MECA0003-2 - Modélisation et Méthodes Mathématiques

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Janvier 2012
MECA0003-2 - M ÉCANIQUE R ATIONNELLE
Prof. Éric J.M.DELHEZ
E RREURS
FR ÉQUENTES
Question I
Retrouvant une fois de plus une canette de bière devant chez lui (Cf. épisode de janvier 2011), un
éminent professeur de la Faculté des Sciences Appliquées shoote de toutes ses forces dans celle-ci en lui
communiquant une vitesse V dans le plan horizontal local. On assimile la canette à un point matériel de
masse m et la Terre à une sphère parfaite de rayon R (sans aucun obstacle, ni relief) de sorte que la force
qu’elle exerce sur tout objet de masse m est dirigée vers son centre et donnée par
F = −mµr−2 er
où µ désigne une constante strictement positive, r est la distance au centre de la Terre et er est le vecteur
unitaire dirigé du centre de la Terre vers l’objet considéré. On néglige la vitesse de rotation de la Terre
ainsi que le frottement de l’air sur la canette.
i. Écrivez l’équation différentielle vectorielle du mouvement de la canette par rapport au centre de la
Terre.
Déjà écrire l’accélération en coordonnées polaires alors que l’on n’a pas encore démontré que le
mouvement est plan.
ii. Montrez que le mouvement de la canette est plan.
• Utiliser l’expression de la vitesse et/ou de l’accélération en coordonnées polaires pour
démontrer que le mouvement est plan.
• Croire que le plan en question est horizontal.
iii. Déterminez deux intégrales premières scalaires du mouvement de la canette et précisez-en les
interprétations physiques éventuelles.
• Ne pas donner les interprétations.
• Ne pas déterminer les constantes.
• Ne pas bien interpréter les conditions initiales, par exemple croire que ṙ0 = V .
iv. Déterminez la vitesse minimale Vmin que le professeur doit communiquer à la canette pour que
celle-ci décolle du sol ainsi que la vitesse maximale Vmax pour que la canette soit satellisée (animée
d’un mouvement borné autour de la Terre).
• Ne pas savoir dessiner le diagramme de potentiel.
• Représenter aussi la fonction potentielle pour les valeurs négatives de r.
• Confondre décollage et possibilité de mouvement.
v. Dans le cas où Vmin < V < Vmax , montrez que la distance maximale par rapport au centre de la
Terre atteinte pas la canette est donnée par
R2V 2
2µ − RV 2
• Ne pas savoir résoudre une équation du second degré.
• Ne pas reconnaı̂tre dans la deuxième solution de cette équation la position initiale.
r
3µ
(soit à peu près 10 km/s...).
vi. Déterminez l’équation de la trajectoire de la canette si V =
2R
À quelle altitude la canette repassera-t-elle à l’aplomb de son point de départ ?
• Ne pas se rendre compte que l’équation différentielle du second ordre est plus facile à résoudre
que celle du premier ordre.
• Ne pas savoir résoudre une équation différentielle linéaire à coefficients constants.
• Ne pas déterminer les constantes dans l’équation de la trajectoire.
• Confondre équation de la trajectoire et équation différentielle de la trajectoire.
• Ne pas savoir que la trajectoire attendue est une ellipse.
• Confondre altitude et distance au centre de la Terre.
Question II
b
Afin d’évaluer les forces agissant sur les articulations du professeur lorsqu’il shoote dans la canette,
on étudie le mouvement du bas de la jambe au cours du shoot, en supposant que le genou O reste fixe. On
modélise la partie comprise en-dessous du genou par une barre homogène d’épaisseur négligeable, de
longueur 2ℓ et de masse 2m augmentée d’une masse ponctuelle m rigidement attachée en son extrémité
libre et représentant le pied P (voir figure de gauche ci-dessous).
Au moment où le pied touche la canette, le bas de la jambe est parfaitement vertical et animé d’une
vitesse de rotation ω0 autour du genou O. L’impact de la canette sur le pied est représenté par une force
N(t) perpendiculaire à la jambe qui s’exerce pendant un très court instant. On considère que le bas de la
jambe pivote librement et sans frottement autour du genou. Le mouvement est plan.
O′
Ω
O
O
b
b
b
P
P
• Ne pas faire de dessin.
• Ne pas bien orienter le repère lié à la jambe. Pour rappel, l’angle θ doit être mesuré à partir
d’une direction fixe jusqu’au vecteur er . Le vecteur eθ se trouve alors 90˚ plus loin que er dans la
direction des θ croissants qui doit être indiquée par une flèche.
i. Déterminez la position du centre d’inertie du système constitué du bas de la jambe et du pied et
calculez le tenseur d’inertie de ce système par rapport à O.
