2 Calcul littéral - Mathématiques pour le Bac

2 Calcul littéral
2.1 Calcul algébrique
Distributivité (rappel) :k(a+b) = ka +kb (a+b)(c+d) = ac +ad +bc +bd
Identités remarquables :
(a+b)2=a2+ 2ab +b2(a−b)2=a2−2ab +b2(a+b)(a−b) = a2−b2
Preuve :•(a+b)2= (a+b)(a+b) = a2+ab +ba +b2=a2+ 2ab +b2;
•(a−b)2= (a+ (−b))2=a2+ 2a×(−b) + (−b)2=a2−2ab +b2;
•(a+b)(a−b) = a2−ab +ab −b2=a2−b2.
Développer c’est transformer une expression algébrique en somme.
Factoriser c’est transformer une expression algébrique en produit.
−→ développer −→
k(a+b) = ka +kb
(a+b)(c+d) = ac +ad +bc +bd
(a+b)2=a2+ 2ab +b2
(a−b)2=a2−2ab +b2
(a+b)(a−b) = a2−b2
←− factoriser ←−
Développer et réduire une expression algébrique :
Exemples :
A(x) = (3x−2)(x+ 5) = 3x2+ 15x−2x−10 = 3x2+ 13x−10
B(x) = (4x+ 1)2= 16x2+ 8x+ 1
C(x) = (x−3)2=x2−6x+ 9
D(x) = (2x−7)(7 + 2x) = 4x2−49
Remarque : Lorsque l’on développe une expression, il est important de réduire son écriture,
c’est-à-dire de la calculer au maximum.
Pour factoriser une expression algébrique, c’est l’écrire sous la forme d’un produit, il faut :
— trouver un facteur commun et utiliser la distributivité :
ka +kb =k(a+b) ou ka −kb =k(a−b)
— ou, s’il n’y a pas de facteur commun, reconnaître une identité remarquable :
a2+ 2ab +b2= (a+b)2
a2−2ab +b2= (a−b)2
a2−b2= (a+b)(a−b)
Exemples : — avec un facteur commun :
•E(x) = 4x2−6x= 2x(2x−3)
•F(x) = 2(x+ 3) + (2x−1)(x+ 3) = (x+ 3)(2 + 2x−1) = (x+ 3)(2x+ 1)
•G(x) = (4x−5)(3x+2)−(3x+2)2= (3x+2)[(4x−5)−(3x+2)] = (3x+2)(4x−5−3x−2) =
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(3x+ 2)(x−7)
— avec les identités remarquables :
•H(x) = 4x2+ 20x+ 25 = (2x)2+ 2 ×(2x)×5 + 52= (2x+ 5)2
•I(x) = 49 + 9x2−42x= 72−2×7×(3x) + (3x)2= (7 −3x)2= (3x−7)2
•J(x) = (5x−1)2−64 = (5x−1)2−82= (5x−1 + 8)(5x−1−8) = (5x+ 7)(5x−9)
•K(x) = x2−1 + 2(x+ 1) = (x+ 1)(x−1) + 2(x+ 1) = (x+ 1)(x−1 + 2) = (x+ 1)2
Remarque : Pour factoriser une expression telle que K(x), il est parfois nécessaire de factoriser
préalablement une partie de l’expression.
Pour simplifier une fraction rationnelle, c’est-à-dire le quotient de deux expressions, il peut-être
utile de factoriser le numérateur et le dénominateur.
Exemples :•L(x) = 4x2−9
(x+ 5)(2x−3) pour x6=−5 et x6=3 2
L(x) = (2x+ 3)(2x−3)
(x+ 5)(2x−3) =2x+ 3 x+ 5
•Pour x6=−5, M(x) = 1 −2x+ 3
x+ 5 =x+ 5 x+ 5 −2x+ 3 x+ 5 =(x+ 5) −(2x+ 3) x+ 5 =2−x x+ 5
2.2 Mathématisation d’un problème
Mathématiser un problème c’est associer une expression algébrique à l’énoncé, puis écrire une
équation ou une inéquation à partir de l’expression établie.
Exemples :•On écrit le chiffre 3 à gauche d’un nombre à deux chiffres donné. Le double du
nombre à trois chiffres ainsi obtenu est 27 fois plus grand que le nombre de départ. Quel est le
nombre à deux chiffres de départ ?
