Quelques problèmes de convexité pour les opérateurs

Séminaire Jean Leray.
Sur les équations aux
dérivées partielles
BERNARD MALGRANGE
Quelques problèmes de convexité pour les opérateurs
différentiels à coefficients constants
Séminaire Jean Leray (1962-1963), p. 190-223
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190
QUELQUES
PROBLèMES
DE
CONVEXITÉ
POUR
LES
OPERATEURS
DIFFERENTIELS à
COEFFICIENTS
CONSTANTS.
par BERNARD
MALGRANGE
i -
Equations
en
Les
résultats
dont
il va
être
question
dans
cet
exposé
et
le
suivant
prolon-
1
gent
ceux
qui
ont
été donnés l’an
dernier dans
ce
même séminaire
(4) ~5~ e
Nous
sui-
vrons la
présentation
de
(6),
9 que
nous
allons
rappeler
rapidement*
.
Soit
A l’anneau
des
polynomes
C
;
si
A
est
un
ouvert
C
Rr g
= L
1
n
nous
désignerons
par
E(Q)
l’espace
des
fonctions
(indéfiniment)
dérivables
sur
n ,
à
valeurs
complexes 9
et
nous
désignerons par ~
le faisceau
On
fait
opérer
A
dans
et E (Q)
par
la
formule
X.
f
=
9f 9xj
et on
le
fait
J
xi
opérer
de la même
manière
dans
les
espaces
de distributions.
0
Soit
alors
ri
un
A-
module
de
type
défini
a
Considérons
une
présentation
de
M
une
suite
exactes
dont
nous
notons
P~ la
première application
o
Par
application
de
et
en
tenant
compte
du fait
évident
qu’on
a
HomAC
AP,f~1) ~ £ÇQ)p ,
nous
obte-
nons
une suite
exacte :
(ici
et
dans
la
suite
on
écrira
Hom
ou
Ext k
au
lieu
de
Hom, ,
La
der-

191
-nière
application définie par
la
matrice
P
transposée
de
Il en
résulte
que
li
Hom
(
179
E(Q))
est
isomorphe
au
noyau
de
cette
applicationg
i.e.
à
l’espace
des
so-
"
lutions
d’un
système
différentiel
à
coefficients
constants
sans
second
membre 9
ré-
ciproquement9
un
tel
espace
de
solutions
pourra
toujours
s’écrire
de
cette
manière.
Considérons
maintenant une
suite
exacte
à
un
terme
de
plus
on
en
déduit
une
suite
et
l ’ on a
(d’après
la définition
de
Ext*)
L’un
des
résultats fondamentaux
de
(4)
est le
suivant g si
£L
est
convexee
on
a,
Í!’
quelque
soit
h ~
ker Q
=
im
P ~
donc
Ext
(
M1
1 (A) ) =
0
o
Comme
A est
noethérien, 9
cela
s’ énonce
aussi
Si
Ôl
est
convexe,
9
É
(J1.)
est un
A-module
(réc-iproquement,
si
-a
est
connexe
et
6(-~-)
A-injectif 9
il
est
élémentaire
de vé-
rifier
que
EZ
est
convexe.
o
Voir des
indications
sur
la
démonstration
dans
(6).
Nous
allons
donner
une variante
de
ce théorème.
o
Considérons
pour
cela
uri
ouvert QCCn
(identifié
à
R )? 1
et
faisons
opérer
dans
É 91)
de la
manière
suivante
g
X.
f =
20132013-
o
Nous allons établir
le
théorème
sui-
J
àzj
vant,
qui
généralise
un
résultat
bien
connu
sur
la
" d- -
cohomologie"
s
Théorème
l
CI
est
holomorphiquement
convexe
est un
A-
module
in-
jectif.
Nous
démontrerons le
théorème
1
par
dualité.
Fixons
d’abord
quelques
nota-
tions g
soit
?£
~.s’~.~
l’espace
des fonctions
holomorphes
sur
~.. 9
.::e.
l’espace
C
[
zl1 ...1
considéré
comme
sous--espace
due
ÇS’"L) 1
et
(Q)
=
=
n
c
l’espace
des
polynomes
en
à
coefficients
holomorphes
dans
É)
o
Si
nous
posons9
comme
d’habitude

