2 Calcul littéral - Mathématiques pour le Bac

2 Calcul littéral
2.1 Calcul algébrique
Distributivité (rappel) : k(a + b) = ka + kb
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Identités remarquables :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Preuve : • (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 ;
• (a − b)2 = (a + (−b))2 = a2 + 2a × (−b) + (−b)2 = a2 − 2ab + b2 ;
• (a + b)(a − b) = a2 − ab + ab − b2 = a2 − b2 . Développer c’est transformer une expression algébrique en somme.
Factoriser c’est transformer une expression algébrique en produit.
−→ développer −→
k(a + b) = ka + kb
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b)(a − b) = a2 − b2
←− factoriser ←−
Développer et réduire une expression algébrique :
Exemples :
A(x) = (3x − 2)(x + 5) = 3x2 + 15x − 2x − 10 = 3x2 + 13x − 10
B(x) = (4x + 1)2 = 16x2 + 8x + 1
C(x) = (x − 3)2 = x2 − 6x + 9
D(x) = (2x − 7)(7 + 2x) = 4x2 − 49
Remarque : Lorsque l’on développe une expression, il est important de réduire son écriture,
c’est-à-dire de la calculer au maximum.
Pour factoriser une expression algébrique, c’est l’écrire sous la forme d’un produit, il faut :
— trouver un facteur commun et utiliser la distributivité :
ka + kb = k(a + b) ou ka − kb = k(a − b)
— ou, s’il n’y a pas de facteur commun, reconnaître une identité remarquable :
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 − 2ab + b2 = (a − b)2
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
Exemples : — avec un facteur commun :
• E(x) = 4x2 − 6x = 2x(2x − 3)
• F (x) = 2(x + 3) + (2x − 1)(x + 3) = (x + 3)(2 + 2x − 1) = (x + 3)(2x + 1)
• G(x) = (4x − 5)(3x + 2) − (3x + 2)2 = (3x + 2)[(4x − 5) − (3x + 2)] = (3x + 2)(4x − 5 − 3x − 2) =
7
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(3x + 2)(x − 7)
— avec les identités remarquables :
• H(x) = 4x2 + 20x + 25 = (2x)2 + 2 × (2x) × 5 + 52 = (2x + 5)2
• I(x) = 49 + 9x2 − 42x = 72 − 2 × 7 × (3x) + (3x)2 = (7 − 3x)2 = (3x − 7)2
• J(x) = (5x − 1)2 − 64 = (5x − 1)2 − 82 = (5x − 1 + 8)(5x − 1 − 8) = (5x + 7)(5x − 9)
• K(x) = x2 − 1 + 2(x + 1) = (x + 1)(x − 1) + 2(x + 1) = (x + 1)(x − 1 + 2) = (x + 1)2
Remarque : Pour factoriser une expression telle que K(x), il est parfois nécessaire de factoriser
préalablement une partie de l’expression.
Pour simplifier une fraction rationnelle, c’est-à-dire le quotient de deux expressions, il peut-être
utile de factoriser le numérateur et le dénominateur.
3
4x2 − 9
pour x 6= − 5 et x 6=
Exemples : • L(x) =
(x + 5)(2x − 3)
2
(2x + 3)(2x − 3)
2x + 3
L(x) =
=
(x + 5)(2x − 3)
x+5
x + 5 2x + 3
(x + 5) − (2x + 3)
2−x
2x + 3
=
−
=
=
• Pour x 6= − 5, M (x) = 1 −
x+5
x+5
x+5
x+5
x+5
2.2 Mathématisation d’un problème
Mathématiser un problème c’est associer une expression algébrique à l’énoncé, puis écrire une
équation ou une inéquation à partir de l’expression établie.
Exemples : • On écrit le chiffre 3 à gauche d’un nombre à deux chiffres donné. Le double du
nombre à trois chiffres ainsi obtenu est 27 fois plus grand que le nombre de départ. Quel est le
nombre à deux chiffres de départ ?