Solution : Soit xle nombre de départ. Ajouter le chiffre 3 à gauche d’un nombre à deux chiffres revient à lui
ajouter 300. Le nombre à trois chiffres ainsi obtenu s’écrit alors x+ 300 et son double 2(x+ 300). Si ce résultat
est égal à 27 fois (« 27 fois plus grand » signifie multiplié par 27 !) on peut écrire l’équation 2(x+ 300) = 27x,
soit 27x−2x= 2 ×300, puis 25x= 600 d’où x=600
25 = 24. 
•Hier le professeur de mathématiques nous a donné une feuille d’exercices. Nous en avons résolu seulement 4 et
il en reste plus de la moitié à résoudre. Aujourd’hui il nous a donné 3 nouveaux exercices et nous en avons encore
une fois résolu 4. Il reste moins de 5 exercices à résoudre. À ce rythme de 4 exercices par jour quand aurons
résolu tous les exercices ?
Solution : Soit xle nombre d’exercices de la feuille donnée par le professeur. À l’issue de la première séance de
travail on peut écrire : x−4>x
2. Pour la seconde séance de travail le bilan est : x−4 + 3 −4<5. Ces deux
inéquations donnent respectivement x > 8 et x < 10, ce qui permet d’encadrer x: 8 < x < 10 et, xétant un
entier : x= 9. Il y a donc 8 exercices résolus sur les 12 au total et au rythme de 4 par jour le travail sera achevé
demain. 
2.3 Résolution d’équations
Équation du premier degré :
ax +b= 0, avec a6= 0
ax =−b
x=−b
a
Équation de degré supérieur :
Pour résoudre une équation de degré 2 (ou plus), c’est-à-dire dans la quelle il y a des x2(ou exposant supérieur :
x3,x4...), il faut factoriser l’expression pour obtenir une équation produit comportant des facteurs du premier
degré et comparer le produit obtenu à zéro.
Théorème : Un produit A×Best nul si et seulement si l’un des facteurs Aou Best nul :
(AB = 0) ⇔(A= 0 ou B= 0)
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bac – 8 – v1.6180

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Exemples :•(x−2)2+ 3(x−2) = 0 ; (x−2)[(x−2) + 3] = 0 ; (x−2)(x+ 1) = 0
donc (x−2)2+ 3(x−2) = 0 est équivalent à x−2 = 0 ou x+ 1 = 0, soit x= 2 ou x=−1.
•4x2−12x+ 9 = 64 ; (2x−3)2= 64 ; (2x−3)2−82= 0 ; (2x−3 + 8)(2x−3−8) = 0 ; (2x+ 5)(2x−11) = 0,
donc 4x2−12x+ 9 = 64 est équivalent à 2x+ 5 = 0 ou 2x−11 = 0, soit x=−5
2ou x=11 2.
•(x−3)(4x+ 5) = 13x−40 ; (x−3)(4x+ 5) −13x+ 40 = 0
il n’y a pas de facteur commun et en développant on obtient : 4x2−20x+ 25 = 0
ce qui permet de factoriser : (2x−5)2= 0, alors l’équation a une solution (double) : x=5
2.
2.4 Résolution d’inéquations
Ordre et addition :a,bet cétant des réels
(a < b)⇔(a+c < b +c)
Ordre et multiplication :a,bet cétant des réels
•si c > 0 : (a < b)⇔(ac < bc)
•si c < 0 : (a < b)⇔(ac > bc)
Règle des signes :
•Le produit, respectivement le quotient, de deux nombres de même signe est positif ;
•Le produit, resp. le quotient, de deux nombres de signes contraires est négatif.
Ordre et carrés - Ordre et racines carrées :
•Si 0 < a < b, alors a2< b2;
•Si 0 < a < b, alors √a < √b.
Ou encore : Les carrés et les racines carrées de deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que ces
nombres.
Remarque : Si les nombres sont négatifs les carrés sont rangés dans l’ordre inverse des nombres (si a < b < 0,
alors 0 < b2< a2) et leurs racines carrées n’existent pas.
Résolution algébrique
Comme pour les équations on se ramène toujours à une forme E > 0 (ou E < 0), où Eest une expression
algébrique que l’on compare à zéro :
— soit Eest du premier degré, c’est-à-dire du type ax +b,
— soit Eest du second degré, ou de degré supérieur, et il faut se ramener à un produit de facteurs du premier
degré, c’est-à-dire factoriser E= (ax +b)(cx +d)
Dans les deux cas le problème revient à déterminer le signe de ax +b, appliqué plusieurs fois en utilisant la règle
du signe d’un produit de facteurs dans le cas d’une expression factorisée (ax +b)(cx +d).
