Formule

1
Solvay Business School
Université Libre de Bruxelles
FLOP Finance – Formules utiles
DESG 2007
André Farber
Mai 2007
Chapitre 1 : Fondements - avenir certain
VA(C1 ) = C1 /(1 + r ) = C1 × v1
VAN = − I + C1 × v1
V = A+ D
A = DIV1 /(1 + r )
TRI ≡ (C1 − I ) / I
A > FP ⇔ VAN > 0 ⇔ TRI > r
Valeur actuelle
Valeur actuelle nette
Valeur de l’entreprise
Valeur des actions
Taux de rentabilité interne
Création de valeur :
Chapitre 2 : Fondements – avenir incertain (2 états, b et m)
Zéro-coupon unitaire
v1 = 1/(1 + rf )
Action : cash flow attendu
Action : rentabilité attendue
Titres contingents :
CFA1 = p × CFA1b + (1 − p ) × CFA1m
r = (CFA1 − a) / a
Solution de :
v1 = 1× v1b + 1× v1m
a = CFA1b × v1b + CFA1m × v1m
Solution (voir p. 97)
u = CFA1b / a, d = CFA1m / a
(Attention autres notations)
v1b = (1 − d × v1 ) /(u − d )
v1m = (u × v1 − 1) /(u − d )
Valeur actuelle
VAN = − I + C1b × v1b + C1m × v1m
Chapitre 3 : Relation risque – rentabilité attendue
Eléments de statistiques
Rentabilité aléatoire R
Valeurs possibles
Probabilités
Rentabilité attendue
R1, R2,…,Rn
p1, p2,…,pn
( p1 + p2 + ... + pn = 1 )
E ( R) = r = p1 R1 + p2 R2 + ... + pn Rn
σ 2 = E ( R − r )2 = E ( R 2 ) − r 2
Variance
Ecart type
Rentabilités aléatoires RA, RB
Covariance
Corrélation :
Loi normale : R ∼ N ( r , σ )
σ = σ2
B
σ AB = E[( RA − rA )( RB − rB )] NB:σ AA = σ A2
ρ AB = σ AB /(σ Aσ B )
-1 ≤ ρ AB ≤ +1
2
Proba(r − 1σ ≤ R ≤ r + 1σ ) = 0.6826
Proba(r − 2σ ≤ R ≤ r + 2σ ) = 0.9544
Proba(r − 3σ ≤ R ≤ r + 3σ ) = 0.9972
Théorie du portefeuille
2 actifs risqués
Rentabilité attendue rP = x1r1 + x2 r2
σ P = x12σ 12 + x22σ 22 + 2 x1 x2σ 12
Ecart-type :
Décomposition de la variance :
σ P2 = x12σ12 + x22σ 22 + 2 x1x2σ12
= x1 ( x1σ12 + x2σ12 ) + x2 ( x2σ 22 + x1σ12 )
= x1σ1P + x2σ 2 P
1 actif risqué et 1 actif sans risque
Rentabilité attendue :
rP = rf + (rA − rf ) x
σ P = xσ A
( rA − rf ) / σ A
Ecart-type :
Ratio de Sharpe :
N actifs risqués
Rentabilité attendee
rP = ∑ x j r j
j
Variance σ P2 = ∑∑ x j xk σ jk = ∑ x jσ jP
j k
j
Le Médaf (alias CAPM)
Rentabilité attendue
rj = rf + ( rm − rf ) × β jm
β jM = σ jM / σ M2 = ρ jM × (σ j / σ M )
Définition du bêta
Chapitre 4 : Valorisation d’options
Valeurs à l’échéance :
Call : CT = Max(0, ST – X)
Put : PT = Max(0, X – ST)
C + VA(X) = S + P
Relation de parité put-call
Modèle binomial
Facteur d’actualisation
Titres contingents
Valeur de l’option
Proba risque neutres
Valeur de l’option
v = 1/(1 + rf Δt )
vu = (1 − vd ) /(u − d )
vd = (vu − 1) /(u − d )
V = vuVu + vdVd
p = (1/ v − d ) /(u − d )
V = v[ pVu + (1 − p )Vd ]
Chapitre 5 : Evaluation d’entreprises non endetteées
Formule générale de calcul de la valeur actuelle
