TD 4. Probabilités et variables aléatoires finies - maths-df

Lycée Claude Bernard - 2015/2016
Mathématiques - ECT 1ère année
Novembre 2015
TD 4. Probabilités et variables aléatoires finies.
Probabilités, conditionnement, indépendance
Exercice 1 .
On truque un dé à 6 faces de façon qu’il ait les propriétés suivantes :
(a) la probabilité de sortir un nombre pair est égale à la probabilité de sortir un nombre impair ;
(b) les nombres impairs sont équiprobables ;
(c) pour k entier, la probabilité de sortir le nombre 2k est proportionnelle à k.
Déterminer la probabilité de sortir chacune des faces.
Exercice 2 .
Une boîte I contient trois billes rouges et deux billes bleues et une boîte II contient deux
billes rouges et huit billes bleues. On lance une pièce (équilibrée) de monnaie. Si le résultat est « face », on
tire une bille de la boîte I ; si le résultat est « pile », on tire une bille de la boîte II.
1. Quelle est la probabilité de tirer une bille rouge ?
2. Si on a tiré une bille rouge, quelle est la probabilité d’avoir eu le résultat « face » ?
Exercice 3 .
Dans un hôpital, on utilise les médicaments A1 , A2 et A3 pour traiter un certain type
d’eczéma avec les probabilités P(A1 ) = 83 , P(A2 ) = 12 et P(A3 ) = 81 .
On a observé que, si on utilise A1 , la probabilité de bonne efficacité est 0,8, d’efficacité moyenne 0,1 et
d’efficacité nulle 0,1.
De même, on a observé que si on utilise A2 (respectivement A3 ), la probabilité de bonne efficacité est 0,4
(respectivement 0,2) et d’efficacité moyenne 0,5 (respectivement 0,4).
1. Quelle est la probabilité pour qu’un patient traité avec bonne efficacité l’ait été en ayant utilisé le
médicament A1 ?
2. Quelle est la probabilité pour qu’un patient traité avec efficacité nulle l’ait été en ayant utilisé le
médicament A3 ?
Exercice 4 .
Soient A, B et C trois parties formant une partition d’un univers Ω.
1. Écrire PA∪B (A) et PB∪C (B) en fonction de P(A) et P(B).
2. On suppose que :
PA∪B (A) = PB∪C (B) =
1
.
2
Montrer que A, B et C sont équiprobables.
Exercice 5 .
On considère deux événements A et B d’un univers probabilisé (Ω, P).
1. On suppose que P(A) = 0,4 et P(B) = 0,3.
Déterminer le meilleur encadrement possible de P(A ∩ B). Et si A et B sont indépendants ?
2. On suppose que A et B sont indépendants et que P(A ∩ B) = 0,14 et P(A ∪ B) = 0,76.
Déterminer P(A) et P(B).
Exercice 6 .
Une maladie affecte 0,05% de la population. Un test T permet de dépister cette maladie
avec la fiabilité suivante :
— le test T est positif pour 99% des personnes affectées par la maladie ;
— le test T est négatif pour 95% des personnes non affectées par la maladie.
Calculer la probabilité pour qu’un individu ayant un test positif soit affecté par la maladie.
Variables aléatoires
Exercice 7 .
On lance deux dés équilibrés et on note X la moyenne des valeurs obtenues.
Donner la loi de probabilité de X ainsi que son espérance.
Exercice 8 .
Un joueur lance deux dés équilibrés, il ajoute les résultats des deux dés.
1. Décrire un univers Ω associé à cette expérience
2. Le joueur gagne 1 euro si cette somme est paire et perd 1 euro si la somme est impaire.
On note X la variable aléatoire du gain du joueur.
Quelles valeurs peut prendre X ? Déterminer la loi de X.
3. Calculer l’espérance de X. Le jeu est-il équilibré ?
Exercice 9 .
On lance trois dés équilibrés et on note Y la plus grande des valeurs obtenues.
1. En utilisant sa fonction de répartition, donner la loi de probabilité de Y .
2. Calculer ensuite son espérance. On pourra utiliser la formule
3
k =
k=1
calculs « à la main ».
Exercice 10 .
n
X
n
X
k=1
k
!2
pour effectuer les
On dispose d’un espace probabilisé (Ω, P), avec Ω = {a, b, c, d, e, f }. On considère la
variable aléatoire T définie sur l’univers Ω par T (a) = T (e) = 2 ; T (b) = 0 ; T (c) = −3 ; T (d) = −2 et
T (f ) = 1.
1. Expliciter les issues composant chacun des événements suivants :
(T = 2) , (T = −3) , (T = −1) , (T 6 0) , (T > 3) , (T < 1) ∪ (T > 2).
2. En supposant que P est la probabilité uniforme sur Ω, déterminer la loi de probabilité de T .
3. Calculer l’espérance de T .
Exercice 11 .
Soit X une variable aléatoire telle que X(Ω) = {3; 4; 5; 6}.
1. Déterminer la loi de X sachant que P(X < 5) =
2. Calculer l’espérance de X.
1
1
; P(X > 5) = et P(X = 3) = P(X = 4).
3
2
3. Déterminer et représenter graphiquement la fonction de répartition de X.
Exercice 12 .
Sept jetons indiscernables au toucher et numérotés de 1 à 7 sont placés dans un sac.
On tire au hasard et simultanément 2 jetons de ce sac.
On désigne par I la variable aléatoire définie par le nombre de jetons impairs tirés.
1. Déterminer I(Ω).
2. Déterminer la loi de probabilité de I.
3. En déduire la loi de probabilité de la variable aléatoire P qui donne le nombre de jetons pairs tirés.
4. Calculer l’espérance de chacune des variables aléatoires I et P .
Exercice 13 .
est de
1
3)
On lance 3 fois de suite une pièce truquée (la probabilité d’obtenir Pile à chaque lancer
et on note X la variable aléatoire du nombre de Pile obtenus au cours de 3 lancers.
1. Déterminer la loi de X, son espérance, puis sa fonction de répartition (en donner la représentation
graphique).
1
.
2. Faire de même si la probabilité d’obtenir Pile est maintenant
10
Exercice 14 . Cinq boules indiscernables au toucher sont placées dans une urne. Deux sont blanches, et
trois sont noires.
On tire au hasard et successivement toutes les boules de l’urne, et on désigne par R la variable aléatoire
donnant le rang de la première boule blanche tirée.
Déterminer la loi de probabilité et l’espérance de R.
Exercice 15 .
Une urne contient 2 boules noires et 3 boules blanches.
On tire des boules de l’urne sans remise jusqu’à ce qu’il n’y ait plus qu’une seule couleur dans l’urne.
On note X la variable aléatoire du nombre de boules tirées.
Déterminer la loi de X.
(On pourra s’aider d’un arbre pour représenter l’expérience.)
Exercice 16 .
Soit X une variable aléatoire dont la fonction de répartition est définie sur R par :
FX (x) =






