MECA0003-2 - Modélisation et Méthodes Mathématiques

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Prof. ´ Eric J.M.DELHEZ
MECA0003-2 - M´ ECANIQUE RATIONNELLE
Janvier 2012
ERREURS FR´ EQUENTES
Question I
Retrouvant une fois de plus une canette de bi`ere devant chez lui (Cf. ´episode de janvier 2011), un
´eminent professeur de la Facult´e des Sciences Appliqu´ees shoote de toutes ses forces dans celle-ci en lui
communiquant une vitesse Vdans le plan horizontal local. On assimile la canette `a un point mat´eriel de
masse met la Terre `a une sph`ere parfaite de rayon R(sans aucun obstacle, ni relief) de sorte que la force
qu’elle exerce sur tout objet de masse mest dirig´ee vers son centre et donn´ee par
F=−mµr−2er
o`u µd´esigne une constante strictement positive, rest la distance au centre de la Terre et erest le vecteur
unitaire dirig´e du centre de la Terre vers l’objet consid´er´e. On n´eglige la vitesse de rotation de la Terre
ainsi que le frottement de l’air sur la canette.
i. ´ Ecrivez l’´equation diff´erentielle vectorielle du mouvement de la canette par rapport au centre de la
Terre.
D´ ej` a´ ecrire l’acc´ el´ eration en coordonn´ ees polaires alors que l’on n’a pas encore d´ emontr´ e que le
mouvement est plan.
ii. Montrez que le mouvement de la canette est plan.
•Utiliser l’expression de la vitesse et/ou de l’acc´ el´ eration en coordonn´ ees polaires pour
d´ emontrer que le mouvement est plan.
•Croire que le plan en question est horizontal.
iii. D´eterminez deux int´egrales premi`eres scalaires du mouvement de la canette et pr´ecisez-en les
interpr´etations physiques ´eventuelles.
•Ne pas donner les interpr´ etations.
•Ne pas d´ eterminer les constantes.
•Ne pas bien interpr´ eter les conditions initiales, par exemple croire que ˙r0=V.
iv. D´eterminez la vitesse minimale Vmin que le professeur doit communiquer `a la canette pour que
celle-ci d´ecolle du sol ainsi que la vitesse maximaleVmax pour que la canette soit satellis´ee (anim´ee
d’un mouvement born´e autour de la Terre).
•Ne pas savoir dessiner le diagramme de potentiel.
•Repr´ esenter aussi la fonction potentielle pour les valeurs n´ egatives de r.
•Confondre d´ ecollage et possibilit´ e de mouvement.
v. Dans le cas o`u Vmin <V<Vmax, montrez que la distance maximale par rapport au centre de la
Terre atteinte pas la canette est donn´ee par
R2V2
2µ−RV2

•Ne pas savoir r´ esoudre une ´ equation du second degr´ e.
•Ne pas reconnaˆ ıtre dans la deuxi` eme solution de cette ´ equation la position initiale.
vi. D´eterminez l’´equation de la trajectoire de la canette si V=r3µ
2R(soit `a peu pr`es 10 km/s...).
`
A quelle altitude la canette repassera-t-elle `a l’aplomb de son point de d´epart ?
•Ne pas se rendre compte que l’´ equation diff´ erentielle du second ordre est plus facile ` a r´ esoudre
que celle du premier ordre.
•Ne pas savoir r´ esoudre une ´ equation diff´ erentielle lin´ eaire ` a coefficients constants.
•Ne pas d´ eterminer les constantes dans l’´ equation de la trajectoire.
•Confondre ´ equation de la trajectoire et ´ equation diff´ erentielle de la trajectoire.
•Ne pas savoir que la trajectoire attendue est une ellipse.
•Confondre altitude et distance au centre de la Terre.
Question II
Afin d’´evaluer les forces agissant sur les articulations du professeur lorsqu’il shoote dans la canette,
on ´etudie le mouvement du bas de la jambe au cours du shoot, en supposant que le genou O reste fixe. On
mod´elise la partie comprise en-dessous du genou par une barre homog`ene d’´epaisseur n´egligeable, de
longueur 2ℓet de masse 2maugment´ee d’une masse ponctuelle mrigidement attach´ee en son extr´emit´e
libre et repr´esentant le pied P (voir figure de gauche ci-dessous).
Au moment o`u le pied touche la canette, le bas de la jambe est parfaitement vertical et anim´e d’une
vitesse de rotation ω0autour du genou O. L’impact de la canette sur le pied est repr´esent´e par une force
N(t)perpendiculaire `a la jambe qui s’exerce pendant un tr`es court instant. On consid`ere que le bas de la
jambe pivote librement et sans frottement autour du genou. Le mouvement est plan.
O
P
O
O′
Ω
P
•Ne pas faire de dessin.
•Ne pas bien orienter le rep` ere li´ e` a la jambe. Pour rappel, l’angle θdoit ˆ etre mesur´ e` a partir
d’une direction fixe jusqu’au vecteur er. Le vecteur eθse trouve alors 90˚ plus loin que erdans la
direction des θcroissants qui doit ˆ etre indiqu´ ee par une fl` eche.
i. D´eterminez la position du centre d’inertie du syst`eme constitu´e du bas de la jambe et du pied et
calculez le tenseur d’inertie de ce syst`eme par rapport `a O.
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•Oublier le point P.
