Astuces i. Ici, on a bien une équation de la forme ( ). ( ) = 0 où

Correction de l’interro sur les équations log-exp
1) 𝑙𝑛 𝑥. (1 − 𝑙𝑛 𝑥) = 0
Réponse :
𝐶𝐸 : 𝑥 > 0
𝑆 = {1; 𝑒}
Astuces
-
Tu dois TOUJOURS vérifier les conditions d’existence quand tu vois un logarithme ! C’est le
même réflexe à avoir que lorsque tu vois une fraction avec un 𝒙 présent au dénominateur !
Dans cet exercice, il n’y a que l’argument des logarithmes à discuter ! Et rien d’autre !!!
Fais très attention aux notations en mathématiques ! C’est un langage qui a son orthographe, et
sa grammaire, comme toute langue.
Trois remarques :
Ici, on a bien une équation de la forme 𝐴(𝑥). 𝐵(𝑥) = 0
où 𝐴(𝑥) = ln 𝑥
𝐵(𝑥) = 1 − 𝑙𝑛 𝑥
 Le plus facile est d’utiliser la règle du produit nul pour résoudre l’équation.
(on pourrait aussi effectuer la substitution suivante : 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥, mais c’est plus long)
i.
ii.
Si tu décides de distribuer le facteur 𝑙𝑛 𝑥, fais attention à la notation !
Tu peux utiliser indifféremment les expressions suivantes :
ln 𝑥 . (1 − ln 𝑥) = ln 𝑥 − ln2 𝑥 = ln 𝑥 − (ln 𝑥)2
Mais tu ne peux pas utiliser la notation suivante :
ln 𝑥 . (1 − ln 𝑥) ≠ ln 𝑥 − ln 𝑥 2
(∗)
Ce ne sont pas les mêmes fonctions !
Dans l’expression du membre de droite (*), le carré se rapporte à l’élément
situé juste sous lui, c’est-à-dire le 𝑥, et non pas ln 𝑥 !
iii.
𝑙𝑛 𝑥. (1 − 𝑙𝑛 𝑥) est le produit de 𝑙𝑛 𝑥 par (1 − 𝑙𝑛 𝑥). Ce n’est donc pas la même
chose que d’écrire 𝑙𝑛 [𝑥. (1 − 𝑙𝑛 𝑥)]
2) 4𝑥 − 10.2𝑥 + 16 = 0
Réponse : 𝑆 = {1; 3}
Astuces
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-
Pour résoudre l’équation, il suffit d’effectuer la substitution 𝑦 = 2𝑥 et ainsi ramener l’équation à
une équation d’un polynôme du second degré en y. Mais la solution finale est bien demandée
pour x, et pas pour y !! Relisez toujours l’énoncé à la fin de l’exercice pour vérifier si vous avez
répondu à la question initiale !
Attention aux règles d’exposants !
Ex : 4𝑥 = (2.2)𝑥 = (22 ) 𝑥 = 22𝑥 = (2𝑥 )2
Mais 4𝑥 ≠ 2.2𝑥  Pour le prouver, remplacer x par 3 par exemple.
3) 4 log 𝑥 − log 8 = log(𝑥 2 − 2)
Réponse :
𝐶𝐸 : 𝑥 > 2 (qu’on peut écrire, 𝑥 ∈ ] 2; +∞[)
𝑆 = {2}
Astuces
1) Conditions d’existence à vérifier à cause du logarithme : la condition est DIFFERENTE pour la base
et pour l’argument du log : ne confonds pas les deux ! Revois impérativement les propriétés de
la fonction de base log 𝑎 𝑥 !
e
e
e
2) Lorsqu’on est en face d’une équation avec un polynôme du 4 degré (ou 6 , 8 , …) et avec
uniquement des exposants pairs pour x, pense toujours à substituer 𝒙𝟐 par 𝒚 pour réduire le
degré du polynôme. C’est à ce moment-là que des miracles apparaissent…
Remarque : c’est un procédé similaire qu’on utilise à l’exercice précédent, on remplace 2𝑥 = 𝑦
nd
pour ramener l’équation à celle d’un polynôme du 2 degré en 𝑦 qu’on sait résoudre
facilement !
3) 𝑥 2 − 2 > 0 ⇔ 𝑥 > ± 2
Seriously ?!?
Pour ma bonne santé mentale (et la vôtre), svp, n’écrivez JAMAIS PLUS :
𝑥 > ± 𝑞𝑢𝑜𝑖_𝑞𝑢𝑒_𝑐𝑒_𝑠𝑜𝑖𝑡
nd
Comme solution d’une inéquation d’un polynôme du 2 degré. Ça n’a aucun sens !!!
(Visualisez la parabole, et vous comprendrez pourquoi).
4) Relis attentivement les propriétés des logarithmes, et fais attention à ne pas en faire un usage
abusif (c’est-à-dire injustifié par rapport à la théorie !),
Ex :
𝑥
4 log 𝑥 − log 8 ≠ 4 log 8
mais
𝑥
4 log 𝑥 − 4 log 8 = 4 (log 𝑥 − log 8) = 4 log 8
4) 𝑒 𝑥 − 6𝑒 −𝑥 = −1
Réponse : 𝑆 = {ln 2}
Astuces
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Attention à la rigueur d’écriture ! Evite les ambiguïtés d’écriture.
2
Ex : 𝑒 𝑥 ≠ 𝑒 2𝑥 mais (𝑒 𝑥 )2 = 𝑒 2𝑥
2
Dans l’expression 𝑒 𝑥 , le carré porte uniquement sur le 𝑥, qui est situé juste sous lui.
𝑥
Par contre, dans (𝑒 )2 , le carré porte sur 𝑒 𝑥 .
-
L’expression = 0 équivaut à 𝐴 = 0 à la condition que 𝐵 ≠ 0
𝐵
N’oublie pas de le mentionner dans ton calcul !
Pour cet exercice, on a bien : 𝑒 𝑥 ≠ 0, mais il ne faut pas oublier de le vérifier sur ta feuille !
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Si tu cherches à résoudre l’équation suivante :
𝑒 𝑥 = −3
tu peux constater qu’elle est impossible, au sens strict ce n’est pas parce que ln(−3) n’existe
pas, mais avant ça parce qu’une exponentielle n’est jamais négative !
𝐴