Chapitre 2 : Expressions algébriques

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Chapitre 2 : Expressions algébriques
I – Vocabulaire :
Définition : Une expression algébrique peut contenir des nombres et des lettres qui représentent des
nombres , ainsi que des parenthèses , des symboles opératoires ( + , − , × , ÷ ) .
Exemple : L’expression algébrique
2
3 2
x
x
− + − contient :
• Les nombres
3 , 2 et 2
−
• La lettre ݔ
• Les opérations + , − , × , ÷
Forme d’une expression algébrique :
Il est important de savoir reconnaître la forme d’une expression algébrique : somme ,
différence , produit , quotient .
a)
A B
+
est la somme de
et
A B
.
et
A B
sont les termes de cette somme .
b)
A B
−
est la différence de
et
A B
.
c)
A B
×
est le produit de
par
A B
.
et
A B
sont les facteurs de ce produit .
d)
A
B
est le quotient de
par
A B
Méthode : Pour savoir si l’on est en présence d’une somme , d’une différence , d’un produit ou d’un
quotient , on recherche la dernière opération effectuée .
Exemples : Quelle est la forme de chacune des expressions algébriques suivantes :
2 2
7
( ) ( 1) (2 5) ( ) 4 ( )
9
x
A x x x B x x C x
x
= − − + = =
−
- n° 1 feuille 2 : forme expression algébrique .
- n° 2 feuille 2 : traduction expressions algébriques en phrase
- n° 3 feuille 2 : traduction phrase en expression algébrique
Définitions : 1) Un expression polynômiale de degré n est une expression algébrique se présentant
sous la forme d’une somme de termes de type
n
ax
où
a
est une constante réelle
et ݊ un entier naturel .
2) Une expression rationnelle est une expression pouvant s’écrire comme le quotient
de deux expressions polynômiales .

2
Exemples :
2
3 5 1
x x
+ −
est un polynôme de degré 2 .
2
3
2
x
x
+
est une expression rationnelle .
II – Développer une expression algébrique :
Définition : Développer , c’est transformer un produit en somme .
Règles : 1) Quelque soient les réels
, et
a b c
:
( )
a b c ab ac
+ = +
.
2) a) Quelque soient les réels
, , et
a b c d
:
( )( )
a b c d ac ad bc bd
+ + = + + +
.
b) Développements remarquables :
2 2 2
( ) 2
a b a ab b
+ = + +
2 2 2
2 2
( ) 2
( )( )
a b a ab b
a b a b a b
− = − +
− + = −
Exemples : Développer ( et réduire si nécessaire ) les expressions algébriques suivantes :
(
)
( )( )
(
)
2
2
3 2 5 ( ) 2 9 1
4 3
( ) (3 1) (3 5)(3 5)
A B x x x C
D x x E x x
= + = + − = +
= − = − +
- n° 85 page 75 : applications avec distributivité et 3 identités remarquables .
- n° 88 page 75 : applications avec distributivité et différence des 2 premières identités remarquables .
- n° 4 feuille 2 : applications avec des racines carrées .
- n° 5 feuille 2 : applications avec 3 facteurs .
III – Factoriser une expression algébrique :
Définition : Factoriser , c’est transformer une somme en produit .
Règles : 1) Quelque soient les réels
, et
a b c
:
( )
ab ac a b c
+ = +
.
2) Factorisations remarquables :
2 2 2
2 ( )
a ab b a b
+ + = +
2 2 2
2 2
2 ( )
( )( )
a ab b a b
a b a b a b
− + = −
− = − +
Exemples : Factoriser les expressions algébriques suivantes :
2
2 2
( ) ( 2)( 1) ( 2)( 3) ( ) 2 1
( ) 4 12 9
( ) 4
A x x x x x B x x x
C x x x D x x
= + − + + + = + +
= − + = −

3
- n° 94 page 76 : applications avec identités remarquables .
- n° 97 page 76 a et b : applications avec facteur commun .
- n° 98 page 76 d : idem avec x .
- n° 6 feuille 2 : applications avec « coup du 1 » .
- n° 7 feuille 2 : double factorisation .
IV – Démontrer une égalité :
Question : Démontrer que , pour tout nombre ݔ , on a : 2
( 4) ( 4) ( 4)( 3)
x x x x
− + − = − −
1
ère
méthode : On part d’un des deux membres de l’égalité et on transforme son écriture pour obtenir
l’autre membre de l’égalité .
Exemple : Pour tout réel ݔ :
2
( 4) ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) 1
x x x x x
− + − = − × − + − ×
[
]
( 4) ( 4) 1
( 4)( 3)
x x
x x
= − − +
= − −
2
nde
méthode : Séparément , on transforme l’écriture de chacun des deux membres pour démontrer
qu’ils sont tous les deux égaux à un même expression .
Exemple : Pour tout réel ݔ :
2 2
( 4) ( 4) 8 16 4
x x x x x
− + − = − + + −
2
7 12
x x
= − +
2
( 4)( 3) 3 4 12
x x x x x
− − = − − +
2
7 12
x x
= − +
Donc 2
( 4) ( 4) ( 4)( 3)
x x x x
− + − = − −
3
ième
méthode : On transforme l’écriture de la différence entre les deux membres de l’égalité pour
obtenir 0 .
Exemple : Pour tout réel ݔ :
2
( 4) ( 4) ( 4)( 3) ( 4) ( 4) ( 4) 1 ( 4)( 3)
x x x x x x x x x
− + − − − − = − × − + − × − − −
[
]
( 4) ( 4) 1 ( 3)
( 4)( 4 1 3)
( 4) 0
0
x x x
x x x
x
= − − + − −
= − − + − +
= − ×
=
Donc 2
( 4) ( 4) ( 4)( 3)
x x x x
− + − = − −
- n° 8 feuille 2 : applications
- n° 9 feuille 2 : idem

4
V – Résoudre une équation se ramenant à une équation - produit :
Exemple : Résoudre l’équation :
( 3)( 1) 5( 1)
x x x
− − = −
Méthode pour résoudre une équation sans inconnue au dénominateur :
1) On soustrait les deux membres de l’équation pour avoir 0 dans le membre de droite .
2) On factorise le membre de gauche pour obtenir une équation – produit .
3) On résout cette équation – produit .
- n° 104 page 76 a et b : applications avec 3
ième
identité remarquable .
- n° 106 page 76 d : applications avec facteur commun
- n° 107 page 76 a : idem .
- n° 10 feuille 2 : un petit mélange .
- n° 11 feuille 2 : utilisation de la forme la plus adaptée pour résoudre une équation .
- n° 12 feuille 2 : problème ( avec double et cube ) .
- n° 13 feuille 2 : mise en équation d’un problème géométrique historique ( aire surface formée d’un carré et
de deux rectangles ) + démontrer une égalité + équation du 2
nd
degré avec 3
ième
identité remarquable .