Ch5 L`algèbre
Ch 5
Sommaire
0- Objectifs
1- Développer une expression algébrique
2- Équation du 1er degré
3- Factoriser une expression algébrique
0- Objectifs
• Développer et factoriser des expressions algébriques dans des cas très
simples.
• Résoudre des équations du premier degré.
• Notions de variable, d’inconnue.
• Mettre un problème en équation en vue de sa résolution.
• Utiliser le calcul littéral pour prouver un résultat général, pour valider ou
réfuter une conjecture.
L'ALGÈBRE
1- Développer une expression algébrique
Règle (rappels) :
Pour développer le produit de 2 sommes algébriques, on multiplie chaque bloc
de l'une par chaque bloc de l'autre puis on ajoute les produits obtenus.
Exemples :
• Développer A = (3
x
−4)(6 −5
x
)
A = (3
x
−4)(6 −5
x
)
= 18
x
−15
x
² −24 +20
x
= −15
x
² +38
x
−24
• Développer B = 5×(3
x
− 5) − (3
x
−4)(6 −5
x
)
B = 5×(3
x
− 5) − [(3
x
−4)(6 −5
x
)]
= 15
x
−25 − [−15
x
² +38
x
−24]
= 15
x
−25 +15
x
² −38
x
+24
= 15
x
² −23
x
−1
3 égalités remarquables :
Pour tous les nombres a et b,
(
a
+
b
)² =
a
² +2
ab
+
b
²
(
a
−
b
)² =
a
² −2
ab
+
b
²
(
a
+
b
)(
a
−
b
) =
a
² −
b
²
Exemples :
• (3
x
+ 5)² = (3
x
)² +2×(3
x)
×5 + 5² = 9
x
² +15
x
+25
• (2
x
− 7)² = (2
x
)² −2×(2
x)
×7 + 7² = 4
x
² −28
x
+49
• (5
x
+ 3)( 5
x
− 3) = (5
x
)² − 3² = 25
x
² − 9
Remarque :
Ces 3 égalités sont utiles pour la factorisation des expressions algébriques
(voir le § 3).
2- Équation du 1er degré
Règles égalitaires :
• On ne change pas la valeur de vérité d'une égalité si on ajoute ou si on
soustrait un même nombre des deux côtés de l'égalité.
• On ne change pas la valeur de vérité d'une égalité si on multiplie ou si on
divise par un même nombre différent de 0 les deux côtés de l'égalité.
Exemples :
• Résoudre 3
x
+2 +2
x
= 8 −2
x
+6 (1)
On réduit 5
x
+2 = 14 −2
x
On ajoute 2
x
(règle 1) 5
x
+2 +2
x
= 14 −2
x
+2
x
on réduit 7
x
+2 = 14
on soustrait 2 (règle 1) 7
x
+2 −2 = 14 −2
on réduit 7
x
= 12
on divise par 7 (règle 2)
7x
7
=
12
7
on réduit
x
=
12
7
L'équation (1) a une seule solution :
12
7
Règle des produits nuls :
Si un produit est nul alors l'un au moins de ses facteurs est nul.
Exemples :
• Résoudre (3
x
+ 5)(2
x
−8) = 0 (2)
On a (3
x
+ 5)(2
x
−8) = 0
or, si un produit est nul alors l'un au moins de ses facteurs est nul
donc 3
x
+ 5 = 0 ou bien 2
x
−8 = 0
donc
x
=
−5
3
ou
x
=
8
2
= 4
L'équation (2) a donc 2 solutions :
−5
3
et 4.
• Résoudre (5−7
x
)² = 0 (3)
On a (5−7
x
)² = 0
or, si le carré d'un nombre est nul alors ce nombre est nul aussi
donc 5−7
x
= 0
donc 5 = 7
x
donc
x
=
5
7
L'équation (3) a une seule solution :
5
7
On peut numéroter les équations
3- Factoriser une expression algébrique
Définition :
Factoriser une expression algébrique, c'est la mettre sous la forme d'un
produit de sommes algébriques.
Exemples :
• 3
x
+ 5
x
= (3 + 5)
x
= 8
x
• 3
x
+ 5
x
² = 3×x + (5x)×x = (3 + 5
x
)
x
•
x
+ 5
x
² = 1×x +(5x)×x = (1 + 5
x
)
x
• 2
x
+ 3 − (2
x
+ 3)(4 − 2
x
) = (2
x
+ 3)×1 − (2
x
+ 3)(4 − 2
x
)
= (2
x
+ 3)(1 − (4 − 2
x
))
= (2
x
+ 3)(1 −4 + 2
x
)
= (2
x
+ 3)(−3 + 2
x
)
• (2
x
− 3)² − (8
x
+ 1)(2
x
− 3) = (2
x
− 3)(2
x
− 3) − (8
x
+ 1)(2
x
− 3)
= (2
x
− 3)[(2
x
− 3) − (8
x
+ 1)]
= (2
x
− 3)[2
x
− 3 − 8
x
− 1)]
= (2
x
− 3)(−6
x
− 4)
= −2(2
x
− 3)(3
x
+ 2)
On peut utiliser les identités remarquables :
•
x
² − 9 =
x
² − 3² = (
x
+ 3)(
x
− 3)
• 4
x
² − 49 = (2
x
)² − 7² = (2
x
+ 7)(2
x
− 7)
• 9
x
² +16 +24
x
= (3
x
)² + 2×(3
x)
×4 + 4² = (3
x
+ 4)²
•
x
² +25 −10
x
=
x
² − 2×
x
×5 + 5² = (
x
− 5)²
Remarque :
On peut aussi factoriser un nombre entier.
ainsi, 2 112 = 26×3×11
on peut aussi utiliser la fonction decomp de la calculatrice…
de la forme a² b² avec a = x et b = 3‑
de la forme a² b² avec a = 2x et b = 7‑
de la forme a²+ 2ab + b² avec a = 3x et b = 4
de la forme a²- 2ab + b² avec a = x et b = 5
1
/
4
100%