Signe de ax +b:
L’étude des affines a montré que le signe de l’expression algébrique du premier degré ax +best donné par l’un
des deux tableaux suivant en fonction du signe de a:
•Si a > 0 :
x−∞ −b
a+∞
ax +b
−∞
0
+∞
•Si a < 0 :
x−∞ −b
a+∞
ax +b
+∞0
−∞
Pour étudier le signe de E= (ax +b)(cx +d) on fait un tableau de signes contenant autant de lignes que de
facteurs, ainsi que la ligne de leur produit en appliquant la règle des signes.
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bac – 9 – v1.6180

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Exemple : On veut résoudre l’inéquation 3x2−16x < 0, soit : x(3x−16) <0.
Pour étudier le signe de x(3x−16) on utilise le tableau de signes suivant :
x−∞ 0 16/3 +∞
x−0 + 16/3 +
3x−16 − −16 −0 +
x(3x−16) + 0 −0 +
Ce tableau donne directement l’intervalle des solutions de l’inéquation, c’est-à-dire dans lequel g(x)> f (x) :
x∈i0 ; −16
3h
Exercice : Étudier le signe de l’expression E=(3 −2x)(x+ 3)3
x−3.
Solution : On construit le tableau de signes suivant, sachant que le signe de (x+ 3)3est le même que celui de
x+ 3 car l’exposant est impair :
x−∞ −3 3/2 3 +∞
3−2x+ + 0 − −
(x+ 3)3−0 + + +
x−3− − − 0 +
E+ 0 −0 + −
donc (E>0) ⇔x∈i−∞ ;−3i∪h3
2; 3h , et (E < 0) ⇔x∈i−3 ; 3 2h∪i3 ; +∞h.
2.5 Exercice résolu
8
x x
x
Exemple : Le schéma ci-contre représente une maison. Le toit à la forme
d’un triangle rectangle et isocèle de hauteur xposé sur un rectangle de
largeur égale à sa base principale. La hauteur totale est égale à 8 m
(toutes les longueurs sont exprimées en m).
1. Exprimer les aires du triangle et du rectangle en
fonction de x.
2. Construire les courbes représentant ces deux aires
pour x∈]0 ; 8[.
3. Trouver graphiquement :
a) une valeur approchée de xpour laquelle ces aires sont égales.
b) toutes les valeurs de xpour lesquelles l’aire du rectangle est supérieure à celle du triangle.
4. Comment retrouver ces résultats par le calcul ?
Solution :
1. Aire du triangle : f(x) = x2; aire du rectangle : g(x) = 2x(8 −x) = 16x−2x2.
2. Voir courbes ci-dessous :
x
y
Cf
Cg
8
64
4
32
016
3
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bac – 10 – v1.6180

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3. Graphiquement :
a) Les aires sont égales aux intersections des courbes des fonctions fet g. Sur l’intervalle ]0; 8[ il
n’y a donc qu’une seule intersection à prendre en compte puisque la valeur 0 est exclue. On peut
estimer graphiquement les coordonnées de cette intersection (5,3 ; 28) ; donc les aires du triangle et
du rectangle sont égales lorsque xvaut environ 5,3 m (alors les aires sont égales à 28 m2).
b) L’aire du rectangle est supérieure à celle du triangle lorsque la courbe de la fonction gest au dessus
de celle de la fonction f. Graphiquement on peut dire que l’aire du rectangle est supérieure à celle
du triangle lorsque xappartient à l’intervalle ]0 ; 5,3[.
4. Pour retrouver ces valeurs par le calcul il faut résoudre :
a) l’équation g(x) = f(x), soit : 16x−2x2=x2; 3x2−16x= 0 ; x(3x−16) = 0 or cette équation
produit admet deux solutions : x= 0 et x=16
3, d’où la solution cherchée pour obtenir l’égalité des
aires : x=16
3≈5,3.
b) l’inéquation g(x)> f(x), soit 16x−2x2> x2; 0 >3x2−16x; 0 > x(3x−16)
Il faut donc étudier le signe du produit x(3x−16) (voir exemple ci-dessus) :
(g(x)> f(x)) ⇐⇒ (x(3x−16) <0) ⇐⇒ x∈i0 ; 16
3h
Remarque : c’est aussi le signe de la fonction h:x7→ x(3x−16). 
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bac – 11 – v1.6180