Ch5 L`algèbre

Ch 5
Sommaire
L'ALGÈBRE
0- Objectifs
1- Développer une expression algébrique
2- Équation du 1er degré
3- Factoriser une expression algébrique
0- Objectifs
• Développer et factoriser des expressions algébriques dans des cas très
simples.
• Résoudre des équations du premier degré.
• Notions de variable, d’inconnue.
• Mettre un problème en équation en vue de sa résolution.
• Utiliser le calcul littéral pour prouver un résultat général, pour valider ou
réfuter une conjecture.
1- Développer une expression algébrique
Règle (rappels) :
Pour développer le produit de 2 sommes algébriques, on multiplie chaque bloc
de l'une par chaque bloc de l'autre puis on ajoute les produits obtenus.
Exemples :
• Développer A = (3x −4)(6 −5x)
A = (3x −4)(6 −5x)
= 18x −15x² −24 +20x
= −15x² +38x −24
• Développer B = 5×(3x − 5) − (3x −4)(6 −5x)
B = 5×(3x − 5) − [(3x −4)(6 −5x)]
= 15x −25 − [−15x² +38x −24]
= 15x −25 +15x² −38x +24
= 15x² −23x −1
3 égalités remarquables :
Pour tous les nombres a et b,
(a + b)² = a² +2ab + b²
(a − b)² = a² −2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
Exemples :
• (3x + 5)² = (3x)² +2×(3x)×5 + 5² = 9x² +15x +25
• (2x − 7)² = (2x)² −2×(2x)×7 + 7² = 4x² −28x +49
• (5x + 3)( 5x − 3) = (5x)² − 3² = 25x² − 9
Remarque :
Ces 3 égalités sont utiles pour la factorisation des expressions algébriques
(voir le § 3).
2- Équation du 1er degré
Règles égalitaires :
• On ne change pas la valeur de vérité d'une égalité si on ajoute ou si on
soustrait un même nombre des deux côtés de l'égalité.
• On ne change pas la valeur de vérité d'une égalité si on multiplie ou si on
divise par un même nombre différent de 0 les deux côtés de l'égalité.
Exemples :
• Résoudre 3x +2 +2x = 8 −2x +6
(1)
On peut numéroter les équations
On réduit
5x +2 = 14 −2x
On ajoute 2x (règle 1) 5x +2 +2x = 14 −2x +2x
on réduit
7x +2 = 14
on soustrait 2 (règle 1) 7x +2 −2 = 14 −2
on réduit
7x = 12
7x
12
on divise par 7 (règle 2)
=
7
7
12
12
on réduit
x=
L'équation (1) a une seule solution :
7
7
Règle des produits nuls :
Si un produit est nul alors l'un au moins de ses facteurs est nul.
Exemples :
• Résoudre (3x + 5)(2x −8) = 0
(2)
On a (3x + 5)(2x −8) = 0
or, si un produit est nul alors l'un au moins de ses facteurs est nul
donc 3x + 5 = 0 ou bien 2x −8 = 0
−5
8
donc x =
ou x =
=4
3
2
−5
L'équation (2) a donc 2 solutions :
et 4.
3
• Résoudre (5−7x)² = 0
(3)
On a (5−7x)² = 0
or, si le carré d'un nombre est nul alors ce nombre est nul aussi
donc 5−7x = 0
donc 5 = 7x
5
5
donc x =
L'équation (3) a une seule solution :
7
7
3- Factoriser une expression algébrique
Définition :
Factoriser une expression algébrique, c'est la mettre sous la forme d'un
produit de sommes algébriques.
Exemples :
• 3x + 5x = (3 + 5)x = 8x
• 3x + 5x² = 3×x + (5x)×x = (3 + 5x)x
• x + 5x² = 1×x +(5x)×x = (1 + 5x)x
• 2x + 3 − (2x + 3)(4 − 2x) = (2x + 3)×1 − (2x + 3)(4 − 2x)
= (2x + 3)(1 − (4 − 2x))
= (2x + 3)(1 −4 + 2x)
= (2x + 3)(−3 + 2x)
• (2x − 3)² − (8x + 1)(2x − 3) = (2x − 3)(2x − 3) − (8x + 1)(2x − 3)
= (2x − 3)[(2x − 3) − (8x + 1)]
= (2x − 3)[2x − 3 − 8x − 1)]
= (2x − 3)(−6x − 4)
= −2(2x − 3)(3x + 2)
On peut utiliser les identités remarquables :
• x² − 9 = x² − 3² = (x + 3)(x − 3)
de la forme a²‑ b² avec a = x et b = 3
• 4x² − 49 = (2x)² − 7² = (2x + 7)(2x − 7)
de la forme a²‑ b² avec a = 2x et b = 7
• 9x² +16 +24x = (3x)² + 2×(3x)×4 + 4² = (3x + 4)²
de la forme a²+ 2ab + b² avec a = 3x et b = 4
• x² +25 −10x = x² − 2×x×5 + 5² = (x − 5)²
de la forme a²- 2ab + b² avec a = x et b = 5
Remarque :
On peut aussi factoriser un nombre entier.
ainsi, 2 112 = 26×3×11
on peut aussi utiliser la fonction decomp de la calculatrice…