Solution : Soit x le nombre de départ. Ajouter le chiffre 3 à gauche d’un nombre à deux chiffres revient à lui
ajouter 300. Le nombre à trois chiffres ainsi obtenu s’écrit alors x + 300 et son double 2(x + 300). Si ce résultat
est égal à 27 fois (« 27 fois plus grand » signifie multiplié par 27 !) on peut écrire l’équation 2(x + 300) = 27x,
600
= 24. soit 27x − 2x = 2 × 300, puis 25x = 600 d’où x =
25
• Hier le professeur de mathématiques nous a donné une feuille d’exercices. Nous en avons résolu seulement 4 et
il en reste plus de la moitié à résoudre. Aujourd’hui il nous a donné 3 nouveaux exercices et nous en avons encore
une fois résolu 4. Il reste moins de 5 exercices à résoudre. À ce rythme de 4 exercices par jour quand aurons
résolu tous les exercices ?
Solution : Soit x le nombre d’exercices de la feuille donnée par le professeur. À l’issue de la première séance de
x
travail on peut écrire : x − 4 > . Pour la seconde séance de travail le bilan est : x − 4 + 3 − 4 < 5. Ces deux
2
inéquations donnent respectivement x > 8 et x < 10, ce qui permet d’encadrer x : 8 < x < 10 et, x étant un
entier : x = 9. Il y a donc 8 exercices résolus sur les 12 au total et au rythme de 4 par jour le travail sera achevé
demain. 2.3 Résolution d’équations
Équation du premier degré :
ax + b
ax
=
=
x
=
0, avec a 6= 0
−b
b
−
a
Équation de degré supérieur :
Pour résoudre une équation de degré 2 (ou plus), c’est-à-dire dans la quelle il y a des x2 (ou exposant supérieur :
x3 , x4 ...), il faut factoriser l’expression pour obtenir une équation produit comportant des facteurs du premier
degré et comparer le produit obtenu à zéro.
Théorème : Un produit A × B est nul si et seulement si l’un des facteurs A ou B est nul :
(AB = 0) ⇔ (A = 0 ou B = 0)
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Exemples : • (x − 2)2 + 3(x − 2) = 0 ; (x − 2)[(x − 2) + 3] = 0 ; (x − 2)(x + 1) = 0
donc (x − 2)2 + 3(x − 2) = 0 est équivalent à x − 2 = 0 ou x + 1 = 0, soit x = 2 ou x = −1.
• 4x2 − 12x + 9 = 64 ; (2x − 3)2 = 64 ; (2x − 3)2 − 82 = 0 ; (2x − 3 + 8)(2x − 3 − 8) = 0 ; (2x + 5)(2x − 11) = 0,
11
5
.
donc 4x2 − 12x + 9 = 64 est équivalent à 2x + 5 = 0 ou 2x − 11 = 0, soit x = − ou x =
2
2
• (x − 3)(4x + 5) = 13x − 40 ; (x − 3)(4x + 5) − 13x + 40 = 0
il n’y a pas de facteur commun et en développant on obtient : 4x2 − 20x + 25 = 0
5
ce qui permet de factoriser : (2x − 5)2 = 0, alors l’équation a une solution (double) : x = .
2
2.4 Résolution d’inéquations
Ordre et addition : a, b et c étant des réels
(a < b) ⇔ (a + c < b + c)
Ordre et multiplication : a, b et c étant des réels
• si c > 0 : (a < b) ⇔ (ac < bc)
• si c < 0 : (a < b) ⇔ (ac > bc)
Règle des signes :
• Le produit, respectivement le quotient, de deux nombres de même signe est positif ;
• Le produit, resp. le quotient, de deux nombres de signes contraires est négatif.
Ordre et carrés - Ordre et racines carrées :
• Si 0 < a < b, alors a2 < b2 ;
√
√
• Si 0 < a < b, alors a < b.
Ou encore : Les carrés et les racines carrées de deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que ces
nombres.
Remarque : Si les nombres sont négatifs les carrés sont rangés dans l’ordre inverse des nombres (si a < b < 0,
alors 0 < b2 < a2 ) et leurs racines carrées n’existent pas.
Résolution algébrique
Comme pour les équations on se ramène toujours à une forme E > 0 (ou E < 0), où E est une expression
algébrique que l’on compare à zéro :
— soit E est du premier degré, c’est-à-dire du type ax + b,
— soit E est du second degré, ou de degré supérieur, et il faut se ramener à un produit de facteurs du premier
degré, c’est-à-dire factoriser E = (ax + b)(cx + d)
Dans les deux cas le problème revient à déterminer le signe de ax + b, appliqué plusieurs fois en utilisant la règle
du signe d’un produit de facteurs dans le cas d’une expression factorisée (ax + b)(cx + d).
