TD 4. Probabilités et variables aléatoires finies - maths-df

Mathématiques - ECT 1ère année Lycée Claude Bernard - 2015/2016
Novembre 2015
TD 4. Probabilités et variables aléatoires finies.
Probabilités, conditionnement, indépendance
Exercice 1 . On truque un dé à 6faces de façon qu’il ait les propriétés suivantes :
(a) la probabilité de sortir un nombre pair est égale à la probabilité de sortir un nombre impair ;
(b) les nombres impairs sont équiprobables ;
(c) pour kentier, la probabilité de sortir le nombre 2kest proportionnelle à k.
Déterminer la probabilité de sortir chacune des faces.
Exercice 2 . Une boîte Icontient trois billes rouges et deux billes bleues et une boîte II contient deux
billes rouges et huit billes bleues. On lance une pièce (équilibrée) de monnaie. Si le résultat est « face », on
tire une bille de la boîte I; si le résultat est « pile », on tire une bille de la boîte II.
1. Quelle est la probabilité de tirer une bille rouge ?
2. Si on a tiré une bille rouge, quelle est la probabilité d’avoir eu le résultat « face » ?
Exercice 3 . Dans un hôpital, on utilise les médicaments A1,A2et A3pour traiter un certain type
d’eczéma avec les probabilités P(A1) = 3
8,P(A2) = 1 2et P(A3) = 1 8.
On a observé que, si on utilise A1, la probabilité de bonne efficacité est 0,8, d’efficacité moyenne 0,1et
d’efficacité nulle 0,1.
De même, on a observé que si on utilise A2(respectivement A3), la probabilité de bonne efficacité est 0,4
(respectivement 0,2) et d’efficacité moyenne 0,5(respectivement 0,4).
1. Quelle est la probabilité pour qu’un patient traité avec bonne efficacité l’ait été en ayant utilisé le
médicament A1?
2. Quelle est la probabilité pour qu’un patient traité avec efficacité nulle l’ait été en ayant utilisé le
médicament A3?
Exercice 4 . Soient A,Bet Ctrois parties formant une partition d’un univers Ω.
1. Écrire PA∪B(A)et PB∪C(B)en fonction de P(A)et P(B).
2. On suppose que :
PA∪B(A) = PB∪C(B) = 1
2.
Montrer que A,Bet Csont équiprobables.
Exercice 5 . On considère deux événements Aet Bd’un univers probabilisé (Ω,P).
1. On suppose que P(A) = 0,4et P(B) = 0,3.
Déterminer le meilleur encadrement possible de P(A∩B). Et si Aet Bsont indépendants ?
2. On suppose que Aet Bsont indépendants et que P(A∩B) = 0,14 et P(A∪B) = 0,76.
Déterminer P(A)et P(B).
Exercice 6 . Une maladie affecte 0,05% de la population. Un test Tpermet de dépister cette maladie
avec la fiabilité suivante :
— le test Test positif pour 99% des personnes affectées par la maladie ;
— le test Test négatif pour 95% des personnes non affectées par la maladie.
Calculer la probabilité pour qu’un individu ayant un test positif soit affecté par la maladie.

