2 Calcul littéral - Mathématiques pour le Bac

2 Calcul littéral
2.1 Calcul algébrique
Distributivité (rappel) :k(a+b) = ka +kb (a+b)(c+d) = ac +ad +bc +bd
Identités remarquables :
(a+b)2=a2+ 2ab +b2(ab)2=a22ab +b2(a+b)(ab) = a2b2
Preuve :(a+b)2= (a+b)(a+b) = a2+ab +ba +b2=a2+ 2ab +b2;
(ab)2= (a+ (b))2=a2+ 2a×(b) + (b)2=a22ab +b2;
(a+b)(ab) = a2ab +ab b2=a2b2.
Développer c’est transformer une expression algébrique en somme.
Factoriser c’est transformer une expression algébrique en produit.
développer
k(a+b) = ka +kb
(a+b)(c+d) = ac +ad +bc +bd
(a+b)2=a2+ 2ab +b2
(ab)2=a22ab +b2
(a+b)(ab) = a2b2
factoriser
Développer et réduire une expression algébrique :
Exemples :
A(x) = (3x2)(x+ 5) = 3x2+ 15x2x10 = 3x2+ 13x10
B(x) = (4x+ 1)2= 16x2+ 8x+ 1
C(x) = (x3)2=x26x+ 9
D(x) = (2x7)(7 + 2x) = 4x249
Remarque : Lorsque l’on développe une expression, il est important de réduire son écriture,
c’est-à-dire de la calculer au maximum.
Pour factoriser une expression algébrique, c’est l’écrire sous la forme d’un produit, il faut :
trouver un facteur commun et utiliser la distributivité :
ka +kb =k(a+b) ou ka kb =k(ab)
ou, s’il n’y a pas de facteur commun, reconnaître une identité remarquable :
a2+ 2ab +b2= (a+b)2
a22ab +b2= (ab)2
a2b2= (a+b)(ab)
Exemples : — avec un facteur commun :
E(x) = 4x26x= 2x(2x3)
F(x) = 2(x+ 3) + (2x1)(x+ 3) = (x+ 3)(2 + 2x1) = (x+ 3)(2x+ 1)
G(x) = (4x5)(3x+2)(3x+2)2= (3x+2)[(4x5)(3x+2)] = (3x+2)(4x53x2) =
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Maths 2gt 2. Calcul littéral prog 2017
(3x+ 2)(x7)
— avec les identités remarquables :
H(x) = 4x2+ 20x+ 25 = (2x)2+ 2 ×(2x)×5 + 52= (2x+ 5)2
I(x) = 49 + 9x242x= 722×7×(3x) + (3x)2= (7 3x)2= (3x7)2
J(x) = (5x1)264 = (5x1)282= (5x1 + 8)(5x18) = (5x+ 7)(5x9)
K(x) = x21 + 2(x+ 1) = (x+ 1)(x1) + 2(x+ 1) = (x+ 1)(x1 + 2) = (x+ 1)2
Remarque : Pour factoriser une expression telle que K(x), il est parfois nécessaire de factoriser
préalablement une partie de l’expression.
Pour simplifier une fraction rationnelle, c’est-à-dire le quotient de deux expressions, il peut-être
utile de factoriser le numérateur et le dénominateur.
Exemples :L(x) = 4x29
(x+ 5)(2x3) pour x6=5 et x6=3
2
L(x) = (2x+ 3)(2x3)
(x+ 5)(2x3) =2x+ 3
x+ 5
Pour x6=5, M(x) = 1 2x+ 3
x+ 5 =x+ 5
x+ 5 2x+ 3
x+ 5 =(x+ 5) (2x+ 3)
x+ 5 =2x
x+ 5
2.2 Mathématisation d’un problème
Mathématiser un problème c’est associer une expression algébrique à l’énoncé, puis écrire une
équation ou une inéquation à partir de l’expression établie.
Exemples :On écrit le chiffre 3 à gauche d’un nombre à deux chiffres donné. Le double du
nombre à trois chiffres ainsi obtenu est 27 fois plus grand que le nombre de départ. Quel est le
nombre à deux chiffres de départ ?
