Cours AMS-TA04 Edition 2015-2016 EQUATIONS

Cours AMS-TA04
Edition 2015-2016
EQUATIONS INTEGRALES
ET PROBLÈMES DE DIFFRACTION
Marc Lenoir
ENSTA-ParisTech
UMA/Poems
828 Boulevard des Maréchaux
91762 Palaiseau CEDEX

Table des matières
I Les problèmes de diffraction 9
1 Les ondes acoustiques 11
1.1 Un bref rappel de mécanique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1 Linéarisation ................................ 11
1.1.2 L’équationdesondes............................ 12
1.1.3 L’équation de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Solutions particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Lesondesplanes .............................. 14
1.2.2 Les ondes radiales bidimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 Les ondes radiales tridimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 La condition de Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Le cas bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Le cas tridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 La conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1 Lecastransitoire.............................. 18
1.4.2 Lecasharmonique ............................. 20
1.4.3 Calcul du flux d’énergie moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.4 Flux d’énergie et condition de rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Les problèmes de diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Les équations de l’électromagnétisme 25
2.1 LeséquationsdeMaxwell ............................. 25
2.1.1 Les lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2 Relation avec l’équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.3 Les conditions de transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Solutions particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Lesondesplanes .............................. 31
2.2.2 Ondes sortantes et entrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 La conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1 Les diverses formes de la condition de rayonnement . . . . . . . . . . . 38
2.3.2 Les problèmes de diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3

4 TABLE DES MATIÈRES
II Les problèmes coercifs 43
3 Le cadre fonctionnel 45
3.1 Traces et dérivées normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.1 Espacedestraces.............................. 45
3.1.2 Dualité et dérivées normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.3 FormuledeGreen.............................. 48
3.1.4 Le problème de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 Le problème d’acoustique dissipatif 51
4.1 LeproblèmedeNeumann ............................. 51
4.2 Le problème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 Le Laplacien 53
5.1 Problèmesintérieurs ................................ 53
5.1.1 Problème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.1.2 Problème de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 Problèmesextérieurs................................ 56
5.2.1 Le Problème de Dirichlet extérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2.2 Le Problème de Neumann extérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
A Espaces de Sobolev à poids 57
A.1 Lecastridimensionnel ............................... 57
A.1.1 Un théorème de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
A.1.2 Equivalence de la semi-norme du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . 60
A.1.3 Le cas bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
A.2 LaformuledeGreen ................................ 64
III Les formules de représentation intégrale 67
6 L’acoustique dissipative 69
6.1 Lasolutionélémentaire............................... 69
6.1.1 Le cas bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.1.2 Le cas tridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2 La représentation intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.3 Laformuledessauts ................................ 75
7 L’acoustique non dissipative 77
7.1 Lasolutionélémentaire............................... 77
7.1.1 Le cas bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.1.2 Le cas tridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2 La représentation intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2.1 En domaine intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2.2 En domaine extérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

TABLE DES MATIÈRES 5
8 Le laplacien 81
8.1 Lasolutionélémentaire............................... 81
8.2 La représentation intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.2.1 Le cas tridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.2.2 Le cas bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.3 Laformuledessauts ................................ 84
8.3.1 Lelaplacien................................. 84
B Séparation de variables 87
B.1 Motivation...................................... 87
B.2 Fonctions propres du Laplacien tangentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
B.2.1 Le cas bidimensionnel : décomposition en série de Fourier . . . . . . . 88
B.2.2 Le cas tridimensionnel : les harmoniques sphériques . . . . . . . . . . . 90
9 Couplage avec une formulation variationnelle 95
9.1 Le problème d’acoustique dissipative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.1.1 Leproblèmeréduit............................. 95
9.1.2 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.1.3 Une formulation alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.1.4 Discrétisation................................ 102
9.1.5 Le problème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.2 Le Laplacien en dimension 3et le problème d’acoustique non dissipative . . . 104
9.2.1 Leproblèmeréduit............................. 104
9.2.2 La méthode de compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.2.3 Les fréquences irrégulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.3 Le Laplacien en dimension 2............................ 107
10 Equations intégrales abstraites 109
10.1 Le problème d’acoustique dissipatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
10.1.1 Potentiel de simple couche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
10.1.2 Potentiel de double couche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
10.2Lelaplacien..................................... 115
10.2.1 Potentiel de simple couche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.2.2 Potentiel de double couche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
11 Traces et dérivées normales des potentiels 127
11.1 Potentiel de simple couche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
11.1.1 Trace .................................... 128
11.1.2 Dérivéenormale .............................. 129
11.2 Potentiel de double couche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
11.2.1 Trace .................................... 131
11.2.2 Forme linéaire associée à la dérivée normale . . . . . . . . . . . . . . . 132