Déterminer la loi de probabilité de X.
Exercice 17 .

0 si x < −1



1


 3 si −1 6 x < 2
si 2 6 x < 3
si 3 6 x < 6
1 si 6 6 x
1
24
5
8
Soit X une variable aléatoire telle que X(Ω) = {0, 1, 2, 3}, et dont la loi de probabilité est
définie par :
P(X = 0) = P(X = 3) =
3
1
et P(X = 1) = P(X = 2) =
8
8
1. Calculer son espérance E(X).
2. On définit les variables aléatoires Y = (X − 1)(X − 2) ; Z = 2X − 1 et W =
Donner leur loi de probabilité et calculer leur espérance.
1
.
X +1
Exercice 18 .
1. (a) Choisir une variable aléatoire à valeurs dans {0, 1, 2, 3} en définissant sa loi de probabilité.
(b) Calculer l’espérance de X puis l’espérance de X 2 .
(c) Comparer E X 2 et E(X)2 .
2. Pour tout réel t, on considère la variable aléatoire (1 + tX)2
(a) Justifier que l’espérance E (1 + tX)2 est une expression polynomiale en t du second degré.
(b) Quel est le signe de E (1 + tX)2 ? En utilisant un discriminant, en déduire l’inégalité
E X 2 > E(X)2 .