Maths 2gt 2. Calcul littéral prog 2017
(3x+ 2)(x−7)
— avec les identités remarquables :
•H(x) = 4x2+ 20x+ 25 = (2x)2+ 2 ×(2x)×5 + 52= (2x+ 5)2
•I(x) = 49 + 9x2−42x= 72−2×7×(3x) + (3x)2= (7 −3x)2= (3x−7)2
•J(x) = (5x−1)2−64 = (5x−1)2−82= (5x−1 + 8)(5x−1−8) = (5x+ 7)(5x−9)
•K(x) = x2−1 + 2(x+ 1) = (x+ 1)(x−1) + 2(x+ 1) = (x+ 1)(x−1 + 2) = (x+ 1)2
Remarque : Pour factoriser une expression telle que K(x), il est parfois nécessaire de factoriser
préalablement une partie de l’expression.
Pour simplifier une fraction rationnelle, c’est-à-dire le quotient de deux expressions, il peut-être
utile de factoriser le numérateur et le dénominateur.
Exemples :•L(x) = 4x2−9
(x+ 5)(2x−3) pour x6=−5 et x6=3
2
L(x) = (2x+ 3)(2x−3)
(x+ 5)(2x−3) =2x+ 3
x+ 5
•Pour x6=−5, M(x) = 1 −2x+ 3
x+ 5 =x+ 5
x+ 5 −2x+ 3
x+ 5 =(x+ 5) −(2x+ 3)
x+ 5 =2−x
x+ 5
2.2 Mathématisation d’un problème
Mathématiser un problème c’est associer une expression algébrique à l’énoncé, puis écrire une
équation ou une inéquation à partir de l’expression établie.
Exemples :•On écrit le chiffre 3 à gauche d’un nombre à deux chiffres donné. Le double du
nombre à trois chiffres ainsi obtenu est 27 fois plus grand que le nombre de départ. Quel est le
nombre à deux chiffres de départ ?
Solution : Soit xle nombre de départ. Ajouter le chiffre 3 à gauche d’un nombre à deux chiffres revient à lui
ajouter 300. Le nombre à trois chiffres ainsi obtenu s’écrit alors x+ 300 et son double 2(x+ 300). Si ce résultat
est égal à 27 fois (« 27 fois plus grand » signifie multiplié par 27 !) on peut écrire l’équation 2(x+ 300) = 27x,
soit 27x−2x= 2 ×300, puis 25x= 600 d’où x=600
25 = 24.
•Hier le professeur de mathématiques nous a donné une feuille d’exercices. Nous en avons résolu seulement 4 et
il en reste plus de la moitié à résoudre. Aujourd’hui il nous a donné 3 nouveaux exercices et nous en avons encore
une fois résolu 4. Il reste moins de 5 exercices à résoudre. À ce rythme de 4 exercices par jour quand aurons
résolu tous les exercices ?
Solution : Soit xle nombre d’exercices de la feuille donnée par le professeur. À l’issue de la première séance de
travail on peut écrire : x−4>x
2. Pour la seconde séance de travail le bilan est : x−4 + 3 −4<5. Ces deux
inéquations donnent respectivement x > 8 et x < 10, ce qui permet d’encadrer x: 8 < x < 10 et, xétant un
entier : x= 9. Il y a donc 8 exercices résolus sur les 12 au total et au rythme de 4 par jour le travail sera achevé
demain.
2.3 Résolution d’équations
Équation du premier degré :
ax +b= 0, avec a6= 0
ax =−b
x=−b
a
Équation de degré supérieur :
Pour résoudre une équation de degré 2 (ou plus), c’est-à-dire dans la quelle il y a des x2(ou exposant supérieur :
x3,x4...), il faut factoriser l’expression pour obtenir une équation produit comportant des facteurs du premier
degré et comparer le produit obtenu à zéro.
Théorème : Un produit A×Best nul si et seulement si l’un des facteurs Aou Best nul :
(AB = 0) ⇔(A= 0 ou B= 0)
math4
bac – 8 – v1.6180