Signe de ax + b :
L’étude des affines a montré que le signe de l’expression algébrique du premier degré ax + b est donné par l’un
des deux tableaux suivant en fonction du signe de a :
• Si a > 0 :
x
−∞
− ab
ax + b
• Si a < 0 :
+∞
+∞
0
−∞
x
−∞
+∞
− ab
ax + b
+∞
0
−∞
Pour étudier le signe de E = (ax + b)(cx + d) on fait un tableau de signes contenant autant de lignes que de
facteurs, ainsi que la ligne de leur produit en appliquant la règle des signes.
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Exemple : On veut résoudre l’inéquation 3x2 − 16x < 0, soit : x(3x − 16) < 0.
Pour étudier le signe de x(3x − 16) on utilise le tableau de signes suivant :
x
−∞
x
3x − 16
−
−
x(3x − 16)
+
0
0
−16
+
−
0
16/3
+∞
16/3
0
+
+
0
+
−
Ce tableau donne directement l’intervalle des solutions de l’inéquation, c’est-à-dire dans lequel g(x) > f (x) :
h
i
16
x ∈ 0 ;−
3
Exercice : Étudier le signe de l’expression E =
(3 − 2x)(x + 3)3
.
x−3
Solution : On construit le tableau de signes suivant, sachant que le signe de (x + 3)3 est le même que celui de
x + 3 car l’exposant est impair :
x
−∞
3 − 2x
(x + 3)3
x−3
+
−
−
+
E
i
i h
donc (E > 0) ⇔ x ∈ −∞ ; −3 ∪
3
;3
2
−3
0
0
3/2
+
+
−
0
0
−
h
, et (E < 0) ⇔ x ∈
−
+
−
3
+∞
0
−
+
+
+
i
−3 ;
−
3
∪ 3 ; +∞
2
h i
h
.
2.5 Exercice résolu
Exemple : Le schéma ci-contre représente une maison. Le toit à la forme
d’un triangle rectangle et isocèle de hauteur x posé sur un rectangle de
largeur égale à sa base principale. La hauteur totale est égale à 8 m
x
(toutes les longueurs sont exprimées en m).
1. Exprimer les aires du triangle et du rectangle en
x
x
fonction de x.
2. Construire les courbes représentant ces deux aires
pour x ∈]0 ; 8[.
3. Trouver graphiquement :
a) une valeur approchée de x pour laquelle ces aires sont égales.
b) toutes les valeurs de x pour lesquelles l’aire du rectangle est supérieure à celle du triangle.
4. Comment retrouver ces résultats par le calcul ?
8
Solution :
1. Aire du triangle : f (x) = x2 ; aire du rectangle : g(x) = 2x(8 − x) = 16x − 2x2 .
2. Voir courbes ci-dessous :
y
64
Cf
32
Cg
0
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4
– 10 –
16
3
8
x
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3. Graphiquement :
a) Les aires sont égales aux intersections des courbes des fonctions f et g. Sur l’intervalle ]0; 8[ il
n’y a donc qu’une seule intersection à prendre en compte puisque la valeur 0 est exclue. On peut
estimer graphiquement les coordonnées de cette intersection (5,3 ; 28) ; donc les aires du triangle et
du rectangle sont égales lorsque x vaut environ 5,3 m (alors les aires sont égales à 28 m2 ).
b) L’aire du rectangle est supérieure à celle du triangle lorsque la courbe de la fonction g est au dessus
de celle de la fonction f . Graphiquement on peut dire que l’aire du rectangle est supérieure à celle
du triangle lorsque x appartient à l’intervalle ]0 ; 5,3[.
4. Pour retrouver ces valeurs par le calcul il faut résoudre :
a) l’équation g(x) = f (x), soit : 16x − 2x2 = x2 ; 3x2 − 16x = 0 ; x(3x − 16) = 0 or cette équation
16
produit admet deux solutions : x = 0 et x =
, d’où la solution cherchée pour obtenir l’égalité des
3
16
≈ 5,3.
aires : x =
3
b) l’inéquation g(x) > f (x), soit 16x − 2x2 > x2 ; 0 > 3x2 − 16x ; 0 > x(3x − 16)
Il faut donc étudier le signe du produit x(3x − 16) (voir exemple ci-dessus) :
(g(x) > f (x)) ⇐⇒ (x(3x − 16) < 0) ⇐⇒
i
x∈ 0;
16
3
h
Remarque : c’est aussi le signe de la fonction h : x 7→ x(3x − 16). math4bac
– 11 –
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