192
À
z
0
Les fonctions
de
la
forme F = f e
~ ~
avec
f p
Il
Seront
appelées
ff
p -
psoudo exponentielles -
polynomes
sur
-rl"
ce
ChU’ on
écrira
1
en
abrégé
g f
p E P
(Q).
/
i
Désignons
encore
par
&#x26;’(Q)
10
dual
de
É (à1)
i.e.
11 espace
des
distri-
butions
à
support compact
daiis
9
dl autre
part, 9
si
P A
on
définit
P
par
p
(X)
=
P
(-X) .
Cela
posé,
on
a
le théorème
suivant
g
Théorème
2.
Soit
un ouvert
holomorphiquement
convexe
c c n
et
soit
P
( Hom
Pour que
(-~-)~
soit
de
la
forme
avc-c
( i ’
(-CL-)~ ~
9
il
faut
ot
il
suffit
que
la condition
suivante
soit
vérifiée
s
(3)
Pour
tout
G
(-0-)
vérifiant
P G
=0 y
on a
,£G,
~=
0
Remarque
s
On
vérifie
aussitôt
qucq pour
tout
F É
~(-~-)~
9
et tout
’
Y~-E’
(-~’~-)~ 9
on
a
F 9
P
F ~
La
condition
(3)
est
donc trivialement
nécessaire ! t
o
Montrons
d’abord
e
le
théorème
2
entraîne le
théorème
10
a
Soit
donc M
un
A - module
de
type
fini J
considérons une suite
exacte
et
la suite
obtenue
par application
de
tout
revient
à
démontrer
que
cette suite
exacte9 3
i. 80
qu’on
a
ker Q
=
im
P o
Pour cela
nous
démontrerons
successivement :
a)
P est fermé dans
E(__ç~)q
b)
im P est dense
dans
ker Q .
Démonstration de
a) -
Par
transposition,
il
devient
au même
d’établir
que
l’appli-

193
cation P
9
Et
(-~-)~
"P 1 ’
(-~-)~
a une
image
fermée
or
cela
résulte
aussi-
tôt
du
théorème
2 .
’
Démonstration
de
b) -
Elle
va
résulter des
deux lemmes
suivants
i
4.
Soit F
E q -
Iil P
(~À) ,
vérifiant
exista
G
{ p -
E P
vérifiant
P G =
F.
Plus
précisément
nous allons
voir
que
si l’on
a
F
=
f
e " ,
f (
on
peut
prendre
G =
g
e
?
avec
g (
e
Il
suffit
de
traiter
le
cas
A=
0 .
puisqu’on
a
Q
F
=
(Q, f)
0
P G
=
Q~
et
P,
étant
dé-
duits
respectivement
de
Q
et
P
par
la
translation
(-~) .
o
Autrement
ditg
il
suffit d’établir
que
9fT
(-~-)
est
un A -
module
injectif. Org
il est
connu
(et
facile
à
établir)
que P
est
un A -
module
injectif.
Il
en
résulte
(exactitude
de
B11
g~ )
que
(-~-)
=
% (#) éYc ,g
est
un
A -
module
injectif.
Lemme
5.
est
holomorphiquement
convexeg &#x26;’
(f1)
est
un
A -
module
plat.
,
En
interprétant
la
platitude
en
termes
do relations
(1) ,
cela
revient
à
dé-
montrer ceci
i
P
et
Q ayant
la
même
signification
que
ci-dc-ssus,
tout
(-0~)~
vérifiant
p~
~
=
0
est
de
la
forme
Q-
Xy
avec X
( ~
(-~-)~
e
D’après
le théorème
2
(appliqué
à
Q )
il
suffit
de
vérifier
queg
pour
tout
1 £
q -
E
P
(-0-)
vérifiant
Q
F
=
0 ,
on
a
éF,
~=
0
o
Or,
d’après
le lemme
4,
on
i
F
=PG y avec
G
(-n-) 9
et,
par conséquent
(F9
’B~~==
(P
G ,
Qt/,&#x3E; =
~G~
0 ;
d’où
le
lemme.
Démontrons
maintenant
b).Par
dualité,
il
suffit
d’établir
ceci :
tout
~ ~
t’
(4À)~
orthogonal
à
i m
P
est
orthogonal
à
ker
Q .
Ore
si
"~
est
orthogonal
à
im
P 9
on
a
IP
=
0 ;
d’après
le
lemme
5,
on
a
hy
=
Éi’
7-
avec
lÉ
r’
(-O-)r 9
d’où le
résultat.
Il
nous
faut
maintenant démontrer
le
théorème 2 -
Pour
cela,
nous
aurons