Cash flows
C1, C2,…, CT
Facteur d’actualisation
vt = 1/(1 + r )t
3
VA = C1 × v1 + C2 × v2 + ... + CT × vT
Valeur actuelle
Formules simplificatrices de calcul de la valeur actuelle
VA = C / r
Rente constante
VA = C1 /(r − g )
Rente croissante à taux constant
Annuité constante
VA = (C / r )[1 − 1/(1 + r )T ]
Annuité croissante
VA = [C /( r − g ) ] × ⎡⎣1 − ((1 + g ) /(1 + r ))T ⎤⎦
Dividend Discount Model (DDM) / Gordon-Shapiro
DPA1 DPA2
( DPAT + PT )
+
+ ... +
P0 =
Valeur d’une action
2
(1 + r ) (1 + r )
(1 + r )T
Dividende croissant à un tauxconstant
P0 = DPA1 /(r − g )
Taux de croissance
g = RNI × (1 − d )
RNI = ΔBEN / INV
Condition de création de valeur
P0 = (d × BPA1 )[r − (1 − d ) RNI ] > BPA1 / r ⇔ RNI > r
Tableau de financement
Cash flow d’exploitation
CFexp = BEN + DAM − ΔBFR
CFinv = −ΔIMB
CF fin = ΔK + ΔD − DIV
Cash flow d’investissement
Cash flow de financement
Tableau de financement
CFexp + CFinv + CF fin = ΔDISP
Free Cash Flow Model (entreprise non endettée)
∞
Valeur de l’entreprise V0 = ∑ FCFt /(1 + r )t
t =1
Valeur des opportunités de croissance :
∞
VAOC0 = ∑ VAN (t ) /(1 + r )t
t =0
Décomposition du PER
PER = 1/ r + VAOC / BEN1
Chapitre 7 : Structure financière et coût du capital
Modigliani Miller (1958)
Proposition I :
Proposition II :
V = A + D = VU
CMPC = rActions × ( A / V ) + rDette × ( D / V ) = rActifs
rActions = rActifs + ( rActifs − rDette ) × ( D / A)
β Actions = β Actifs + ( β Actifs − β Dette ) × ( D / A)
Fiscalité et endettement
Formule générale
V = A + D = VU + VAFE
Miller Modigliani (1963) : perpétuité – dette constante
Hypothèses: ΔIMB = DAM & ∆BFR = 0 →FCFU = REXP(1-TIsoc)
Value de l’entreprise non endettée
VU = REXP (1 − TIsoc ) / rActifs
Value de l’économie fiscale
VAFE = TIsoc D
Valeur de l’entreprise endettée
V = A+ D = VU +VTS
Bêta actions
β Actions = β Actifs + ( β Actifs − β Dette )(1 − TIsoc )( D / A)
4
Coût des actions
rActions = rActifs + (rActifs − rDette )(1 − TIsoc )( D / A)
Coût moyen pondéré du capital
CMPC = rActions × ( A / V ) + rDette (1 − TIsoc ) × ( D / V )
CMPC = rActifs − rActifs × TIsoc × ( D / V )
Valeur de l’entreprise:
V = REXP(1 − TIsoc ) / CMPC
Chapitre 8 : Analyse de projets d’investissement
T
VAN = − I + ∑ Ct /(1 + r )t
Valeur actuelle nette :
t =1
Taux de rentabilité interne
Taux d’actualisation qui annule la VAN
T
− I + ∑ Ct /(1 + TRI )t = 0
t =1
Eléments d’analyse financière
Comptabilité
Bilan
Compte de résultats
Ratios financiers
Rentabilité financière (ROE)
Rentabilité économique (ROIC)
Effet de levier
IMN + BFR + DISP = FP + D
BEN = EBexp – DAM – Cfin - IMP
Rfin=BEN/FP
*
Reco
= RACFI /( FP + D )
*
*
R fin = Reco
+ ⎡⎣ Reco
− rDette (1 − TIsoc ) ⎤⎦ × ( D / FP )