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• Oublier le point P.
• Calculer le tenseur par rapport à C au lieu de la faire par rapport à O.
• Croire que le système étudié est équivalent à un solide homogène de masse 3m et de longueur
2ℓ.
• Mélanger tenseurs, vecteurs et scalaires et obtenir des expressions qui n’ont aucun sens
mathématique.
• Obtenir une expression dimensionnellement fausse et ne pas s’en rendre compte.
ii. Relevez toutes les forces agissant sur le système et citez-en les caractéristiques principales (point
d’application, direction, force appliquée ou force de liaison, force conservative).
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Oublier la force de liaison en O qui est pourtant demandée au point vii.
Oublier la force N.
Oublier le poids du pied.
Croire que la force N est conservative.
Croire que l’absence de frottement au niveau du genou implique que la force de liaison en ce
point est horizontale (alors que cela indique juste l’absence d’un couple de réaction).
iii. Déterminez le nombre de degrés de liberté du système et introduisez la (les) coordonnée(s)
généralisée(s) appropriée(s) pour en étudier le mouvement.
Ne pas parler du pied.
iv. Écrivez le théorème de la quantité de mouvement du système en explicitant tous les termes.
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Oublier l’une ou l’autre force.
Ne pas souligner les vecteurs.
Utiliser une masse m au lieu de 3m dans la quantité de mouvement et/ou la pesanteur.
Ne pas savoir dériver la quantité de mouvement ou oublier de le faire.
Croire que θ̇ = ω0 durant tout le mouvement.
v. Écrivez le théorème du moment cinétique du système par rapport à un système d’axes inertiaux
centré en O. Explicitez tous les termes.
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Oublier l’une ou l’autre force.
Ne pas souligner les vecteurs.
Ne pas savoir calculer le moment cinétique.
Ne pas savoir dériver le moment cinétique ou oublier de le faire.
Ne pas savoir calculer le moment d’une force, en particulier inverser les termes dans le produit
vectoriel.
• Être incapable de calculer un produit vectoriel.
• Croire que θ̇ = ω0 durant tout le mouvement.
vi. Écrivez le théorème de l’énergie cinétique du système par rapport à un système d’axes inertiaux
centré en O. Explicitez tous les termes.
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Oublier l’une ou l’autre force.
Croire que l’énergie cinétique et la puissance sont des vecteurs.
Ne pas savoir calculer l’énergie cinétique.
Ne pas savoir dériver l’énergie cinétique ou oublier de le faire.
Ne pas savoir calculer la puissance d’une force, en particulier, utiliser le vecteur position au
lieu de la vitesse ou la même vitesse pour toutes les forces, malgré les points d’application
différents.
• Être incapable de calculer correctement un produit scalaire.
• Calculez une puissance nulle pour N et obtenir l’intégrale première de conservation de
l’énergie.
• En cas d’erreur, ne pas s’étonner de ne pas retrouver la même équation qu’au point v.
vii. Déterminez, en fonction de N = kNk, l’expression de la force à laquelle est soumis le genou au
moment précis du shoot.
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• Croire qu’au moment de l’impact, θ̈ = 0 puisque θ̇ = ω0 .
• Essayer d’obtenir θ̇ en intégrant l’expression de θ̈ avec N considérée comme constante.
• Introduire n’importe comment la force de liaison en O à ce moment parce qu’on ne l’avait pas
considérée au départ.
• Obtenir une expression dimensionnellement fausse pour la force et ne pas s’en rendre compte.
Pour plus de réalisme, on considère dans un deuxième temps que la cuisse est également en
mouvement au cours du shoot (voir figure de droite ci-dessus). La modélisation du bas de la jambe
est inchangée. On suppose que le mouvement de la cuisse n’est pas influencé par le shoot et que celle-ci
tourne à la vitesse angulaire constante Ω autour d’un point fixe O′ du bassin situé à la distance L de O.
viii. Sous ces nouvelles hypothèses, écrivez les équations permettant de décrire le mouvement du
système constitué par le bas de la jambe et le pied et d’obtenir l’expression de la force à laquelle est
soumis le genou au moment du shoot. (Ne déterminez pas l’expression de cette force en fonction
de N.)
• Indiquer un angle θ absolu sur son dessin (mesuré par rapport à une direction fixe) et le considérer
comme relatif dans le calcul des vitesses (et inversement).
• Écrire les théorèmes au point O qui n’est pas fixe.
• Utiliser le théorème de transport pour obtenir le tenseur d’inertie en O′ à partir de celui en O.
• Croire qu’il faut étudier aussi le mouvement de la cuisse.
• Introduire une force au niveau du bassin ainsi que −RO en plus de RO .
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