Solution : Soit xle nombre de départ. Ajouter le chiffre 3 à gauche d’un nombre à deux chiffres revient à lui
ajouter 300. Le nombre à trois chiffres ainsi obtenu s’écrit alors x+ 300 et son double 2(x+ 300). Si ce résultat
est égal à 27 fois (« 27 fois plus grand » signifie multiplié par 27 !) on peut écrire l’équation 2(x+ 300) = 27x,
soit 27x2x= 2 ×300, puis 25x= 600 d’où x=600
25 = 24.
Hier le professeur de mathématiques nous a donné une feuille d’exercices. Nous en avons résolu seulement 4 et
il en reste plus de la moitié à résoudre. Aujourd’hui il nous a donné 3 nouveaux exercices et nous en avons encore
une fois résolu 4. Il reste moins de 5 exercices à résoudre. À ce rythme de 4 exercices par jour quand aurons
résolu tous les exercices ?
Solution : Soit xle nombre d’exercices de la feuille donnée par le professeur. À l’issue de la première séance de
travail on peut écrire : x4>x
2. Pour la seconde séance de travail le bilan est : x4 + 3 4<5. Ces deux
inéquations donnent respectivement x > 8 et x < 10, ce qui permet d’encadrer x: 8 < x < 10 et, xétant un
entier : x= 9. Il y a donc 8 exercices résolus sur les 12 au total et au rythme de 4 par jour le travail sera achevé
demain.
2.3 Résolution d’équations
Équation du premier degré :
ax +b= 0, avec a6= 0
ax =b
x=b
a
Équation de degré supérieur :
Pour résoudre une équation de degré 2 (ou plus), c’est-à-dire dans la quelle il y a des x2(ou exposant supérieur :
x3,x4...), il faut factoriser l’expression pour obtenir une équation produit comportant des facteurs du premier
degré et comparer le produit obtenu à zéro.
Théorème : Un produit A×Best nul si et seulement si l’un des facteurs Aou Best nul :
(AB = 0) (A= 0 ou B= 0)
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bac – 8 – v1.6180
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Exemples :(x2)2+ 3(x2) = 0 ; (x2)[(x2) + 3] = 0 ; (x2)(x+ 1) = 0
donc (x2)2+ 3(x2) = 0 est équivalent à x2 = 0 ou x+ 1 = 0, soit x= 2 ou x=1.
4x212x+ 9 = 64 ; (2x3)2= 64 ; (2x3)282= 0 ; (2x3 + 8)(2x38) = 0 ; (2x+ 5)(2x11) = 0,
donc 4x212x+ 9 = 64 est équivalent à 2x+ 5 = 0 ou 2x11 = 0, soit x=5
2ou x=11
2.
(x3)(4x+ 5) = 13x40 ; (x3)(4x+ 5) 13x+ 40 = 0
il n’y a pas de facteur commun et en développant on obtient : 4x220x+ 25 = 0
ce qui permet de factoriser : (2x5)2= 0, alors l’équation a une solution (double) : x=5
2.
2.4 Résolution d’inéquations
Ordre et addition :a,bet cétant des réels
(a < b)(a+c < b +c)
Ordre et multiplication :a,bet cétant des réels
si c > 0 : (a < b)(ac < bc)
si c < 0 : (a < b)(ac > bc)
Règle des signes :
Le produit, respectivement le quotient, de deux nombres de même signe est positif ;
Le produit, resp. le quotient, de deux nombres de signes contraires est gatif.
Ordre et carrés - Ordre et racines carrées :
Si 0 < a < b, alors a2< b2;
Si 0 < a < b, alors a < b.
Ou encore : Les carrés et les racines carrées de deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que ces
nombres.
Remarque : Si les nombres sont négatifs les carrés sont rangés dans l’ordre inverse des nombres (si a < b < 0,
alors 0 < b2< a2) et leurs racines carrées n’existent pas.
Résolution algébrique
Comme pour les équations on se ramène toujours à une forme E > 0 (ou E < 0), où Eest une expression
algébrique que l’on compare à zéro :
soit Eest du premier degré, c’est-à-dire du type ax +b,
soit Eest du second degré, ou de degré supérieur, et il faut se ramener à un produit de facteurs du premier
degré, c’est-à-dire factoriser E= (ax +b)(cx +d)
Dans les deux cas le problème revient à déterminer le signe de ax +b, appliqué plusieurs fois en utilisant la règle
du signe d’un produit de facteurs dans le cas d’une expression factorisée (ax +b)(cx +d).
