MATI ` ERES v
4 Forces & lois de conservation 67
4.1 Calcul diff´erentiel vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.1 Rappel sur les d´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.2 D´eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1.3 Gradient.............................. 69
4.1.4 Rotationnel ............................ 70
4.1.5 Divergence............................. 71
4.2 Travail & forces conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.1 Pr´elude : saut `a la perche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.2 Travail............................... 72
4.3 Loi de conservation de l’´energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4 Loi de conservation du moment angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4.1 Champ de forces central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4.2 Vitesse ar´eolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.4.3 Loidesaires............................ 83
5 Analyse dimensionnelle 87
5.1 Unit´es fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2 Exercices.................................. 88
6 Th´eor`emes g´en´eraux et lois de conservation galil´eennes 91
6.1 Th´eor`emes g´en´eraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.1.1 Forces int´erieures & forces ext´erieures . . . . . . . . . . . . . . 91
6.1.2 Th´eor`emes g´en´eraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.2 Onze moments galil´eens des syst`emes isol´es . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2.1 Conservation de l’impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2.2 Conservation du moment angulaire . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2.3 Conservation du passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2.4 Conservation de l’´energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2.5 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.2.6 Loi de transformation des moments galil´eens . . . . . . . . . . 101
6.3 Exemples .................................102
6.3.1 Feud’artifice ...........................102