introduction aux chaînes de markov

INTRODUCTION AUX CHAÎNES DE MARKOV
L3 Génie Biologique et Informatique – Second semestre 2013-2014
MIKAEL FALCONNET
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Table des matières
1 Probabilités sur un ensemble fini ou dénombrable 5
1.1 Univers, évènements et mesures de probabilité . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Variables aléatoires, espérance, variance . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Probabilités conditionnelles, indépendance . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Tp no1 chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1 Échauffement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2 Fiction immunitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Loi faible des grands nombres 15
2.1 Loi des grands nombres pour un pile ou face. . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Méthode de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Tp no2 chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 Marches aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2 Calcul approché de πpar des méthodes probabilistes . . . . 22
3 Chaînes de Markov à temps discret et espace d’états fini ou dénombrable 23
3.1 Exemples conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Définition et propriété de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Loi de Xn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4 Décomposition en classes de communication . . . . . . . . . . . . . 29
3.5 Théorèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.6 Récurrence, transience at autres démonstrations . . . . . . . . . . . 33
3.7 Tp no3 chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7.1 Le modèle simple de Wright-Fisher . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7.2 Prise en compte des mutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
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A Corrigés des exercices 43
B Corrigés des Tp 69
C Interrogations et DS 91
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Chapitre 1
Probabilités sur un ensemble fini
ou dénombrable
1.1 Univers, évènements et mesures de probabilité
On convient de représenter une expérience aléatoire E , c’est à dire une expérience
dont l’issue est soumise au hasard, par l’ensemble Ω de tous les résultats possibles
à cette expérience. Cet ensemble est appelé univers,espace des possibles ou encore
espace d’états. Un résultat possible de l’expérience Eest classiquement noté ω.
Exemple I (Quelques exemples d’univers).
- L’univers pour le jeu de pile ou face est Ω={P,F}.
- L’univers pour le jeu de pile ou face répété deux fois est
Ω={(P,P),(P,F),(F,P),(F,F)}.
- L’univers pour la durée de vie d’une ampoule électrique est Ω=[0,+∞[.
Un évènement aléatoire A lié à l’expérience E est un sous-ensemble de Ω dont
on peut dire au vu de l’expérience s’il est réalisé ou non.
Exemple II (Quelques exemples d’évènements).
- « Obtenir pile » lors d’un jeu de pile ou face.
- « Obtenir au moins un pile » lors de plusieurs lancers de pièce.
- « L’ampoule survit plus de 200 heures » lors de la durée de vie d’une ampoule
électrique.
Les évènements aléatoires étant des ensembles, nous allons rapidement rappe-
ler les opérations élémentaires sur les ensembles afin de décrire la réalisation
d’évènements.
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