Signe de ax +b:
L’étude des affines a montré que le signe de l’expression algébrique du premier degré ax +best donné par l’un
des deux tableaux suivant en fonction du signe de a:
Si a > 0 :
x−∞ −b
a+
ax +b
−∞
0
+
Si a < 0 :
x−∞ −b
a+
ax +b
+0
−∞
Pour étudier le signe de E= (ax +b)(cx +d) on fait un tableau de signes contenant autant de lignes que de
facteurs, ainsi que la ligne de leur produit en appliquant la règle des signes.
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bac – 9 – v1.6180
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Exemple : On veut résoudre l’inéquation 3x216x < 0, soit : x(3x16) <0.
Pour étudier le signe de x(3x16) on utilise le tableau de signes suivant :
x−∞ 0 16/3 +
x0 + 16/3 +
3x16 − −16 0 +
x(3x16) + 0 0 +
Ce tableau donne directement l’intervalle des solutions de l’inéquation, c’est-à-dire dans lequel g(x)> f (x) :
xi0 ; 16
3h
Exercice : Étudier le signe de l’expression E=(3 2x)(x+ 3)3
x3.
Solution : On construit le tableau de signes suivant, sachant que le signe de (x+ 3)3est le même que celui de
x+ 3 car l’exposant est impair :
x−∞ −3 3/2 3 +
32x+ + 0 − −
(x+ 3)30 + + +
x3 0 +
E+ 0 0 +
donc (E>0) xi−∞ ;3ih3
2; 3h , et (E < 0) xi3 ; 3
2hi3 ; +h.
2.5 Exercice résolu
8
x x
x
Exemple : Le schéma ci-contre représente une maison. Le toit à la forme
d’un triangle rectangle et isocèle de hauteur xposé sur un rectangle de
largeur égale à sa base principale. La hauteur totale est égale à 8 m
(toutes les longueurs sont exprimées en m).
1. Exprimer les aires du triangle et du rectangle en
fonction de x.
2. Construire les courbes représentant ces deux aires
pour x]0 ; 8[.
3. Trouver graphiquement :
a) une valeur approchée de xpour laquelle ces aires sont égales.
b) toutes les valeurs de xpour lesquelles l’aire du rectangle est supérieure à celle du triangle.
4. Comment retrouver ces résultats par le calcul ?
Solution :
1. Aire du triangle : f(x) = x2; aire du rectangle : g(x) = 2x(8 x) = 16x2x2.
2. Voir courbes ci-dessous :
x
y
Cf
Cg
8
64
4
32
016
3
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bac – 10 – v1.6180
Maths 2gt 2. Calcul littéral prog 2017
3. Graphiquement :
a) Les aires sont égales aux intersections des courbes des fonctions fet g. Sur l’intervalle ]0; 8[ il
n’y a donc qu’une seule intersection à prendre en compte puisque la valeur 0 est exclue. On peut
estimer graphiquement les coordonnées de cette intersection (5,3 ; 28) ; donc les aires du triangle et
du rectangle sont égales lorsque xvaut environ 5,3 m (alors les aires sont égales à 28 m2).
b) L’aire du rectangle est supérieure à celle du triangle lorsque la courbe de la fonction gest au dessus
de celle de la fonction f. Graphiquement on peut dire que l’aire du rectangle est supérieure à celle
du triangle lorsque xappartient à l’intervalle ]0 ; 5,3[.
4. Pour retrouver ces valeurs par le calcul il faut résoudre :
a) l’équation g(x) = f(x), soit : 16x2x2=x2; 3x216x= 0 ; x(3x16) = 0 or cette équation
produit admet deux solutions : x= 0 et x=16
3, d’où la solution cherchée pour obtenir l’égalité des
aires : x=16
35,3.
b) l’inéquation g(x)> f(x), soit 16x2x2> x2; 0 >3x216x; 0 > x(3x16)
Il faut donc étudier le signe du produit x(3x16) (voir exemple ci-dessus) :
(g(x)> f(x)) (x(3x16) <0) xi0 ; 16
3h
Remarque : c’est aussi le signe de la fonction h:x7→ x(3x16).
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