Variables aléatoires
Exercice 7 . On lance deux dés équilibrés et on note Xla moyenne des valeurs obtenues.
Donner la loi de probabilité de Xainsi que son espérance.
Exercice 8 . Un joueur lance deux dés équilibrés, il ajoute les résultats des deux dés.
1. Décrire un univers Ωassocié à cette expérience
2. Le joueur gagne 1 euro si cette somme est paire et perd 1 euro si la somme est impaire.
On note Xla variable aléatoire du gain du joueur.
Quelles valeurs peut prendre X? Déterminer la loi de X.
3. Calculer l’espérance de X. Le jeu est-il équilibré ?
Exercice 9 . On lance trois dés équilibrés et on note Yla plus grande des valeurs obtenues.
1. En utilisant sa fonction de répartition, donner la loi de probabilité de Y.
2. Calculer ensuite son espérance. On pourra utiliser la formule
n
X
k=1
k3= n
X
k=1
k!2
pour effectuer les
calculs « à la main ».
Exercice 10 . On dispose d’un espace probabilisé (Ω,P), avec Ω = {a, b, c, d, e, f}. On considère la
variable aléatoire Tdéfinie sur l’univers Ωpar T(a) = T(e) = 2 ; T(b) = 0 ; T(c) = −3 ; T(d) = −2et
T(f) = 1.
1. Expliciter les issues composant chacun des événements suivants :
(T= 2) ,(T=−3) ,(T=−1) ,(T60) ,(T>3) ,(T < 1) ∪(T>2).
2. En supposant que Pest la probabilité uniforme sur Ω, déterminer la loi de probabilité de T.
3. Calculer l’espérance de T.
Exercice 11 . Soit Xune variable aléatoire telle que X(Ω) = {3; 4; 5; 6}.
1. Déterminer la loi de Xsachant que P(X < 5) = 1
3;P(X > 5) = 1 2et P(X= 3) = P(X= 4).
2. Calculer l’espérance de X.
3. Déterminer et représenter graphiquement la fonction de répartition de X.
Exercice 12 . Sept jetons indiscernables au toucher et numérotés de 1 à 7 sont placés dans un sac.
On tire au hasard et simultanément 2 jetons de ce sac.
On désigne par Ila variable aléatoire définie par le nombre de jetons impairs tirés.
1. Déterminer I(Ω).
2. Déterminer la loi de probabilité de I.
3. En déduire la loi de probabilité de la variable aléatoire Pqui donne le nombre de jetons pairs tirés.
4. Calculer l’espérance de chacune des variables aléatoires Iet P.
Exercice 13 . On lance 3 fois de suite une pièce truquée (la probabilité d’obtenir Pile à chaque lancer
est de 1
3) et on note Xla variable aléatoire du nombre de Pile obtenus au cours de 3 lancers.
1. Déterminer la loi de X, son espérance, puis sa fonction de répartition (en donner la représentation
graphique).
2. Faire de même si la probabilité d’obtenir Pile est maintenant 1
10.

Exercice 14 . Cinq boules indiscernables au toucher sont placées dans une urne. Deux sont blanches, et
trois sont noires.
On tire au hasard et successivement toutes les boules de l’urne, et on désigne par Rla variable aléatoire
donnant le rang de la première boule blanche tirée.
Déterminer la loi de probabilité et l’espérance de R.
Exercice 15 . Une urne contient 2 boules noires et 3 boules blanches.
On tire des boules de l’urne sans remise jusqu’à ce qu’il n’y ait plus qu’une seule couleur dans l’urne.
On note Xla variable aléatoire du nombre de boules tirées.
Déterminer la loi de X.
(On pourra s’aider d’un arbre pour représenter l’expérience.)
Exercice 16 . Soit Xune variable aléatoire dont la fonction de répartition est définie sur Rpar :
FX(x) = 
0si x < −1
1
3si −16x < 2
1
24 si 26x < 3
5
8si 36x < 6
1si 66x
Déterminer la loi de probabilité de X.
Exercice 17 . Soit Xune variable aléatoire telle que X(Ω) = {0,1,2,3}, et dont la loi de probabilité est
définie par :
P(X= 0) = P(X= 3) = 1
8et P(X= 1) = P(X= 2) = 3 8
1. Calculer son espérance E(X).
2. On définit les variables aléatoires Y= (X−1)(X−2) ;Z= 2X−1et W=1
X+ 1.
Donner leur loi de probabilité et calculer leur espérance.
Exercice 18 .
1. (a) Choisir une variable aléatoire à valeurs dans {0,1,2,3}en définissant sa loi de probabilité.
(b) Calculer l’espérance de Xpuis l’espérance de X2.
(c) Comparer EX2et E(X)2.
2. Pour tout réel t, on considère la variable aléatoire (1 + tX)2
(a) Justifier que l’espérance E(1 + tX)2est une expression polynomiale en tdu second degré.
(b) Quel est le signe de E(1 + tX)2? En utilisant un discriminant, en déduire l’inégalité
EX2>E(X)2.