•Calculer le tenseur par rapport ` aCau lieu de la faire par rapport ` aO.
•Croire que le syst` eme ´ etudi´ e est ´ equivalent ` a un solide homog` ene de masse 3m et de longueur
2ℓ.
•M´ elanger tenseurs, vecteurs et scalaires et obtenir des expressions qui n’ont aucun sens
math´ ematique.
•Obtenir une expression dimensionnellement fausse et ne pas s’en rendre compte.
ii. Relevez toutes les forces agissant sur le syst`eme et citez-en les caract´eristiques principales (point
d’application, direction, force appliqu´ee ou force de liaison, force conservative).
•Oublier la force de liaison en Oqui est pourtant demand´ ee au point vii.
•Oublier la force N.
•Oublier le poids du pied.
•Croire que la force Nest conservative.
•Croire que l’absence de frottement au niveau du genou implique que la force de liaison en ce
point est horizontale (alors que cela indique juste l’absence d’un couple de r´ eaction).
iii. D´eterminez le nombre de degr´es de libert´e du syst`eme et introduisez la (les) coordonn´ee(s)
g´en´eralis´ee(s) appropri´ee(s) pour en ´etudier le mouvement.
Ne pas parler du pied.
iv. ´ Ecrivez le th´eor`eme de la quantit´e de mouvement du syst`eme en explicitant tous les termes.
•Oublier l’une ou l’autre force.
•Ne pas souligner les vecteurs.
•Utiliser une masse m au lieu de 3m dans la quantit´ e de mouvement et/ou la pesanteur.
•Ne pas savoir d´ eriver la quantit´ e de mouvement ou oublier de le faire.
•Croire que ˙ θ=ω0durant tout le mouvement.
v. ´ Ecrivez le th´eor`eme du moment cin´etique du syst`eme par rapport `a un syst`eme d’axes inertiaux
centr´e en O. Explicitez tous les termes.
•Oublier l’une ou l’autre force.
•Ne pas souligner les vecteurs.
•Ne pas savoir calculer le moment cin´ etique.
•Ne pas savoir d´ eriver le moment cin´ etique ou oublier de le faire.
•Ne pas savoir calculer le moment d’une force, en particulier inverser les termes dans le produit
vectoriel.
•ˆ Etre incapable de calculer un produit vectoriel.
•Croire que ˙ θ=ω0durant tout le mouvement.
vi. ´ Ecrivez le th´eor`eme de l’´energie cin´etique du syst`eme par rapport `a un syst`eme d’axes inertiaux
centr´e en O. Explicitez tous les termes.
•Oublier l’une ou l’autre force.
•Croire que l’´ energie cin´ etique et la puissance sont des vecteurs.
•Ne pas savoir calculer l’´ energie cin´ etique.
•Ne pas savoir d´ eriver l’´ energie cin´ etique ou oublier de le faire.
•Ne pas savoir calculer la puissance d’une force, en particulier, utiliser le vecteur position au
lieu de la vitesse ou la mˆ eme vitesse pour toutes les forces, malgr´ e les points d’application
diff´ erents.
•ˆ Etre incapable de calculer correctement un produit scalaire.
•Calculez une puissance nulle pour Net obtenir l’int´ egrale premi` ere de conservation de
l’´ energie.
•En cas d’erreur, ne pas s’´ etonner de ne pas retrouver la mˆ eme ´ equation qu’au point v.
vii. D´eterminez, en fonction de N=kNk, l’expression de la force `a laquelle est soumis le genou au
moment pr´ecis du shoot.
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•Croire qu’au moment de l’impact, ¨ θ=0puisque ˙ θ=ω0.
•Essayer d’obtenir ˙ θen int´ egrant l’expression de ¨ θavec N consid´ er´ ee comme constante.
•Introduire n’importe comment la force de liaison en O` a ce moment parce qu’on ne l’avait pas
consid´ er´ ee au d´ epart.
•Obtenir une expression dimensionnellement fausse pour la force et ne pas s’en rendre compte.
Pour plus de r´ealisme, on consid`ere dans un deuxi`eme temps que la cuisse est ´egalement en
mouvement au cours du shoot (voir figure de droite ci-dessus). La mod´elisation du bas de la jambe
est inchang´ee. On suppose que le mouvement de la cuisse n’est pas influenc´e par le shoot et que celle-ci
tourne `a la vitesse angulaire constante Ωautour d’un point fixe O′du bassin situ´e `a la distance Lde O.
viii. Sous ces nouvelles hypoth`eses, ´ecrivez les ´equations permettant de d´ecrire le mouvement du
syst`eme constitu´e par le bas de la jambe et le pied et d’obtenir l’expression de la force `a laquelle est
soumis le genou au moment du shoot. (Ne d´eterminez pas l’expression de cette force en fonction
de N.)
•Indiquer un angle θabsolu sur son dessin (mesur´ e par rapport ` a une direction fixe) et le consid´ erer
comme relatif dans le calcul des vitesses (et inversement).
•´ Ecrire les th´ eor` emes au point Oqui n’est pas fixe.
•Utiliser le th´ eor` eme de transport pour obtenir le tenseur d’inertie en O′` a partir de celui en O.
•Croire qu’il faut ´ etudier aussi le mouvement de la cuisse.
•Introduire une force au niveau du bassin ainsi que −ROen plus de RO.
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